Уроки математики и физики (RU + UA)

понедельник, 20 августа 2018 г.

Урок 29. Функція у = хn і її графік

СТАТЕЧНІ ФУНКЦІЇ

Графік статечної функції.
Статечна функція з показником рівним нулю, р = 0.

Якщо показник статечної функції  у = хр  дорівнює нулю, р = 0, то статечна функція визначена для усіх  х ≠ 0  і являється постійній, рівній одиниці.

у = хр = х0 = 1х ≠ 0.

Статечна функція з натуральним непарним показником,
n = 1, 3, 5, ….

Розглянемо статечну функцію

y = хр = хn

c натуральним непарним показником степеня

n = 1, 3, 5, … .

Такий показник також можна записати у виді:

n = 2k + 1, где  k = 0, 1, 2, 3, …  – ціле не негативне.

Графік статечної функції  y = хn  з натуральним непарним показником при різних значеннях показника степеня
n = 1, 3, 5, … .
Область визначення:  < х < +
Безліч значень:  < у < +
Парність:  непарна, у(–х) = –у(х)
Монотонність:  монотонно зростає
Екстремуми:  ні
Опуклість:  при  < х < 0  опукла вверх,
                      при  0 < х <   опукла вниз
Точки перегинів:  х = 0, у = 0
Точки перетину з осями координат:  х = 0, у = 0
Зворотна функція:
при  n = 1, функція є зворотною до самої собі:  х = у
при  n 1, зворотною функцією є корінь міри  n:
Статечна функція з натуральним парним показником,
n = 2, 4, 6, ….

Розглянемо статечну функцію

y = хр = хn

c натуральним парним показником степеня

n = 2, 4, 6, … .

Такий показник також можна записати у виді:

n = 2k, где  k = 1, 2, 3, …  – натуральне.

Графік статечної функції  y = хn  з натуральним парним показником при різних значеннях показника степеня
n = 2, 4, 6, … .
Область визначення:  < х < +
Безліч значень:  0 ≤ у < +
Парність:  парна, у(–х) = у(х)
Монотонність:  при  х < 0  монотонно убуває
                             при  х ˃ 0  монотонно зростає
Екстремуми:  мінімум х = 0, у = 0 
Опуклість:  опукла вниз
Точки перегинів:  ні
Точки перетину з осями координат:  х = 0, у = 0
Зворотна функція:
при  n = 2, квадратний корінь:
при  n 2, корінь степеня  n:
Статечна функція з цілим негативним показником
n = –1, –2, –3, … .

Розглянемо статечну функцію

y = хр = хn 

з цілим негативним показником степеня

n = –1, –2, –3, … .

Якщо покласти  n = –k, де  k = 1, 2, 3, …  – натуральне, то її можна представити у виді:
Графік статечної функції  y = хn  з цілим негативним показником n = –1, –2, –3, … .
Непарний показник, n = –1, –3, –5, … .
Область визначення:  х 0
Безліч значень:  у 0
Парність:  непарна, у(–х) = –у(х)
Монотонність:  монотонно убуває
Екстремуми:  ні
Опуклість:  при  х < 0опукла вверх 
                      при  х ˃ 0опукла вниз
Точки перегинів:  ні
Точки перетину з осями координат:  ні
Зворотна функція:
Парний показник, n = –2, –4, –6, … .
Область визначення:  х 0
Безліч значень:  у ˃ 0
Парність:  непарна, у(–х) = –у(х)
Монотонність:  при  х < 0монотонно зростає
                             при  х ˃ 0монотонно убуває
Екстремуми:  ні
Опуклість:  опукла вниз
Точки перегинів:  ні
Точки перетину з осями координат:  ні
Зворотна функція:
Статечна функція з раціональним (дробовим) показником.

Розглянемо статечну функцію

y = xp

з раціональним (дробовим) показником степеня
де  n – ціле, m ˃ 1 – натуральне. Причому, n, m  не має загальних дільників.

Знаменник дробового показника - непарний.

Нехай знаменник дробового показника степеня
непарній  m = 3, 5, 7, … . В цьому випадку, статечна функція  xp  визначена як для позитивних, так і для негативних значень аргументу  х.
Розглянемо властивості таких статечних функцій, коли показник  р  знаходиться в певних межах.

Показник  р  негативній, р < 0.

Нехай раціональний показник міри (з непарним знаменником m = 3, 5, 7, … .) менше нуля
Графіки статечних функцій
з раціональним негативним показником при різних значеннях показника степеня
де  m = 3, 5, 7, … – непарне.

Непарний показник, n = –1, –3, –5, … .

Приводимо властивості статечної функції  y = xp  з раціональним негативним показником
де  n = –1, –3, –5,– непарне негативне ціле, m = 3, 5, 7, … – непарне натуральне.

Область визначення:  х 0
Безліч значень:  у 0
Парність:  непарна, у(–х) = –у(х)
Монотонність:  монотонно убуває
Екстремуми:  ні
Опуклість:  при  х < 0опукла вверх 
                      при  х ˃ 0опукла вниз
Точки перегинів:  ні
Точки перетину з осями координат:  ні
Зворотна функція:
Парний показник, n = –2, –4, –6, … .

Властивості статечної функції  y = xp  з раціональним негативним показником
де  n = –2, –4, –6,– парне негативне ціле, m = 3, 5, 7, … – непарне натуральне.

Область визначення:  х 0
Безліч значень:  у ˃ 0
Парність:  парна, у(–х) = у(х)
Монотонність:  при  х < 0монотонно зростає
                             при  х ˃ 0монотонно убуває
Екстремуми:  ні
Опуклість:  опукла вниз
Точки перегинів:  ні
Точки перетину з осями координат:  ні
Зворотна функція:
Показник  р  позитивний, менше одиниці, 0 < р < 1.

Графіки статечних функцій
з раціональним показником  (0 < р < 1)  при різних значеннях показника степеня
де  m = 3, 5, 7, … – непарне.
Непарний показник, n = 1, 3, 5, … .

Представлені властивості статечної функції  y = хр  з раціональним показником
що знаходиться в межах  0 < р < 1, де  n = 1, 3, 5,– непарне натуральне, m = 3, 5, 7, … – непарне натуральне.

Область визначення:  < х < +
Безліч значень:  у < +
Парність:  непарна, у(–х) = –у(х)
Монотонність:  монотонно зростає
Екстремуми:  ні
Опуклість:  при  х < 0опукла вниз 
                      при  х ˃ 0опукла вверх
Точки перегинів:  х = 0,  у = 0
Точки перетину з осями координат:  х = 0,  у = 0
Зворотна функція::
Парний показник, n = 2, 4, 6, … .

Представлені властивості статечної функції  y = хр  з раціональним показником
що знаходиться в межах  0 < р < 1, де  n = 2, 4, 6,– парне натуральне, m = 3, 5, 7, … – непарне натуральне.

Область визначення:  < х < +
Безліч значень:  0 ≤ у < +
Парність:  парна, у(–х) = у(х)
Монотонність:  при  х < 0монотонно убуває
                              при  х ˃ 0монотонно зростає
Екстремуми:  мінімум при  х = 0,  у = 0 
Опуклість:  опукла вверх при   х 0
Точки перегинів:  ні
Точки перетину з осями координат:  х = 0,  у = 0
Зворотна функція:
Показник  р  більше одиниці, р ˃ 1.

Графік статечної функції
з раціональним показником (р ˃ 1) при різних значеннях показника степеня
де  m = 3, 5, 7, … – непарне.
Непарний показник, n = 5, 7, 9, … .

Властивості статечної функції  y = xp  з раціональним показником більшим  одиниці
де  n = 5, 7, 9,– непарне натуральне, m = 3, 5, 7, … – непарне натуральне.

Область визначення:  < х < +
Безліч значень:  < у < +
Парність:  непарна, у(–х) = –у(х)
Монотонність:  монотонно зростає
Екстремуми:  ні
Опуклість:  < х < 0  опукла вверх 
                          0 < х < +  опукла вниз
Точки перегинів:  х = 0,  у = 0
Точки перетину з осями координат:  х = 0,  у = 0
Зворотна функція: :
Парний показник, n = 4, 6, 8, … .

Властивості статечної функції  y = xp  з раціональним показником більшим  одиниці
де  n = 4, 6, 8,– парне натуральне, m = 3, 5, 7, … – непарне натуральне.

Область визначення:  < х < +
Безліч значень:  0 ≤ у < +
Парність:  парна, у(–х) = у(х)
Монотонність:  при  х < 0монотонно убуває
                              при  х ˃ 0монотонно зростає
Екстремуми:  мінімум при  х = 0,  у = 0 
Опуклість:  опукла вниз
Точки перегинів:  ні
Точки перетину з осями координат:  х = 0,  у = 0
Зворотна функція:
ФУНКЦІЯ  х3 І ЇЇ ГРАФІК

Функція  у = х3  називається кубічною функцією.
Складемо таблицю значень функції

у = х3.
З таблиці видно, що при  х > 0  і  у > 0   (куб позитивного числа позитивний), а при  х < 0  і  у < 0   (куб негативного числа негативний). Отже, графік розташується на координатній площині в  I  і  III  чвертях. Замінимо значення аргументу  х  протилежним значенням  –х, тоді і функція набуде протилежного значення; оскільки якщо  у = х3, то

(–х)3 = –у

Значить, кожній точці   (х; у)   графіку відповідає точка   (–х; –у)   того ж графіку, розташована симетрично відносно початку координат.
Таким чином, початок координат є центром симетрії графіку.
Графік функції  у = х3  зображений на малюнку. Ця лінія називається кубічною параболою.
У  I  чверті кубічна парабола   (при  х > 0)   <<круто>>  піднімається вгору (значення  у  <<швидко>> зростають при зростанні  х, див. таблицю), при малих значеннях  х  лінія <<тісно>> проходить до осі абсцис (при <<малих>> значеннях  х  значення  у  <<дуже мало>>, см. таблицю). Ліва частина кубічної параболи (у  III  чверті) симетрична правою відносно початку координат.
Акуратно викреслений графік може служити засобом наближеного зведення чисел в куб. Так, наприклад, поклавши  х = 1,6,  знайдемо по графіку  у ≈ 4,1.  Для наближеного обчислення кубів складені спеціальні таблиці.
Якщо графік квадратичної функції був симетричний осі  Оу, то графік кубічної параболи симетричний відносно початку координат, тобто точки   (0; 0).

Властивості кубічної функції.

– при  х = 0, у = 0, при  х > 0, у > 0, при  х < 0, у < 0;
– у кубічної функції не існує не максимального ні мінімального значення;
– кубічна функція зростає на усій числовій осі (–∞; +∞);
– протилежним значенням  х, відповідають протилежні значення  у.

ФУНКЦІЯ
Перерахуємо властивості функції.
область визначення функції уся числова пряма;
функція непарна, оскільки
– функція зростає на усій числовій прямій.

Для побудови графіку функції складемо таблицю кубічних коренів (наближені значення):
Графік функції зображений на кресленні.
Завдання до уроку 29
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий