Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

воскресенье, 5 августа 2018 г.

Урок 28. Функция y = √x и её график

Функции  у = √͞͞͞͞͞х  и её свойства .

Разберем функцию. Так как  х  лежит под корнем, то он может принимать только неотрицательные значения. То есть он должен быть больше или равен нулю.

– область определения – луч [0; + ∞), это следует из того, что выражение  √͞͞͞͞͞х    определено лишь при  х ≥ 0;

– множество значений функции является промежуток  [0; + ∞);

– значение функции  у = 0  является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет;

– функция  у = √͞͞͞͞͞х  ни чётная, ни нечётная;

– функция непериодическая;

– точка  (0; 0)  является нулём функции;

– функция  у = √͞͞͞͞͞х  монотонно возрастает на области определения  [0; + ∞).

– функция принимает положительные значения на промежутке  [0; + ∞).

График функции  у = √͞͞͞͞͞х .

Построим график функции 

у = √͞͞͞͞͞х .

Так как выражение  √͞͞͞͞͞х  имеет смысл при  х > 0, то областью определения функции  у = √͞͞͞͞͞х   служит множество неотрицательных чисел.

Составим таблицу значений функции  у = √͞͞͞͞͞х   (приближённые значения  у  для значений  х, не являющихся квадратами целых чисел, можно найти с помощью калькулятора):
Построим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице. Проведя от начала координат через эти точки плавную линию, получим график функции

у = √͞͞͞͞͞х
Свойства функции  у = √͞͞͞͞͞х .

– если  х = 0, то  у = 0, поэтому начало координат принадлежит графику функции;

– если  х > 0, то  у > 0; график расположен в первой координатной четверти;

– большему значению аргумента соответствует большее значение функции; график функции идёт вверх.

График функции  у = √͞͞͞͞͞х , как и график функции  у = х2, где  х ≥ 0, представляет собой ветвь параболы. Это следует из того, что эти графики симметричны относительно прямой  у = х. Доказательство симметрии графиков основано на том, что точки с координатами  (a; b)  и  (b; a)  симметричны относительно прямой  у = х.

ПРИМЕР:

Каковы координаты точки пересечения графиков функций ?
РЕШЕНИЕ:
Для нахождения абсциссы точки пересечения решим уравнение:
х ≥ 0,   х1 = –2,  х2 = 1.

Откуда  х = 1, тогда  у = 1, поэтому точка пересечения  (1; 1).

ОТВЕТ:  графики пересекаются в точке  (1; 1)

ПРИМЕР:

Каковы координаты точки пересечения графиков функций ?
РЕШЕНИЕ:
Для нахождения абсциссы точки пересечения решим уравнение:
Откуда  х = 1, тогда  у = 1, поэтому точка пересечения  (1; 1).

ОТВЕТ:  графики пересекаются в точке  (1; 1)

ПРИМЕР:

Постройте график функции:
РЕШЕНИЕ:

График функции состоит из

части прямой  у = х + 2  для  х ≤  –1,

части параболы  у = х2  для  –1< х < 1  і

части графика функции  у = √͞͞͞͞͞х   для  х ≥ 1.

Функция растет на промежутках  (–∞; –1]  и  [0; +∞)  и падает на промежуток  [–1; 0].

ОТВЕТ:

промежутки роста – (–∞; –1]  и  [0; +∞),

промежуток убывания – [–1; 0].
ПРИМЕР:

Постройте в одной системе координат графики функций

у = √͞͞͞͞͞x   и  у = 6 – х.

С помощью графиков укажите значения  х, при которых значения функции  у = 6 – х  больше значения функции  у = √͞͞͞͞͞x .

РЕШЕНИЕ:

Строим график функции  у = √͞͞͞͞͞x, х ∈ [0; +∞)  и прямую, являющуюся графиком функции  у = 6 – х. Координаты точек пересечения графиков найдем из системы
Откуда  6 – х = √͞͞͞͞͞x.

Пусть  √͞͞͞͞͞x = t > 0. Получим:

6 – t2 = t,

t2 + t – 6 = 0,  

t1 = –3  не удовлетворяет условию  t > 0,

t2 = 2, √͞͞͞͞͞x = 2,

х = 4, у = 2,

А(4; 2).

Значение функции  у = 6 – х  больше значений функции  у = √͞͞͞͞͞x, если  х ∈ [0; 4).

ОТВЕТ: [0; 4)
ПРИМЕР:

Постройте в одной системе координат графики функций

у = √͞͞͞͞͞x   и  у = 2 – х.

С помощью графиков укажите значения  х, при которых значения функции  у = √͞͞͞͞͞x   больше значения функции  у = 2 – х.

РЕШЕНИЕ:

Графики изображены на рисунку.
√͞͞͞͞͞x   > 2 – х  на промежутку  (1; +∞).

ПРИМЕР:

Решите графически уравнение

√͞͞͞͞͞x  = 8/х.

РЕШЕНИЕ:

Графики функцый  √͞͞͞͞͞x   и  8/х  изображены на рисунку.
Точкой пересечения данных графиков является точка  А(4; 2). Поэтому решением уравнения є  х = 4.

ПРИМЕР:

Решите графически уравнение

√͞͞͞͞͞x  = 1/х.

РЕШЕНИЕ:

Графики функций  √͞͞͞͞͞x   и  1/х  изображены на рисунку.
Точкою пересечения данных графиков будет точка  А(1; 1). Поэтому решением уравнения будет  х = 1.
Перечислим свойства функции.

– область определения функции – вся числовая прямая;

– функция нечётная, так как
– функция возрастает на всей числовой прямой;
Для построения графика функции составим таблицу кубических корней (приближённые значения):
Нанесём полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой. Затем к построенной ветви добавим ветвь, симметричную ей относительно начала координат. Получим график функции
График функции изображен на чертеже.
При чётном  n  функция
обладает теми же свойствами, что и функция  у = √͞͞͞͞͞x, и график её напоминает график функции  у = √͞͞͞͞͞x.
При нечётном  n  функция
обладает теми же свойствами, что и функция

и график её напоминает график функции
ПРИМЕР:

При каком значении  а  график функции

у = ах-3

проходит через точку

А (3; 1/54) ?

РЕШЕНИЕ:

у = ах-3.

Если график проходит через точку  А(3; 1/54), то:

1/54 = а ∙ 3-3,

1/54 = а ∙ 1/27,  а = 0,5.

ПРИМЕР:

При каком значении  а  график функции

у = ах-5

проходит через точку

В (1/2; 192) ?

РЕШЕНИЕ:

у = ах-3.

Если график проходит через точку  В(1/2; 192), то:

192 = а ∙ (1/2)-5,

192 = 32а, а = 6.
Задания к уроку 28
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий