Урок 10. Объём правильной пирамиды

среда, 8 августа 2018 г.

Урок 10. Объём правильной пирамиды

Объём правильной пирамиды равен одной трети произведения площади её основания на высоту.

где S – площадь основания, а Н – высота пирамиды.

Правильная четырёхугольная пирамида.

Правильная треугольная пирамида.

Правильная шестиугольная пирамида.

ЗАДАЧА:

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите объём пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

Пусть QABC – заданная по условию пирамида, ∆ АВС – правильный, ВС = 6 см, QК – высота пирамиды, ∠ QВК = 45°.

Площадьоснования:

где а = ВС = 6 см – сторона основания. Имеем

Поскольку К – центр треугольника, то КВ = R – радиус окружности, описанной вокруг основания:

В ∆ QKB (∠ K = 90°, ∠ QBK = 45°),

∠ KQB = 180° – (90° + 45°) = 45°.

Так как ∆ QKB – равнобедренный и QK = КВ = 2√͞͞͞͞͞3 (см).

Объём пирамиды:

ЗАДАЧА:

Через сторону основания правильной треугольной пирамиды и середину высоты проведена плоскость, которая образует с плоскостью основания угол α. Найдите объём пирамиды, если её высота равна Н.

РЕШЕНИЕ:

Пусть SABC – данная правильная пирамида

SО – высота, где О – точка пересечения медиан равностороннего треугольника АВС, SО = Н. Плоскость SСО пересекает боковую грань АВS по прямой КS. Тогда К – середина стороны АВ и Р – середина высоты SО принадлежит плоскости СSК. Проведём прямую КР, которая пересекается с ребром SС в точке F. АFВ – данное сечение. Поскольку пирамида правильная, то треугольник АFВ – равнобедренный (АF = ВF как соответствующие стороны равных треугольников АSF и ВSF). Отрезок КО – проекция отрезка КР на плоскость основания. Тогда ∠ PKO – угол между плоскостью основания и плоскостью АFВ. По условию, ∠ PKO = α.

Из ∆ POK (∠ O = 90°):

KO = PO ctg ∠ K = ¹/₂ H ctg α.

Из ∆ AOK (∠ K = 90°):

AK = KO ctg 30° = ¹/₂ H ctg α ∙ √͞͞͞͞͞3.

AB = 2AK = √͞͞͞͞͞3 H ctg α.

ОТВЕТ:
Задания к уроку 10

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

среда, 8 августа 2018 г.