Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

суббота, 22 сентября 2018 г.

Урок 17. Комбинации тел (2)

Нами уже рассмотрены простые геометрические тела: призма, пирамида, цилиндр, конус, шар. Но в природе, технике и геометрии также рассматривают комбинации указанных геометрических тел.

ПРИМЕР:
Многогранник, описанный вокруг шара.

Шар называется вписанным в многогранник, а многогранник – описанным вокруг шара, если плоскости всех граней касаются шара.
Основные свойства призмы, описанной вокруг шара, такие:

– шар можно вписать в прямую призму, если её основанием является многогранник, в который можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности;
– центр шара является серединой высоты призмы, которая соединяет центры окружностей, вписанных в многогранники оснований призмы.
Объём многогранника, описанного вокруг шара, равен произведению полной поверхности многогранника умноженной на третью часть радиуса шара.
ЗАДАЧА:

Найти радиус шара, вписанного в пирамиду, основанием которого является ромб с диагоналями  6  и  8, а высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна  1.

РЕШЕНИЕ:

Зная диагонали ромба найдём его сторону:
Радиус вписанного в ромб круга:
где  S – площадь ромба, а  Р – его периметр. Тогда:
Высота боковой грани пирамиды,
где  h – высота пирамиды, а  r – радиус вписанной в основание круга окружности.
Выполнив вычисления, находим, что
Полная поверхность пирамиды:
а объём пирамиды:
Если объём многогранника, описанного вокруг шара, равен произведению полной поверхности многогранника на третью часть радиуса шара:
то радиус  R  шара, вписанного в пирамиду, равен:
ОТВЕТ:  0,48.

Шар называется вписанным в конус, усечённый конус и цилиндр, если поверхность шара касается плоскостей оснований этих фигур и всех образующих её боковых поверхностей.


Шар называется описанным вокруг конуса, если поверхность шара проходит через вершину конуса, а окружность основания конуса лежит на поверхности шара.
Шар называется описанным вокруг цилиндра и усечённого конуса, если окружности их оснований лежат на поверхности шара.
Обратите внимание, что в конус всегда можно вписать шар, а вокруг цилиндра и усечённого конуса всегда можно описать шар.
Для других пространственных фигур условия возможности вписать в них и описать вокруг них шар должны быть в каждом случае специально обозначены.

Решение задач с применением тригонометрии.

ЗАДАЧА:

В конус вписана пирамида  SАВС.
В треугольнике АВС, ∠ АСВ = 60°, АВ = 2√͞͞͞͞͞3. Высота конуса  SН  равна  9. Найдите объём конуса.

РЕШЕНИЕ:

В основании конуса лежит окружность, которая описана вокруг треугольника  АВС. По следствию из теоремы синусов:
где  R – радиус описанной окружности,
R = 2.

Зная радиус окружности, лежащей в основании конуса, можем найти его объём:

Vкон = 1/3 SHπR2 = 1/3∙ 9∙ π∙ 4 = 12π,

ОТВЕТ:  12π

ЗАДАЧА:

Найдите объём шара, вписанного в тетраэдр с ребром  а  и двугранным углом при ребре основания  α. 

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж:
Объём шара находим по следующей формуле:

Vшара = 4/3 πR3.

Решение задачи сводится к нахождению радиуса шара. Центр шара, точка  О, лежит на высоте пирамиды (свойство шара, вписанного в тетраэдр).

Проведём высоту пирамиды  РО1, О1 – центр окружности, описанной около основания пирамиды.

Шар касается боковой грани тетраэдра – ∆ РАВ – в некоторой точке  К, лежащей на апофеме  РМ (свойство шара, вписанного в тетраэдр).

Запишем формулу для нахождения радиуса окружности, вписанной в треугольник  АВС:

О1М = 1/2 О1С = а/6√͞͞͞͞͞3.

∠ РМО1 = α (определение линейного угла двугранного угла).

Найдём радиус шара  ОО1 = R  из треугольника  ОО1М.

∆ ОО1М = ∆ ОКМ (по двум катетам), поэтому

∠ О1МО = 1/2 ∠ РМО1 = α/2.

Из  ∆ ОО1М  находим:

R = О1М ∙ tg α/2 = а/6√͞͞͞͞͞3 ∙ tg α/2.

Объём шара:

Vшара = 4/3 πR3 =

= 4/3 π∙ (а/6√͞͞͞͞͞3 ∙ tg α/2)3 =

= 1/54√͞͞͞͞͞3 πa3∙ tg3 α/2.

ЗАДАЧА:

Дана правильная треугольная пирамида объёма  V. В эту пирамиду вписан цилиндр так, что одно из его оснований принадлежит основанию пирамиды, а другое основание вписано в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Найдите наибольший возможный объём такого цилиндра.

РЕШЕНИЕ:

Дана правильная треугольная пирамида  SАВС, объём её равен  V.
В пирамиду вписан цилиндр, нижнее основание цилиндра принадлежит основанию пирамиды, а второе – плоскости сечения, параллельного основанию.

Высоту пирамиды обозначим  Н, длину стороны основания – а, высоту цилиндра – h, радиус цилиндра – r.

Для нахождения наибольшего возможного объёма цилиндра можно выразить объём цилиндра как функцию, например высоты цилиндра    и найти максимум этой функции.

Рассмотрим сечение  А1В1С1  пирамиды плоскостью верхнего основания цилиндра. Это правильный треугольник, гомотетичний основанию  АВС  с коэффициентом гомотетии
Сторона сечения имеет длину
а радиус вписанной окружности равен:
Это и есть радиус цилиндра, то есть:
Находим объём цилиндра как функцию  h:
Найдём критическую точку найденной функции:
h0 = 1/3 H.

При  h = h0  функция  Vц  имеет наибольшее значение, равное:

1/81 a2H.

По условию  1/12√͞͞͞͞͞3 a2H = V.

Наибольший возможный объём рассматриваемых цилиндров равен:

4/81√͞͞͞͞͞3 πV.

Задания к уроку 17
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий