Урок 4. Застосування правил визначення невідомого множника для розв'язання задач

Щоб вирішити завдання з допомогою рівняння, спочатку треба скласти відповідне рівняння. Коротше кажучи, потрібно перекласти завдання зі звичайної мови на математичну мову. І тому становлять математичну модель цієї задачі. Модель завжди подібна до оригіналу. У ній відображаються ті чи інші важливі властивості об'єкта, що досліджується. Глобус – модель Землі, лялька – модель людини. Якщо модель побудована виходячи з рівнянь, формул чи інших математичних понять, її називають математичною моделлю.

Щоб розв'язати задачу за допомогою рівняння, необхідно:

– вибрати невідоме та позначити його літерою;

– висловити інші невідомі завдання величини з допомогою цієї буквы;

– скласти рівняння;

– вирішити рівняння;

– зробити перевірку.

Рухаючись зі швидкістю  60 км/год, автомобіль за  2  години пройде

60 ⋅ 2 (км),

за  5 час – 60 ⋅ 5 (км).

Загалом, за  t  годин він пройде  60 ⋅  t  (км). Вимірюючи значення  t, ми можемо за допомогою виразу  60 ⋅ t  знаходити шлях, пройдений автомобілем за різні проміжки часу. Для цього достатньо замість букви  t  підставити її значення та виконати множення. Літеру  t  у виразі  60 ⋅ t  називають змінною, а сам вираз  60 ⋅ t – виразом зі змінною.

ЗАДАЧА:

Визначте вагу одного батона, що лежить на терезах:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо вагу батона через  х. Оскільки ваги врівноважені, можна скласти рівняння:

5х = 2х + 6.

Вирішимо його.

Додамо до обох частин рівняння по  –2х  (знімемо з обох шальок терезів по дві хлібини), дістанемо:

5х – 2х = 2х – 2х + 6.

Але  2х – 2х  дорівнює  0, отже,

5х – 2х = 6.

Порівняємо це рівняння із заданим. Бачимо, що його можна дістати з даного, якщо доданок  2х  перенести в ліву частину, змінивши його знак. Розв’язуючи далі рівняння 

5х – 2х = 6,

дістанемо:

3х = 6,  х = 2.

Число  2  є корінь рівняння

5х = 2х + 6,

або правильна рівність

5 ∙ 2 = 2 ∙ 2 + 6.

ВІДПОВІДЬ:  6

ЗАДАЧА:

За  2,5 кг  масла заплатили  8,75 грн. Скільки коштує  1,7 кг  цього масла ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай друга покупка коштує  х грн. Ціну на масло можна знайти двома способами: поділити  8,75  на  2,5  або поділити  х  на  1,7. В обох випадках має вийти одна й та сама відповідь. Дістанемо пропорцію:

8,75 : 2,5 = х : 1,7.

За основною властивістю пропорції маємо:

8,75 ∙ 1,7 = 2,5 ∙ х.

Отже,

х = 8,75 ∙ 1,7 : 2,5,  х = 5,95.

ВІДПОВІДЬ:  за другу покупку заплатили  5,95 грн.

ЗАДАЧА:

В універмазі покупець витратив  32%  наявних у нього грошей. Це становить  11,2 грн. Скільки грошей було в покупця ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай у покупця було  х грн., тоді один процент його грошей становить  0,01х грн., а  32%  становлять

0,01х ∙ 32 = 0,32х (грн.).

За умовою задачі  0,32х грн.  дорівнюють  11,2 грн.:

0,32х = 11,2,

х = 11,2 : 0,32 = 35,

х = 35.

ВІДПОВІДЬ:  35 грн.

ЗАДАЧА:

Турист повинен пройти  220 км. Першого дня він пройшов  33 км. Скільки процентів шляху пройшов турист першого дня ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай першого дня турист пройшов  х  процентів шляху. Один процент шляху становить  2,2 км, а  х  процентів становлять  2,2х км, що за умовою задачі дорівнює  33 км:

2,2х = 33,

х = 33 : 2,2 = 15,

х = 15.

ВІДПОВІДЬ:  15%

ЗАДАЧА:

Якщо задумане число помножити на  3  і до одержаного результату додати  5, то матимемо  56. Яке число задумали ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  х – задумане число, тоді

3х + 5 = 56,

3х = 51, х = 17.

ЗАДАЧА:

Двоє робітників виготовили за перший день  100 деталей. За другий день перший робітник виготовив деталей на  20%  більше, ніж за перший день, а другий робітник – на  10%  більше, ніж за перший день. Усього за другий день вони виготовили  116 деталей. Скільки деталей виготовив за перший день перший робітник ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай за перший день перший робітник виготовив  х деталей, тоді другий робітник за перший день виготовив  (100 – х) деталей. За другий день перший робітник виготовив  1,2х деталей, а другий за другий день виготовив  1,1(100 – х) деталей. Оскільки разом за другий день вони виготовили  116 деталей, то:

1,2х + 1,1(100 – х) = 116,

1,2х – 1,1х = 6,

0,1х = 6,  х = 60.

ВІДПОВІДЬ:  60 деталей

ЗАДАЧА:

Яку суму грошей треба покласти в банк під  10%  річних, щоб через  2 роки на рахунку стало  6050 грн ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай в банк поклали  х грн. Тоді через рік їх стало  1,1х грн, а ще через рік –

1,1х ∙ 1,1 = 1,21х грн.

Отже,

1,21х = 6050, х = 5000 (грн).

ВІДПОВІДЬ:  5000 (грн)

ЗАДАЧА:

Після двох послідовних знижень ціни на  20%  шафа стала коштувати  1600 грн. Якою була початкова ціна шафи ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай початкова ціна шафи  х грн. Після першого зниження ціна стала  0,8 грн. Після другого зниження –

0,8∙ 0,8 = 0,64х.

Отже

0,64х = 1600, х = 2500 грн.

ВІДПОВІДЬ:  25000 (грн)

ЗАДАЧА:

У першому бідоні було молоко з масовою часткою жиру  2%, а в другому – 5%. Скільки треба взяти молока з кожного бідона, щоб отримати  12 кг  молока, масова частка жиру якого дорівнює  4% ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай з першого бідона треба взяти  х кг  молока, маса жиру в ньому становить  0,02х кг. Тоді з другого треба взяти  (12 – х) кг  молока, маса жиру в ньому становить  0,05(12 – х) кг.

Рівняння:

0,02х + 0,05(12 – х) = 0,04 ∙ 12,

2х + 5(12 – х) = 4 ∙ 12,

–3х = –12, х = 4.

Отже, з першого бідона треба взяти  4 кг, з другого –

12 – 4 = 8 (кг).

ВІДПОВІДЬ:  4 кг з першого бідона, 8 кг – з другого

ЗАДАЧА:

Ціну на товар знизили спочатку на  10%, а потім ще на  20%, після чого він став коштувати  28 грн 80 коп. Якою була початкова ціна товару ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай початкова ціна товару  х грн. Після зниження на  10%  він став коштувати – 0,9х, а після повторного зниження на  20%  ціна склала –

0,8 ∙ 0,9х = 0,72х.

Звідси

0,72х = 28,8, х = 40 (грн.).

ВІДПОВІДЬ: 40 (грн.)

ЗАДАЧА:

Учень помножив деяке число на  9  і  12. Потім додав знайдені добутки. Вин дістав  210. Яке число помножив учень на  9  і на  12 ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай невідоме число буде  х. Тоді перший добуток  9х, другий – 12х. За умовою задачі сума цих доданків дорівнює  210. Це речення записується рівнянням:

12х + 9х = 210.

Розв’язком якого є  х = 10.

Отже, невідоме число є  10.

ЗАДАЧА:

Брат у чотири рази старший за сестру, а сестра на  9  років молодша від брата. Скільки років сестрі і скільки братові ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай вік сестри – х  років. Тоді вік брата  4х. За умовою задачі сестра на  9  років молодша від брата – це записується рівнянням

4х – х = 9.

Розв’язком є  х = 3  (вік сестри);

4х = 4 ∙ 3 = 12 (вік брата).

ЗАДАЧА:

Після двох послідовних знижень ціни, перше з яких було на  15%, а друге – на  10%, пальто стало коштувати  918 грн. Якою біла початкова ціна пальта ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай початкова ціна пальто  х грн. Після першого зниження ціна стала  0,85х грн., після другого –

0,85х ∙ 0,9 = 0,765х грн.

Отже,

0,756х = 918,

х = 1200 грн.

ЗАДАЧА:

Телевізор і мобільний телефон коштували разом  1800 грн. Після того як телевізор подорожчав на  10%, а телефон подешевшав на  10%, вони стали коштувати разом  1840 грн. Знайдіть початкову ціну телевізора.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай початкова ціна телевізора  х грн., тоді мобільний телефон коштував  (1800 – х) грн. Нова ціна телевізора  1,1х грн., а мобільного телефону – 0,9(1800 – х) грн. Оскільки нова ціна їх обох становить  1840 грн., то:

1,1х + 0,9(1800 – х) = 1840,

0,2х = 1840 – 1620,

0,2х = 220, х = 1100.

ВІДПОВІДЬ:  1100 грн.

ЗАДАЧА:

Протягом двох днів робітник виготовив деяку кількість деталей. За перший день він виготовив  ⁹/₁₆  усіх деталей, а за другий – на  9  деталей менше, ніж за перший. Скільки деталей виготовив робітник за два дні ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  х – кількість деталей, яку робітник виготовив за два дні. Тоді за перший день він виготовив  ⁹/₁₆ х  деталей, а за другий – ⁷/₁₆ х деталей. Рівняння:

⁹/₁₆ х – ⁷/₁₆ х = 9,

²/₁₆ х = 9, ¹/₈ х = 9,

х = 72.

ЗАДАЧА:

Вкладник поклав до банку на два різні рахунку  12 000 грн. По першому з рахунків банк виплачує  6%  річних, а по другому – 8%  річних. Через рік клієнт отримав  800 грн.  відсоткових грошей. Скільки гривень він поклав на кожен рахунок ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай вкладник поклав  х грн.  на перший рахунок. Тоді на другий він поклав  (1200 – х) грн. Через рік з першого рахунку він отримав  0,06х грн., а з другого – 0,08(1200 – х) грн. відсоткових грошей. Тому:

0,06х + 0,08(1200 – х) = 800,

6х + 8(1200 – х) = 80000,

–2х = –16000, х = 8000.

Отже на перший рахунок вкладник поклав  8000 грн., а на другий –

12000 – 8000 = 4000 (грн.).

ВІДПОВІДЬ:  8000 грн., 4000 грн.

ЗАДАЧА:

Після двох послідовних знижень ціни, перше з яких було на  20%, а друге – 10%, стілець став коштувати  108 грн. Знайдіть початкову ціну стільця.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай початкова ціна стільця  х грн. Після першого зниження ціна стала  0,8х грн. Після другого зниження –

0,8х ∙ 0,9 = 0,72.

Отже

0,72х = 108,

х = 150 грн.

ЗАДАЧА:

На клумбі ростуть тюльпани й айстри, до того ж тюльпани становлять  52%  усіх квітів. Айстр на клумбі росте на  80  менше, ніж тюльпанів. Скільки квіток росте на клумбі ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай на клумбі росте  х  квіток. Тоді тюльпанів росте  0,52х, а айстр –

х – 0,52х = 0,48х.

Звідси:

0,52х – 0,48х = 80,

0,04х = 80;  х = 2000.

ЗАДАЧА:

У саду ростуть яблуні і вишні, причому яблуні становлять  52%  усіх дерев. Вишень росте на  8  дерев менше, ніж яблунь. Скільки дерев росте в саду ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай в саду росло  х дерев. Тоді яблунь росло  0,52х дерев, а вишень – 0,52х – 8. Звідси:

0,52х + 0,52х – 8 = х,

1,04х – 8 = х, 0,04х = 8,

х = 200.

ЗАДАЧА:

Вкладник поклав до банку на два різні рахунки загальну суму  15 000 грн. По першому з них банк виплачує  7%  річних, а по другому – 10%  річних. Через рік вкладник отримав  1200 грн.  відсоткових грошей. Скільки гривень він поклав на кожен рахунок ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай вкладник поклав  х грн.  на перший рахунок. Тоді на другій він поклав  (15000 – х) грн.  Через рік з першого рахунку він отримав  0,07х грн., а з другого – 0,1(15000 – х) грн.  відсоткових грошей. Тому:

0,07х +0,1(15000 – х) = 1200,

7х +10(15000 – х) = 120000,

 –3х = –30000,  х = 10000

Отже на перший рахунок вкладник поклав  10000 грн., а на другий –

15000 –10000 = 5000 (грн.).

ВІДПОВІДЬ:  10000 грн., 5000 грн.

ЗАДАЧА:

Хлопчик прочитав книжку за  2  дні, причому за перший день він прочитав  46%  усієї книжки, а за другий – на  32  сторінки більше, ніж за перший. Скільки сторінок у книжці ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай у книзі  х  сторінок. Тоді за перший день він прочитав  0,46х  сторінок, а за другий – 0,54х. За другий день він прочитав на  32  сторінки більше:

0,54х – 0,46х = 32,

0,08х = 32,

х = 400 (сторінок).

ЗАДАЧА:

Привезені в магазин фрукти продали протягом двох днів. За перший день продали  ⁷/₁₅  усіх фруктів, а за другий – на  18 кг  більше, ніж за перший. Скільки кілограмів фруктів продали в магазини за два дні ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай за два дні у магазині продали  х кг  фруктів. Тоді за перший день продали  ⁷/₁₅ х кг  фруктів, а за другий – ⁸/₁₅ х кг. За другий день продали на  18 кг  фруктів більше:

⁸/₁₅ х – ⁷/₁₅ х = 18,

^х/₁₅ = 18, х = 270 (кг).

ЗАДАЧА:

Вкладник поклав до банку певну суму під  8%  річних. Яка сума початкового вкладу, якщо через  2  роки на рахунку вкладника стало  5832 грн ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай вкладник поклав  х грн., тоді після першого року на рахунку було  1,08 грн., а після другого –

1,08 ∙ 1,08х = 1,1664х,

1,1664х = 5832,

х = 5000 (грн.).

ЗАДАЧА:

Ціна товару спочатку зросла на  20%, а потім знизилася на  20%. Як змінилася ціна товару порівняно з початковою ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  х грн. – початкова ціна товару. Після першого подорожчання вона стала  1,2х грн., після зниження –

1,2х ∙ 0,8 = 0,96х (грн.),

х – 0,96х = 0,04х,

0,04х : х = 0,04 = 4%.

 Завдання до уроку 4

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Лінійне рівняння з одним невідомим і цілими вільними членами
• Урок 2. Лінійне рівняння з одним невідомим і дрібними вільними членами
• Урок 3. Застосування правил визначення невідомого доданка, зменшуваного і від'ємника для розв'язання задач
• Урок 5. Розв'язування рівнянь, що зводяться до лінійних
• Урок 6. Розв'язування рівнянь із змінною в знаменнику
• Урок 7. Застосування правил визначення діленого і дільника для розв'язання задач
• Урок 8. Лінійне рівняння з двома невідомими
• Урок 9. Рішення лінійних рівнянь за допомогою графіків
• Урок 10. Лінійне рівняння з параметром
• Урок 11. Системи двох рівнянь першого степеня з двома невідомими
• Урок 12. Розв'язання систем рівнянь способом підстановки
• Урок 13. Розв'язання систем рівнянь способом алгебраїчного додавання
• Урок 14. Рішення лінійних систем рівнянь за допомогою графіків
• Урок 15. Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь
• Урок 16. Системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими
• Урок 17. Повне квадратне рівняння загального вигляду
• Урок 18. Зведене квадратне рівняння
• Урок 19. Теорема Вієта
• Урок 20. Неповні квадратні рівняння
• Урок 21. Розв'язання квадратного рівняння способом виділення квадрата двочлена
• Урок 22. Графічний спосіб розв'язування квадратних рівнянь
• Урок 23. Квадратний тричлен
• Урок 24. Квадратні рівняння з параметрами
• Урок 25. Дробові раціональні рівняння
• Урок 26. Задачі на складання квадратних рівнянь
• Урок 27. Рівняння кола
• Урок 28. Системи рівнянь другого степеня є двома невідомими
• Урок 29. Розв'язування задач за допомогою систем рівнянь другого степеня
• Урок 30. Перетин прямої з колом
• Урок 31. Рішення нелінійних систем рівнянь за допомогою графіків
• Урок 32. Системи рівнянь з параметрами
• Урок 33. Рівняння вищих степенів
• Урок 34. Розв'язання рівнянь способом заміни
• Урок 35. Розв'язання систем рівнянь способом заміни
• Урок 36. Задачі на знаходження чисел
• Урок 37. Задачі на знаходження цифр
• Урок 38. Рішення задач на змішування за допомогою рівнянь
• Урок 39. Рішення задач на змішування за допомогою систем рівнянь
• Урок 40. Ірраціональні рівняння