Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 9. Нахождение области определения и области значения функции аналитическим методом

Пусть дана функция y = f(x). Величины х и у здесь могут

принимать непроизвольные значения.

Совокупность всех тех значений, которые может принимать аргумент х функции, называется областью определения этой функции D(y).

Совокупность всех тех значений, которые может принимать сама функция у, называется областью изменения этой функции Е(у).

ПРИМЕР:

Результаты измерения температуры тела больного в зависимости от времени зафиксированы в таблице:

Время суток, х (час)	9	12	15	18	21	24
Температура тела, y = f(x) (C°)	39	38,5	38,3	37,3	37,1	37

Зависимость у = f(х) будет функцией, где х – независимая переменная, у – зависимая переменная.

у(9) = 39, у(12) = 38,5, у(15) = 38,3,

у(18) = 37,3, у(21) = 37,1, у(24) = 37.

D(y) = {9, 12, 15, 18, 21, 24},

E(y) = {39, 38,5, 38,3, 37,3, 37,1, 37}.

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции

у = 5х – 6.

РЕШЕНИЕ:

Так как область изменений х не указана, то областью определения функции считается множество всех значений переменной х, при которых это соответствие имеет смысл. В данном примере:

D(y) = (–∞; +∞).

ПРИМЕР:

Найдите область значения функции

у = 5х – 6.

РЕШЕНИЕ:

Так как область определения х

D(y) = (–∞; +∞),

то область значения будет

Е(у) = (–∞; +∞).

Для нахождения области определения функции сначала необходимо определить тип функции:

Квадратичная функция имеет вид

f(х) = 2х² + 3х + 4.

Функция, содержащая дробь

Функция, содержащая корень

Затем надо выбрать соответствующую запись для области определения:

Область определения записывается в квадратных и/или круглых скобках.

Обычно область определения и область изменения функции образуют некоторые числовые промежутки. Промежутки бывают замкнутые и открытые.

Замкнутым промежутком, или сегментом, называют множество действительных чисел, содержащее наибольшее и наименьшее из этих чисел, т. е. множество действительных значений х, удовлетворяющих условию

a ≤ x ≤ b.

Такой сегмент обозначают:

[a, b]

Открытым промежутком, или интервалом, называют множество действительных значений х, удовлетворяющих условию

a < x < b.

Такой интервал обозначают:

(a, b).

Концы интервала a и b не принадлежат ему; интервал не имеет ни наименьшего, ни наибольшего числа.

Иногда рассматривают промежутки, замкнутые с одной стороны, но открытые с другой:

Полуинтервал a < x ≤ b обозначают (a, b];

Полусегмент a ≤ x < b обозначают [a, b).

Квадратная скобка применяется в том случае, когда значение входит в область определения функции, если значение не входит в область определения, используется круглая скобка. Если у функции несколько несмежных областей определения, между ними ставится символ ∪.

ПРИМЕР:

Область определения

[–2, 10) ∪ (10, 2]

Включает значения –2 и 2, но не включает значение 10.

С символом бесконечности ∞ всегда используются круглые скобки.

Область определения функции D(y).

Если функция содержит дробь, приравняйте её знаменатель к нулю.

Помните, что делить на нуль нельзя. Поэтому, приравняв знаменатель к нулю вы найдёте значение х, которое не входит в область определения функции.

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции
РЕШЕНИЕ:

Выражение
определено при всех х, кроме того значения, которое обращает знаменатель в 0, – это значение х = –2. Значит, область определения функции состоит из всех чисел, кроме х = –2.

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции
РЕШЕНИЕ:

Найдём D(y), то есть какие значения может принимать х. Для этого найдём ОДЗ (область допустимых значений дроби).

3 + х ≠ 0, х ≠ –3.

Значит D(y) данной функции всё множество действительных чисел кроме 3.

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции
РЕШЕНИЕ:

Найдём D(y), то есть, какие значения может принимать х. Для этого найдём ОДЗ (область допустимых значений дроби).

х² – 1 ≠ 0, х ≠ ±1.

Значит D(y) данной функции всё множество действительных чисел кроме ±1.

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции
РЕШЕНИЕ:

х² – 3 ≠ 0, х² ≠ 3, х ≠ ±√͞͞͞͞͞3.

Значит D(y) данной функции всё множество действительных чисел кроме ±√͞͞͞͞͞3 .

Если функция содержит квадратный корень, то подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю.

Помните, что квадратный корень из отрицательных чисел не извлекается. Поэтому любое значение х, при котором подкоренное выражение становится отрицательным, нужно исключить из области определения функции.

Если функция имеет вид

то следует считать f(x) ≥ 0 (арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел).

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:

РЕШЕНИЕ:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

3 – 2х ≥ 0.

Перенесём 3 в правую часть со сменой знака:

–2х ≥ –3.

Умножим обе части неравенства на –1.

2х ≤ 3.

Умножим обе части неравенства на –1.

2х ≤ 3.

Умножим обе части неравенства на ¹/₂.

х ≤ ³/₂.

ОТВЕТ: D(y) = (–∞; ³/₂]

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции

РЕШЕНИЕ:

Подкоренное выражение

х + 3.

Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю

х + 3 ≥ 0.

Найдите х:

х ≥ –3.

Область определения этой функции включает множество всех действительных чисел, которые больше или равны –3.

Таким образом, область определения:

[–3, ∞).

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:

РЕШЕНИЕ:

Выражение
определено при тех х, которых

х – 1 ≥ 0,

то есть при х ≥ 1. Значит область определения функции – луч

[1; +∞).

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:

РЕШЕНИЕ:

Функция
имеет смысл, если

3х + 9 ≥ 0, х ≥ –3.

ОТВЕТ: [–3; +∞)

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:

РЕШЕНИЕ:

Корни квадратные определены только для неотрицательных чисел. Поэтому область определения данной функции можно рассматривать как совокупность всех значений х, удовлетворяющих неравенству:

Прежде всего, выясним, при каких значениях аргумента х числитель и знаменатель этой дроби положительны и при каких отрицательны. Решая неравенство

2х – 4 > 0, получаем х > 2.

Таким образом, при х > 2 числитель положителен, а при х < 2 он, очевидно отрицателен.

Заштрихованная часть этой числовой прямой соответствует той области, в которой он положителен, а не заштрихованная – той области, в которой он отрицателен.

Аналогично исследуется знаменатель 3 – 6х. Имеем:

3 – 6х > 0, 3 > 6х, 6х < 3, х < ¹/₂.

Заштрихованная часть числовой прямой
соответствует области, в которой знаменатель 3 – 6х положителен, а не заштрихованная – области в которой он отрицателен.

Из рисунков видно, что оба выражения (числитель и знаменатель) имеют одинаковые знаки только при

¹/₂< х < 2.

Поэтому в этой области дробь
положительна. При х = 2 она обращается в 0. Следовательно, областью определения данной функции является совокупность действительных чисел, удовлетворяющих неравенству

¹/₂< х ≤ 2.

Область значений функции.

Область значений функции записывается аналогично области определения функции.

ПРИМЕР:

Множество Х называется областью определения функции. Значение Y, которое соответствует заданному значению Х, называют значением функции. Областью значения функции, которая задаётся многочленом с одной переменной, есть множество всех чисел.

Областью определения функции g служит множество:

{1; 2; 3; 4}.

Числа 15, 25 называются значениями функции g. Множество {15; 25} называется множеством значений функции g.

ПРИМЕР:

Найдите область значений функции

у = 5х – 6.

РЕШЕНИЕ:

Поскольку область определения

D(y) = (–∞; +∞),

то область значений будет

Е(y) = (–∞; +∞).

ПРИМЕР:

Найти область определения и область изменения функции.

Поскольку х входит под знак квадратного корня, то должно быть х ≥ 0. При всех таких значениях х знаменатель не равен нулю, следовательно, у имеет значения. Итак, область определения данной функции

х ≥ 0.

При каждом допустимом значении х знаменатель