Урок 29. Функция y = хn и её график

СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ

График степенной функции.

Степенная функция с показателем равным нулю, р = 0.

Если показатель степенной функции  у = х^р  равен нулю, р = 0, то степенная функция определена для всех  х ≠ 0  и является постоянной, равной единице.

у = х^р = х⁰ = 1,  х ≠ 0.

Степенная функция с натуральным нечётным показателем,

n = 1, 3, 5, ….

Рассмотрим степенную функцию

y = х^р = хⁿ

c натуральным нечётным показателем степени 

n = 1, 3, 5, … .

Такой показатель также можно записать в виде:

n = 2k + 1, где  k = 0, 1, 2, 3, …  – целое не отрицательное.

График степенной функции  y = хⁿ  с натуральным нечётным показателем при различных значениях показателя степени

n = 1, 3, 5, … .

Область определения:  –∞ < х < +∞

Множество значений:  –∞ < у < +∞

Чётность:  нечётная, у(–х) = –у(х)

Монотонность:  монотонно возрастает

Экстремумы:  нет

Выпуклость:  при  –∞ < х < 0  выпукла вверх,

                          при  0 < х < ∞  выпукла вниз

Точки перегибов:  х = 0, у = 0

Точки пересечения с осями координат:  х = 0, у = 0

Обратная функция:

при  n = 1, функция является обратной к самой себе:  х = у

при  n ≠ 1, обратной функцией является корень степени  n:

Степенная функция с натуральным чётным показателем,

n = 2, 4, 6, ….

Рассмотрим степенную функцию

y = х^р = хⁿ

c натуральным чётным показателем степени 

n = 2, 4, 6, … .

Такой показатель также можно записать в виде:

n = 2k, где  k = 1, 2, 3, …  – натуральное.

График степенной функции  y = хⁿ  с натуральным чётным показателем при различных значениях показателя степени

n = 2, 4, 6, … .

Область определения:  –∞ < х < +∞

Множество значений:  0 ≤ у < +∞

Чётность:  чётная, у(–х) = у(х)

Монотонность: 

при  х < 0  монотонно убывает

при  х ˃ 0  монотонно возрастает

Экстремумы:  минимум  х = 0, у = 0 

Выпуклость:  выпукла вниз

Точки перегибов:  нет

Точки пересечения с осями координат:  х = 0, у = 0

Обратная функция:

при  n = 2, квадратный корень:

при  n ≠ 2, корень степени  n:

Степенная функция с целым отрицательным показателем

n = –1, –2, –3, … .

Рассмотрим степенную функцию 

y = х^р = хⁿ 

с целым отрицательным показателем степени  n = –1, –2, –3, … .

Если положить  n = –k, где  k = 1, 2, 3, …  – натуральное, то её можно представить в виде:

График степенной функции  y = хⁿ  с целым отрицательным показателем

n = –1, –2, –3, … .

Нечётный показатель, n = –1, –3, –5, … .

Область определения:  х ≠ 0

Множество значений:  у ≠ 0

Чётность:  нечётная, у(–х) = –у(х)

Монотонность:  монотонно убывает

Экстремумы:  нет 

Выпуклость:  при  х < 0;  выпукла вверх  

                          при  х ˃ 0;  выпукла вниз

Точки перегибов:  нет

Точки пересечения с осями координат:  нет

Обратная функция:

Чётный показатель, n = –2, –4, –6, … .

Область определения:  х ≠ 0

Множество значений:  у ˃ 0

Чётность:  нечётная, у(–х) = –у(х)

Монотонность:  при  х < 0;  монотонно возрастает

                              при  х ˃ 0;  монотонно убывает

Экстремумы:  нет 

Выпуклость:  выпукла вниз

Точки перегибов:  нет

Точки пересечения с осями координат:  нет

Обратная функция:

Степенная функция с рациональным (дробным) показателем.

Рассмотрим степенную функцию   

y = x^p

с рациональным (дробным) показателем степени

где  n – целое, m ˃ 1 – натуральное. Причём, n, m  не имеет общих делителей.

Знаменатель дробного показателя – нечётный.

Пусть знаменатель дробного показателя степени

нечётный  m = 3, 5, 7, … . В этом случае, степенная функция  x^p  определена как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента  х.

Рассмотрим свойства таких степенных функций, когда показатель  р  находится в определённых пределах.

Показатель  р  отрицательный, р < 0.

Пусть рациональный показатель степени (с нечётным знаменателем  m = 3, 5, 7, … .) меньше нуля

Графики степенных функций

с рациональным отрицательным показателем при различных значениях показателя степени

где  m = 3, 5, 7, … – нечётное.

Нечётный числитель, n = –1, –3, –5, … .

Приводим свойства степенной функции  y = х^р  с рациональным отрицательным показателем

где  n = –1, –3, –5, … – нечётное отрицательное целое, m = 3, 5, 7, … – нечётное натуральное.

Область определения:  х ≠ 0

Множество значений:  у ≠ 0

Чётность:  нечётная, у(–х) = –у(х)

Монотонность:  монотонно убывает

Экстремумы:  нет 

Выпуклость:  при  х < 0;  выпукла вверх 

                          при  х ˃ 0;  выпукла вниз

Точки перегибов:  нет

Точки пересечения с осями координат:  нет

Обратная функция:

Чётный числитель, n = –2, –4, –6, … .

Свойства степенной функции  y = х^р  с рациональным отрицательным показателем

где  n = –2, –4, –6, … – чётное отрицательное целое, m = 3, 5, 7, … – нечётное натуральное.

Область определения:  х ≠ 0

Множество значений:  у ˃ 0

Чётность:  чётная, у(–х) = у(х)

Монотонность:  при  х < 0;  монотонно возрастает

                              при  х ˃ 0;  монотонно убывает

Экстремумы:  нет 

Выпуклость:  выпукла вниз

Точки перегибов:  нет

Точки пересечения с осями координат:  нет

Обратная функция:

Показатель  р  положительный, меньше единицы, 0 < р < 1.

График степенной функции

с рациональным показателем  (0 < р < 1)  при различных значениях показателя степени

где  m = 3, 5, 7, … – нечётное.

Нечётный числитель, n = 1, 3, 5, … .

Представлены свойства степенной функции  y = х^р  с рациональным показателем

находящимся в пределах  0 < р < 1, где  n = 1, 3, 5, … – нечётное натуральное, m = 3, 5, 7, … – нечётное натуральное.

Область определения:  –∞ < х < +∞

Множество значений:  –∞ ≤ у < +∞

Чётность:  нечётная, у(–х) = –у(х)

Монотонность:  монотонно возрастает

Экстремумы:  нет 

Выпуклость:  при  х < 0;  выпукла вниз 

                          при  х ˃ 0;  выпукла вверх

Точки перегибов:  х = 0,  у = 0

Точки пересечения с осями координат:  х = 0,  у = 0

Обратная функция:

Чётный числитель, n = 2, 4, 6, … .

Представлены свойства степенной функции  y = х^р  с рациональным показателем

находящимся в пределах  0 < р < 1, где  n = 2, 4, 6, … – чётное натуральное, m = 3, 5, 7, … – нечётное натуральное.

Область определения:  –∞ < х < +∞

Множество значений:  0 ≤ у < +∞

Чётность:  чётная, у(–х) = у(х)

Монотонность:  при  х < 0;  монотонно убывает

                              при  х ˃ 0;  монотонно возрастает

Экстремумы:  минимум при  х = 0,  у = 0 

Выпуклость:  выпукла вверх при   х ≠ 0

Точки перегибов:  нет

Точки пересечения с осями координат:  х = 0,  у = 0

Обратная функция:

Показатель  р  больше единицы, р ˃ 1.

График степенной функции

с рациональным показателем (р ˃ 1) при различных значениях показателя степени

где  m = 3, 5, 7, … – нечётное.

Нечётный числитель, n = 5, 7, 9, … .

Свойства степенной функции  y = х^р  с рациональным показателем, большим единицы

где  n = 5, 7, 9, … – нечётное натуральное, m = 3, 5, 7, … – нечётное натуральное.

Область определения:  –∞ < х < +∞

Множество значений:  –∞ < у < +∞

Чётность:  нечётная, у(–х) = –у(х)

Монотонность:  монотонно возрастает

Экстремумы:  нет 

Выпуклость:  –∞ < х < 0  выпукла вверх 

                          0 < х < +∞  выпукла вниз

Точки перегибов:  х = 0,  у = 0

Точки пересечения с осями координат:  х = 0,  у = 0

Обратная функция:

Чётный числитель, n = 4, 6, 8, … .

Свойства степенной функции  y = х^р  с рациональным показателем, большим единицы

где  n = 4, 6, 8, … – чётное натуральное, m = 3, 5, 7, … – нечётное натуральное.

Область определения:  –∞ < х < +∞

Множество значений:  0 ≤ у < +∞

Чётность:  чётная, у(–х) = у(х)

Монотонность:  при  х < 0;  монотонно убывает

                              при  х ˃ 0;  монотонно возрастает

Экстремумы:  минимум при  х = 0,  у = 0 

Выпуклость:  выпукла вниз

Точки перегибов:  нет

Точки пересечения с осями координат:  х = 0,  у = 0

Обратная функция:

ФУНКЦИЯ  х³ И ЕЁ ГРАФИК

Функция  у = х³  называется кубической функцией.

Составим таблицу значений функции

у = х³.

Из таблицы видно, что при  х > 0  и  у > 0  (куб положительного числа положителен), а при  х < 0  и  у < 0  (куб отрицательного числа отрицателен). Следовательно, график расположится на координатной плоскости в  I  и  III  четвертях. Заменим значение аргумента  х  противоположным значением  –х, тогда и функция примет противоположное значение; так как если  у = х³, то

(–х)³ = –у. 

Значит, каждой точке  (х; у)  графика соответствует точка  (–х; –у)  того же графика, расположенная симметрично относительно начала координат.

Таким образом, начало координат является центром симметрии графика.

График функции  у = х³  изображён на рисунке. Эта линия называется кубической параболой.

В  I  четверти кубическая парабола  (при  х > 0)  <<круто>>  поднимается вверх (значения  у  <<быстро>> возрастают при возрастании  х, см. таблицу), при малых значениях  х  линия <<тесно>> проходит к оси абсцисс (при <<малых>> значениях  х  значение  у  <<весьма мало>>, см. таблицу). Левая часть кубической параболы (в  III  четверти) симметрична правой относительно начала координат.

Аккуратно вычерченный график может служить средством приближённого возведения чисел в куб. Так, например, положив  х = 1, 6,  найдём по графику  у ≈ 4,1.  Для приближённого вычисления кубов составлены специальные таблицы.

Если график квадратичной функции был симметричен оси  Оу, то график кубической параболы симметричен относительно начала координат, то есть точки  (0; 0).

Свойства кубической функции.

– при  х = 0, у = 0, при  х > 0, у > 0, при  х < 0, у < 0;

– у кубической функции не существует не максимального ни минимального значения;

– кубическая функция возрастает на всей числовой оси (–∞; +∞);

– противоположным значениям  х, соответствуют противоположные значения  у.

ФУНКЦИЯ

Перечислим свойства функции.

– область определения функции – вся числовая прямая;

– функция нечётная, так как

– функция возрастает на всей числовой прямой;

Для построения графика функции составим таблицу кубических корней (приближённые значения):

График функции изображен на чертеже.

Задания к уроку 29

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Координатная плоскость
• Урок 2. Диаграммы
• Урок 3. Графики
• Урок 4. Множества
• Урок 5. Что такое функция ?
• Урок 6. Аналитический способ задания функции
• Урок 7. Табличный способ задания функции
• Урок 8. Графический способ задания функции
• Урок 9. Нахождение области определения и области значения функции аналитическим методом
• Урок 10. Нахождение области определения и области значения функции с помощью графика
• Урок 11. Нули функции
• Урок 12. Возрастание и убывание функции
• Урок 13. Экстремальные значения функции
• Урок 14. Симметричные функции
• Урок 15. Чётные и нечётные функции
• Урок 16. Функция, обратная данной
• Урок 17. Линейная функция
• Урок 18. График линейной функции
• Урок 19. Прямая пропорциональность
• Урок 20. График прямой пропорциональности
• Урок 21. Взаимное расположение графиков линейных функций
• Урок 22. Функция обратно пропорциональной зависимости
• Урок 23. График функции обратно пропорциональной зависимости
• Урок 24. Квадратичная функция
• Урок 25. График функции  у = aх² + b
• Урок 26. График функции  у = a(х - m)² + n
• Урок 27. График функции  у = aх² + bx + c
• Урок 28. Функция  y = √͞͞͞͞͞х и её график 
• Урок 30. Построение графиков функций методом геометрических преобразований