Уроки математики и физики (RU + UA)

пятница, 19 октября 2018 г.

Урок 30. Построение графиков функций методом геометрических преобразований

Преобразования графиков функций – это линейные преобразования функции  y = f(x)  или её аргумента  х  к виду

y = af(kx + b) + m,

а так же преобразование с использованием модуля.

Зная, как строить графики функции  y = f(x), где 

y = kx + b,
y = ax2,
y = xn,
y = k/x,
y = ax,
y = loga x,

можно построить график функции

y = af(kx + b) + m.

ОБЩИЙ ВИД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУНКЦИИ

Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на  |b|  единиц.

y = f(x b)

вправо, если  b ˃ 0;
влево, если  b < 0.

y = f(x + b)

влево, если  b ˃ 0;
вправо, если  b < 0.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у = (х + 2)3.

Построим график функции  у = х3 и параллельно перенесём его влево на  2  единицы вдоль оси  х  (так как  2 ˃ 0). Получим график функции

у = (х + 2)3.
ПРИМЕР:

Построить график функции

у = (х – 3)2.

Построим график функции  у = х2 и параллельно перенесём его вправо на  3  единицы вдоль оси  х  (так как  –3 < 0). Получим график функции

у = (х – 3)2.
Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на  |m|  единиц.

y = f(x) + m

вверх, если  m ˃ 0;
вниз, если  m < 0.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у = х2 – 5.

Построим график функции  у = х2 и параллельно перенесём его вниз на  5  единиц вдоль оси  у  (так как  –5 < 0). получим график функции

у = х2 – 5.
ПРИМЕР:

Построить график функции

у = √͞͞͞͞͞х  + 4.

Построим график функции  у = √͞͞͞͞͞х   и параллельно перенесём его вверх на  4  единицы вдоль оси  у  (так как  4 ˃ 0). Получим график функции

у = √͞͞͞͞͞х  + 4.
Отражение графика.

y = f(–x)

Симметричное отражение графика относительно оси ординат.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у = –х + 3.

Построим график функции  у = х + 3  и отобразим полученный график симметрично относительно оси  у  и получим график функции

у = –х + 3
y = –f(x)

Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у = –(х – 3)2.

Построим график функции  у = х2 и параллельно перенесём его вправо на  3  единицы вдоль оси  х  (так как  –3 < 0). получим график функции

у = (х – 3)2.

отобразим полученный график симметрично относительно оси  х  и получим график функции

у = –(х – 3)2.
Сжатие и растяжение графика.

y = f(kx)

При  k ˃ 1 – сжатие графика к оси ординат в  k  раз,
при  0 < k < 1 – растяжение графика от оси ординат в  k  раз,

ПРИМЕР:

Построить график функции

у = (3х)2.

Построим график функции  у = х2. Выполним сжатие графика функции  в три раза до оси  у  и получим график функции

у = (3х)2.
ПРИМЕР:

Построить график функции
Построим график функции  у = √͞͞͞͞͞х. Выполним растяжение графика функции в 1/от оси  у  и получим график функции


y = kf(x)

При  k ˃ 1 – растяжение графика от оси абсцисс в  k  раз,
при  0 < k < 1 – сжатие графика к оси абсцисс в  k  раз.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у = 3√͞͞͞͞͞х.

Построим график функции  у = √͞͞͞͞͞х . Выполним растяжение графика функции в три раза относительно оси  х  и получим график функции

у = 3√͞͞͞͞͞х.
ПРИМЕР:

Построить график функции

у = 1/3 х3.

Построим график функции  у = х3. Выполним сжатие графика функции  у = х3  в три раза к оси  х  и получим график функции

у = 1/3 х3.
Преобразования графика с модулем.

у = | f(x)|

При  f(x) ˃ 0 – график остаётся без изменений,
при  f(x) < 0 – график симметрично отражается относительно оси абсцисс.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у = |х2 – 6|

Построим график функции  у = х2. Параллельно переносимо график вниз на  6  единиц вдоль оси  у  и получим график функции

у = х2 – 6.

Отобразим симметрично относительно оси  х  ту часть графика, которая находится под осью, и получим график функции

у = |х2 – 6|
ПРИМЕР:

Построить график функции

у = |х3|

Отобразим симметрично относительно оси  х  ту часть графика, которая находится под осью, и получим график функции

у = |х3|
у = f(|x|)

При  x ≥ 0 – график остаётся без изменений,
при  x < 0 – график симметрично отражается относительно оси ординат.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у = (|x| – 1)2.

Построим график функции  у = х2 и параллельно перенесём его вправо на  1  единицы вдоль оси  х  и получим график функции

у = (х – 1)2.

Оставляем ту часть графика, которая соответствует неотрицательным значением  х. Симметрично отображаем относительно оси  у  часть полученного графика для неотрицательных х  и получаем график функции

у = (|x| – 1)2.
ПРИМЕР:

Построить график функции

у = 5|x| – 3.

Построим график функции  у = 5х  и параллельно перенесём его вниз на  3  единицы вдоль оси  у  и получим график функции

у = 5x – 3.

Оставим ту часть графика, которая соответствует неотрицательным значениям  х. Симметрично отобразим относительно оси  у  часть полученного графика для неотрицательных  х  и получим график функции

у = 5|x| – 3.

Задания к уроку 30
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий