Урок 29. Функція у = хn і її графік

СТАТЕЧНІ ФУНКЦІЇ

Графік статечної функції.

Статечна функція з показником рівним нулю, р = 0.

Якщо показник статечної функції  у = х^р  дорівнює нулю, р = 0, то статечна функція визначена для усіх  х ≠ 0  і являється постійній, рівній одиниці.

у = х^р = х⁰ = 1,  х ≠ 0.

Статечна функція з натуральним непарним показником,

n = 1, 3, 5, ….

Розглянемо статечну функцію

y = х^р = хⁿ

c натуральним непарним показником степеня

n = 1, 3, 5, … .

Такий показник також можна записати у виді:

n = 2k + 1, где  k = 0, 1, 2, 3, …  – ціле не негативне.

Графік статечної функції  y = хⁿ  з натуральним непарним показником при різних значеннях показника степеня

n = 1, 3, 5, … .

Область визначення:  –∞ < х < +∞

Безліч значень:  –∞ < у < +∞

Парність:  непарна, у(–х) = –у(х)

Монотонність:  монотонно зростає

Екстремуми:  ні

Опуклість:  при  –∞ < х < 0  опукла вверх,

                      при  0 < х < ∞  опукла вниз

Точки перегинів:  х = 0, у = 0

Точки перетину з осями координат:  х = 0, у = 0

Зворотна функція:

при  n = 1, функція є зворотною до самої собі:  х = у

при  n ≠ 1, зворотною функцією є корінь міри  n:

Статечна функція з натуральним парним показником,

n = 2, 4, 6, ….

Розглянемо статечну функцію

y = х^р = хⁿ

c натуральним парним показником степеня

n = 2, 4, 6, … .

Такий показник також можна записати у виді:

n = 2k, где  k = 1, 2, 3, …  – натуральне.

Графік статечної функції  y = хⁿ  з натуральним парним показником при різних значеннях показника степеня

n = 2, 4, 6, … .

Область визначення:  –∞ < х < +∞

Безліч значень:  0 ≤ у < +∞

Парність:  парна, у(–х) = у(х)

Монотонність:  при  х < 0  монотонно убуває

                             при  х ˃ 0  монотонно зростає

Екстремуми:  мінімум х = 0, у = 0 

Опуклість:  опукла вниз

Точки перегинів:  ні

Точки перетину з осями координат:  х = 0, у = 0

Зворотна функція:

при  n = 2, квадратний корінь:

при  n ≠ 2, корінь степеня  n:

Статечна функція з цілим негативним показником

n = –1, –2, –3, … .

Розглянемо статечну функцію

y = х^р = хⁿ 

з цілим негативним показником степеня

n = –1, –2, –3, … .

Якщо покласти  n = –k, де  k = 1, 2, 3, …  – натуральне, то її можна представити у виді:

Графік статечної функції  y = хⁿ  з цілим негативним показником n = –1, –2, –3, … .

Непарний показник, n = –1, –3, –5, … .

Область визначення:  х ≠ 0

Безліч значень:  у ≠ 0

Парність:  непарна, у(–х) = –у(х)

Монотонність:  монотонно убуває

Екстремуми:  ні

Опуклість:  при  х < 0;  опукла вверх 

                      при  х ˃ 0;  опукла вниз

Точки перегинів:  ні

Точки перетину з осями координат:  ні

Зворотна функція:

Парний показник, n = –2, –4, –6, … .

Область визначення:  х ≠ 0

Безліч значень:  у ˃ 0

Парність:  непарна, у(–х) = –у(х)

Монотонність:  при  х < 0;  монотонно зростає

                             при  х ˃ 0;  монотонно убуває

Екстремуми:  ні

Опуклість:  опукла вниз

Точки перегинів:  ні

Точки перетину з осями координат:  ні

Зворотна функція:

Статечна функція з раціональним (дробовим) показником.

Розглянемо статечну функцію

y = x^p

з раціональним (дробовим) показником степеня

де  n – ціле, m ˃ 1 – натуральне. Причому, n, m  не має загальних дільників.

Знаменник дробового показника - непарний.

Нехай знаменник дробового показника степеня

непарній  m = 3, 5, 7, … . В цьому випадку, статечна функція  x^p  визначена як для позитивних, так і для негативних значень аргументу  х.

Розглянемо властивості таких статечних функцій, коли показник  р  знаходиться в певних межах.

Показник  р  негативній, р < 0.

Нехай раціональний показник міри (з непарним знаменником m = 3, 5, 7, … .) менше нуля

Графіки статечних функцій

з раціональним негативним показником при різних значеннях показника степеня

де  m = 3, 5, 7, … – непарне.

Непарний показник, n = –1, –3, –5, … .

Приводимо властивості статечної функції  y = x^p  з раціональним негативним показником

де  n = –1, –3, –5, … – непарне негативне ціле, m = 3, 5, 7, … – непарне натуральне.

Область визначення:  х ≠ 0

Безліч значень:  у ≠ 0

Парність:  непарна, у(–х) = –у(х)

Монотонність:  монотонно убуває

Екстремуми:  ні

Опуклість:  при  х < 0;  опукла вверх 

                      при  х ˃ 0;  опукла вниз

Точки перегинів:  ні

Точки перетину з осями координат:  ні

Зворотна функція:

Парний показник, n = –2, –4, –6, … .

Властивості статечної функції  y = x^p  з раціональним негативним показником

де  n = –2, –4, –6, … – парне негативне ціле, m = 3, 5, 7, … – непарне натуральне.

Область визначення:  х ≠ 0

Безліч значень:  у ˃ 0

Парність:  парна, у(–х) = у(х)

Монотонність:  при  х < 0;  монотонно зростає

                             при  х ˃ 0;  монотонно убуває

Екстремуми:  ні

Опуклість:  опукла вниз

Точки перегинів:  ні

Точки перетину з осями координат:  ні

Зворотна функція:

Показник  р  позитивний, менше одиниці, 0 < р < 1.

Графіки статечних функцій

з раціональним показником  (0 < р < 1)  при різних значеннях показника степеня

де  m = 3, 5, 7, … – непарне.

Непарний показник, n = 1, 3, 5, … .

Представлені властивості статечної функції  y = х^р  з раціональним показником

що знаходиться в межах  0 < р < 1, де  n = 1, 3, 5, … – непарне натуральне, m = 3, 5, 7, … – непарне натуральне.

Область визначення:  –∞ < х < +∞

Безліч значень:  –∞ ≤ у < +∞

Парність:  непарна, у(–х) = –у(х)

Монотонність:  монотонно зростає

Екстремуми:  ні

Опуклість:  при  х < 0;  опукла вниз 

                      при  х ˃ 0;  опукла вверх

Точки перегинів:  х = 0,  у = 0

Точки перетину з осями координат:  х = 0,  у = 0

Зворотна функція::

Парний показник, n = 2, 4, 6, … .

Представлені властивості статечної функції  y = х^р  з раціональним показником

що знаходиться в межах  0 < р < 1, де  n = 2, 4, 6, … – парне натуральне, m = 3, 5, 7, … – непарне натуральне.

Область визначення:  –∞ < х < +∞

Безліч значень:  0 ≤ у < +∞

Парність:  парна, у(–х) = у(х)

Монотонність:  при  х < 0;  монотонно убуває

                              при  х ˃ 0;  монотонно зростає

Екстремуми:  мінімум при  х = 0,  у = 0 

Опуклість:  опукла вверх при   х ≠ 0

Точки перегинів:  ні

Точки перетину з осями координат:  х = 0,  у = 0

Зворотна функція:

Показник  р  більше одиниці, р ˃ 1.

Графік статечної функції

з раціональним показником (р ˃ 1) при різних значеннях показника степеня

де  m = 3, 5, 7, … – непарне.

Непарний показник, n = 5, 7, 9, … .

Властивості статечної функції  y = x^p  з раціональним показником більшим  одиниці

де  n = 5, 7, 9, … – непарне натуральне, m = 3, 5, 7, … – непарне натуральне.

Область визначення:  –∞ < х < +∞

Безліч значень:  –∞ < у < +∞

Парність:  непарна, у(–х) = –у(х)

Монотонність:  монотонно зростає

Екстремуми:  ні

Опуклість:  –∞ < х < 0  опукла вверх 

                          0 < х < +∞  опукла вниз

Точки перегинів:  х = 0,  у = 0

Точки перетину з осями координат:  х = 0,  у = 0

Зворотна функція: :

Парний показник, n = 4, 6, 8, … .

Властивості статечної функції  y = x^p  з раціональним показником більшим  одиниці

де  n = 4, 6, 8, … – парне натуральне, m = 3, 5, 7, … – непарне натуральне.

Область визначення:  –∞ < х < +∞

Безліч значень:  0 ≤ у < +∞

Парність:  парна, у(–х) = у(х)

Монотонність:  при  х < 0;  монотонно убуває

                              при  х ˃ 0;  монотонно зростає

Екстремуми:  мінімум при  х = 0,  у = 0 

Опуклість:  опукла вниз

Точки перегинів:  ні

Точки перетину з осями координат:  х = 0,  у = 0

Зворотна функція:

ФУНКЦІЯ  х³ І ЇЇ ГРАФІК

Функція  у = х³  називається кубічною функцією.

Складемо таблицю значень функції

у = х³.

З таблиці видно, що при  х > 0  і  у > 0   (куб позитивного числа позитивний), а при  х < 0  і  у < 0   (куб негативного числа негативний). Отже, графік розташується на координатній площині в  I  і  III  чвертях. Замінимо значення аргументу  х  протилежним значенням  –х, тоді і функція набуде протилежного значення; оскільки якщо  у = х³, то

(–х)³ = –у. 

Значить, кожній точці   (х; у)   графіку відповідає точка   (–х; –у)   того ж графіку, розташована симетрично відносно початку координат.

Таким чином, початок координат є центром симетрії графіку.

Графік функції  у = х³  зображений на малюнку. Ця лінія називається кубічною параболою.

У  I  чверті кубічна парабола   (при  х > 0)   <<круто>>  піднімається вгору (значення  у  <<швидко>> зростають при зростанні  х, див. таблицю), при малих значеннях  х  лінія <<тісно>> проходить до осі абсцис (при <<малих>> значеннях  х  значення  у  <<дуже мало>>, см. таблицю). Ліва частина кубічної параболи (у  III  чверті) симетрична правою відносно початку координат.

Акуратно викреслений графік може служити засобом наближеного зведення чисел в куб. Так, наприклад, поклавши  х = 1,6,  знайдемо по графіку  у ≈ 4,1.  Для наближеного обчислення кубів складені спеціальні таблиці.

Якщо графік квадратичної функції був симетричний осі  Оу, то графік кубічної параболи симетричний відносно початку координат, тобто точки   (0; 0).

Властивості кубічної функції.

– при  х = 0, у = 0, при  х > 0, у > 0, при  х < 0, у < 0;

– у кубічної функції не існує не максимального ні мінімального значення;

– кубічна функція зростає на усій числовій осі (–∞; +∞);

– протилежним значенням  х, відповідають протилежні значення  у.

ФУНКЦІЯ

Перерахуємо властивості функції.

– область визначення функції – уся числова пряма;

– функція непарна, оскільки

– функція зростає на усій числовій прямій.

Для побудови графіку функції складемо таблицю кубічних коренів (наближені значення):

Графік функції зображений на кресленні.

Завдання до уроку 29

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Координатна площина
• Урок 2. Діаграми
• Урок 3. Графіки
• Урок 4. Множини
• Урок 5. Що таке функція ?
• Урок 6. Аналітичній спосіб задання функції
• Урок 7. Табличний спосіб задання функції
• Урок 8. Графічний спосіб задання функції
• Урок 9. Знаходження області визначення і області значення функції аналітичним способом
• Урок 10. Знаходження області визначення і області змині за допомогою графіка
• Урок 11. Нулі функції
• Урок 12. Зростання і спадання функції
• Урок 13. Екстремальні значення функцій
• Урок 14. Симетричні функції
• Урок 15. Парні і непарні функції
• Урок 16. Функція, зворотна даною
• Урок 17. Лінійна функція
• Урок 18. Графік лінійної функції
• Урок 19. Пряма пропорційність
• Урок 20. Графік прямої пропорціональності
• Урок 21. Взаємне розташування графіків лінійних функцій
• Урок 22. Функція обернено пропорціональної залежності
• Урок 23. Графік функції обернено пропорціональної залежності
• Урок 24. Квадратична функція
• Урок 25. Графік функції  у = aх² + b
• Урок 26. Графік функції  у = a(х - m)² + n
• Урок 27. Графік функції  у = aх² + bx + c
• Урок 28. Функція  у = √͞͞͞͞͞х   і її графік
• Урок 30. Побудова графіків функцій методом геометричних перетворень