Уроки математики и физики (RU + UA)

суббота, 18 августа 2018 г.

Урок 29. Функция y = хn и её график

СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ

График степенной функции.
Степенная функция с показателем равным нулю, р = 0.

Если показатель степенной функции  у = хр  равен нулю, р = 0, то степенная функция определена для всех  х ≠ 0  и является постоянной, равной единице.

у = хр = х0 = 1,  х ≠ 0.

Степенная функция с натуральным нечётным показателем,
n = 1, 3, 5, ….

Рассмотрим степенную функцию

y = хрхn

c натуральным нечётным показателем степени 

n = 1, 3, 5, … .

Такой показатель также можно записать в виде:

n = 2k + 1, где  k = 0, 1, 2, 3, …  – целое не отрицательное.

График степенной функции  yхn  с натуральным нечётным показателем при различных значениях показателя степени
n = 1, 3, 5, … .
Область определения:  < х < +
Множество значений:  < у < +
Чётность:  нечётная, у(–х) = –у(х)
Монотонность:  монотонно возрастает
Экстремумы:  нет
Выпуклость:  при  < х < 0  выпукла вверх,
                          при  0 < х <   выпукла вниз
Точки перегибов:  х = 0, у = 0
Точки пересечения с осями координат:  х = 0, у = 0
Обратная функция:
при  n = 1, функция является обратной к самой себе:  х = у
при  n 1, обратной функцией является корень степени  n:
Степенная функция с натуральным чётным показателем,
n = 2, 4, 6, ….

Рассмотрим степенную функцию

y = хрхn

c натуральным чётным показателем степени 

n = 2, 4, 6, … .

Такой показатель также можно записать в виде:

n = 2k, где  k = 1, 2, 3, …  – натуральное.

График степенной функции  y = хn  с натуральным чётным показателем при различных значениях показателя степени
n = 2, 4, 6, … .
Область определения:  < х < +
Множество значений:  0 ≤ у < +
Чётность:  чётная, у(–х) = у(х)
Монотонность: 
при  х < 0  монотонно убывает
при  х ˃ 0  монотонно возрастает
Экстремумы:  минимум  х = 0, у = 0 
Выпуклость:  выпукла вниз
Точки перегибов:  нет
Точки пересечения с осями координат:  х = 0, у = 0
Обратная функция:
при  n = 2, квадратный корень:
при  n 2, корень степени  n:
Степенная функция с целым отрицательным показателем
n = –1, –2, –3, … .

Рассмотрим степенную функцию 

y = хрхn 

с целым отрицательным показателем степени  n = –1, –2, –3, … .
Если положить  n = –k, где  k = 1, 2, 3, …  – натуральное, то её можно представить в виде:
График степенной функции  y = хn  с целым отрицательным показателем
n = –1, –2, –3, … .
Нечётный показатель, n = –1, –3, –5, … .

Область определения:  х 0
Множество значений:  у 0
Чётность:  нечётная, у(–х) = –у(х)
Монотонность:  монотонно убывает
Экстремумы:  нет 
Выпуклость:  при  х < 0выпукла вверх  
                          при  х ˃ 0;  выпукла вниз
Точки перегибов:  нет
Точки пересечения с осями координат:  нет
Обратная функция:
Чётный показатель, n = –2, –4, –6, … .

Область определения:  х 0
Множество значений:  у ˃ 0
Чётность:  нечётная, у(–х) = –у(х)
Монотонность:  при  х < 0монотонно возрастает
                              при  х ˃ 0монотонно убывает
Экстремумы:  нет 
Выпуклость:  выпукла вниз
Точки перегибов:  нет
Точки пересечения с осями координат:  нет
Обратная функция:
Степенная функция с рациональным (дробным) показателем.

Рассмотрим степенную функцию   

y = xp

с рациональным (дробным) показателем степени
где  n – целое, m ˃ 1 – натуральное. Причём, n, m  не имеет общих делителей.

Знаменатель дробного показателя – нечётный.

Пусть знаменатель дробного показателя степени
нечётный  m = 3, 5, 7, … . В этом случае, степенная функция  xp  определена как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента  х.
Рассмотрим свойства таких степенных функций, когда показатель  р  находится в определённых пределах.

Показатель  р  отрицательный, р < 0.

Пусть рациональный показатель степени (с нечётным знаменателем  m = 3, 5, 7, … .) меньше нуля
Графики степенных функций
с рациональным отрицательным показателем при различных значениях показателя степени
где  m = 3, 5, 7, … – нечётное.
Нечётный числитель, n = –1, –3, –5, … .

Приводим свойства степенной функции  y = хр  с рациональным отрицательным показателем
где  n = –1, –3, –5,– нечётное отрицательное целое, m = 3, 5, 7, … – нечётное натуральное.

Область определения:  х 0
Множество значений:  у 0
Чётность:  нечётная, у(–х) = –у(х)
Монотонность:  монотонно убывает
Экстремумы:  нет 
Выпуклость:  при  х < 0выпукла вверх 
                          при  х ˃ 0выпукла вниз
Точки перегибов:  нет
Точки пересечения с осями координат:  нет
Обратная функция:
Чётный числитель, n = –2, –4, –6, … .

Свойства степенной функции  y = хр  с рациональным отрицательным показателем
где  n = –2, –4, –6,– чётное отрицательное целое, m = 3, 5, 7, … – нечётное натуральное.

Область определения:  х 0
Множество значений:  у ˃ 0
Чётность:  чётная, у(–х) = у(х)
Монотонность:  при  х < 0монотонно возрастает
                              при  х ˃ 0монотонно убывает
Экстремумы:  нет 
Выпуклость:  выпукла вниз
Точки перегибов:  нет
Точки пересечения с осями координат:  нет
Обратная функция:
Показатель  р  положительный, меньше единицы, 0 < р < 1.

График степенной функции
с рациональным показателем  (0 < р < 1)  при различных значениях показателя степени
где  m = 3, 5, 7, … – нечётное.
Нечётный числитель, n = 1, 3, 5, … .

Представлены свойства степенной функции  y = хр  с рациональным показателем
находящимся в пределах  0 < р < 1, где  n = 1, 3, 5,– нечётное натуральное, m = 3, 5, 7, … – нечётное натуральное.

Область определения:  < х < +
Множество значений:  у < +
Чётность:  нечётная, у(–х) = –у(х)
Монотонность:  монотонно возрастает
Экстремумы:  нет 
Выпуклость:  при  х < 0выпукла вниз 
                          при  х ˃ 0выпукла вверх
Точки перегибов:  х = 0,  у = 0
Точки пересечения с осями координат:  х = 0,  у = 0
Обратная функция:
Чётный числитель, n = 2, 4, 6, … .

Представлены свойства степенной функции  y = хр  с рациональным показателем
находящимся в пределах  0 < р < 1, где  n = 2, 4, 6,– чётное натуральное, m = 3, 5, 7, … – нечётное натуральное.

Область определения:  < х < +
Множество значений:  0 ≤ у < +
Чётность:  чётная, у(–х) = у(х)
Монотонность:  при  х < 0монотонно убывает
                              при  х ˃ 0монотонно возрастает
Экстремумы:  минимум при  х = 0,  у = 0 
Выпуклость:  выпукла вверх при   х 0
Точки перегибов:  нет
Точки пересечения с осями координат:  х = 0,  у = 0
Обратная функция:
Показатель  р  больше единицы, р ˃ 1.

График степенной функции
с рациональным показателем (р ˃ 1) при различных значениях показателя степени
где  m = 3, 5, 7, … – нечётное.
Нечётный числитель, n = 5, 7, 9, … .

Свойства степенной функции  y = хр  с рациональным показателем, большим единицы
где  n = 5, 7, 9,– нечётное натуральное, m = 3, 5, 7, … – нечётное натуральное.

Область определения:  < х < +
Множество значений:  < у < +
Чётность:  нечётная, у(–х) = –у(х)
Монотонность:  монотонно возрастает
Экстремумы:  нет 
Выпуклость:  < х < 0  выпукла вверх 
                          0 < х < +  выпукла вниз
Точки перегибов:  х = 0,  у = 0
Точки пересечения с осями координат:  х = 0,  у = 0
Обратная функция:
Чётный числитель, n = 4, 6, 8, … .

Свойства степенной функции  y = хр  с рациональным показателем, большим единицы
где  n = 4, 6, 8,– чётное натуральное, m = 3, 5, 7, … – нечётное натуральное.

Область определения:  < х < +
Множество значений:  0 ≤ у < +
Чётность:  чётная, у(–х) = у(х)
Монотонность:  при  х < 0монотонно убывает
                              при  х ˃ 0монотонно возрастает
Экстремумы:  минимум при  х = 0,  у = 0 
Выпуклость:  выпукла вниз
Точки перегибов:  нет
Точки пересечения с осями координат:  х = 0,  у = 0
Обратная функция:
ФУНКЦИЯ  х3 И ЕЁ ГРАФИК

Функция  у = х3  называется кубической функцией.
Составим таблицу значений функции

у = х3.
Из таблицы видно, что при  х > 0  и  у > 0  (куб положительного числа положителен), а при  х < 0  и  у < 0  (куб отрицательного числа отрицателен). Следовательно, график расположится на координатной плоскости в  I  и  III  четвертях. Заменим значение аргумента  х  противоположным значением  –х, тогда и функция примет противоположное значение; так как если  у = х3, то

(–х)3 = –у

Значит, каждой точке  (х; у)  графика соответствует точка  (–х; –у)  того же графика, расположенная симметрично относительно начала координат.
Таким образом, начало координат является центром симметрии графика.
График функции  у = х3  изображён на рисунке. Эта линия называется кубической параболой.
В  I  четверти кубическая парабола  (при  х > 0)  <<круто>>  поднимается вверх (значения  у  <<быстро>> возрастают при возрастании  х, см. таблицу), при малых значениях  х  линия <<тесно>> проходит к оси абсцисс (при <<малых>> значениях  х  значение  у  <<весьма мало>>, см. таблицу). Левая часть кубической параболы (в  III  четверти) симметрична правой относительно начала координат.
Аккуратно вычерченный график может служить средством приближённого возведения чисел в куб. Так, например, положив  х = 1, 6,  найдём по графику  у 4,1.  Для приближённого вычисления кубов составлены специальные таблицы.
Если график квадратичной функции был симметричен оси  Оу, то график кубической параболы симметричен относительно начала координат, то есть точки  (0; 0).

Свойства кубической функции.

– при  х = 0, у = 0, при  х > 0, у > 0, при  х < 0, у < 0;
– у кубической функции не существует не максимального ни минимального значения;
– кубическая функция возрастает на всей числовой оси (∞; +∞);
– противоположным значениям  х, соответствуют противоположные значения  у.

ФУНКЦИЯ
Перечислим свойства функции.

– область определения функции – вся числовая прямая;
– функция нечётная, так как
– функция возрастает на всей числовой прямой;

Для построения графика функции составим таблицу кубических корней (приближённые значения):
График функции изображен на чертеже.
Задания к уроку 29
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий