Урок 25. Дробові раціональні рівняння

пятница, 23 сентября 2016 г.

Урок 25. Дробові раціональні рівняння

Вміти перетворювати дробові вирази потрібно, зокрема, для того, щоб розв’язувати дробові рівняння.

Рівняння називається раціональним, якщо його ліва і права частини – раціональні вирази. Раціональне рівняння називають дробовим, якщо його права або ліва частина – вирази дробові.

Якщо ліва і права частина цілі вирази, то рівняння називають цілим, якщо ж хоча б один вираз є дробовим, то рівняння називають дробовим.

ПРИКЛАД:

Щоб вирішити раціональне рівняння, потрібно:

– знайти спільний знаменник усіх дробів;

- Замінити дане рівняння цілим, помноживши обидві його частини на загальний знаменник;

- Вирішити отримане ціле рівняння;

– виключити з його коріння ті, які перетворюють на нуль спільний знаменник.

Один із способів розв’язування дробових рівнянь полягає у заміні їх рівносильними рівняннями, в яких ліва частина – дріб, а права – нуль.

Розглянемо раціональне рівняння виду

де А і В – багаточлени. Ми знаємо, що дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля. Тому, щоб розв'язати рівняння цього виду, необхідно одночасно виконати дві умови: А = 0 і В ≠ 0. Це означає, що при вирішенні рівняння зазначеного виду слід користуватися таким алгоритмом:

– вирішити рівняння

А = 0.

– перевірити яке зі знайденого коріння задовольняють умові

В ≠ 0.

– коріння, яке задовольняє умову

В ≠ 0,

включити у відповідь.

ПРИКЛАД:

Отримане рівняння рівносильне даному. А розв’язати його неважко, врахувавши, що

дріб дорівнює нулю тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля.

Прирівняємо чисельник до нуля:

8х – 4 = 0, 8х = 4,

х = 0,5.

Якщо х = 0,5, знаменник

х² – 4 не дорівнює 0.

Отже, х = 0,5 – корінь даного рівняння.

ПРИКЛАД:

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

якщо х = 0 або х = 2.

Коли х = 0, знаменник

(х – 2)(х + 3)

не дорівнює 0.

Отже, х = 0 – корінь даного рівняння.

Коли х = 2, то

(х – 2)(х + 3) = 0.

Отже, х = 2 – даного рівняння не задовольняє.

ВІДПОВІДЬ: х = 0.

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Загальним знаменником наявних дробів є 2х(2 – х). Знайшовши додаткові множники для кожного дробу, звільнимось від знаменників. Маємо:

З рівняння

х² – 6х + 8 = 0.

знаходимо

х₁ = 2, х₂ = 4.

Залишилося перевірити чи знайдене коріння звертають вираз 2х(2 – х) на нуль, тобто перевірити виконання умови

2х(2 – х) ≠ 0.

Помічаємо, що 2 не задовольняє цю умову, а 4 задовольняє. Отже, х = 4 – єдиний корінь рівняння.

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
х₁ = –6, х₂ = 4,

х ≠ –6, х ≠ 6.

ВІДПОВІДЬ: х = 4

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
4х² + х + 8х + 2 + 4х² – х – 8х + 2 = 6х + 3,

8х² – 6х + 1 = 0,

х₁ = 0,25, х₂ = 0,5,

х ≠ –0,25, х ≠ 0,25.

ВІДПОВІДЬ: х = 0,5

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
2х² – 13х + 11 = 0,

х₁ = 1, х₂ = 5,5,

х ≠ 0, х ≠ 2.

ВІДПОВІДЬ: х₁ = 1, х₂ = 5,5

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
х² + х – 2 = 0,

х₁ = 1, х₂ = –2,

х ≠ 2, х ≠ –2.

ВІДПОВІДЬ: х = 1

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
х² – 5х – 14 = 0,

х₁ = 7, х₂ = –2,

х ≠ 2, х ≠ –2,

ВІДПОВІДЬ: х = 7.

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
х² + 2х – 8 = 0,

х₁ = 2, х₂ = –4,

х ≠ 2, х ≠ 0.

ВІДПОВІДЬ: х = –4

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
х² + 7х – 8 = 0,

х₁ = 1, х₂ = –8,

х ≠ –8, х ≠ 8.

ВІДПОВІДЬ: х = 1

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
х² – 4х – 45 = 0,

х₁ = 9, х₂ = –5,

х ≠ –5, х ≠ 5.

ВІДПОВІДЬ: х = 9

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
4х² – 10х = 0,

2х² – 5х = 0

х₁ = 0, х₂ = 2,5,

х ≠ 0, х ≠ 1.

ВІДПОВІДЬ: х = 2,5

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
2х² – 4х = 0,

х² – 2х = 0,

х₁ = 0, х₂ = 2,

х ≠ 0, х ≠ –2.

ВІДПОВІДЬ: х = 2

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
2х² + 4х – 16 = 0,

х² + 2х – 8 = 0,

х₁ = –4, х₂ = 2,

х ≠ 4, х ≠ –4.

ВІДПОВІДЬ: х = 2

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
х² + 24х + 144 = 0,

(х + 12)² = 0,

х = –12,

х ≠ 0, х ≠ –4, х ≠ 4.

ВІДПОВІДЬ: х = –12

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
х² – 3х + 2 = 0,

х₁ = 1, х₂ = 2,

х ≠ 2, х ≠ –2.

ВІДПОВІДЬ: х = 1

Завдання до уроку 25

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 23 сентября 2016 г.