Щоб вирішити завдання з
допомогою рівняння, спочатку треба скласти відповідне рівняння. Коротше кажучи,
потрібно перекласти завдання зі звичайної мови на математичну мову. І тому
становлять математичну модель цієї задачі. Модель завжди подібна до
оригіналу. У ній відображаються ті чи інші важливі властивості об'єкта, що
досліджується. Глобус – модель Землі, лялька – модель людини. Якщо модель
побудована виходячи з рівнянь, формул чи інших математичних понять, її
називають математичною моделлю.
Щоб розв'язати задачу
за допомогою рівняння, необхідно:
– вибрати невідоме та позначити його
літерою;
– висловити інші невідомі завдання
величини з допомогою цієї буквы;
– скласти рівняння;
– вирішити рівняння;
– зробити перевірку.
Рухаючись зі швидкістю 60 км/год,
автомобіль за 2 години пройде
60 ⋅
2 (км),
за 5
час – 60 ⋅
5
(км).
Загалом, за t годин він пройде 60 ⋅
t (км).
Вимірюючи значення t,
ми можемо за допомогою виразу 60 ⋅ t знаходити
шлях, пройдений автомобілем за різні проміжки часу. Для цього достатньо замість
букви t підставити її значення та виконати множення.
Літеру t у виразі 60
⋅ t називають змінною, а
сам вираз 60
⋅ t –
виразом зі змінною.
ЗАДАЧА:
Визначте вагу одного батона, що лежить на терезах:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:Позначимо
вагу батона через х. Оскільки ваги врівноважені, можна
скласти рівняння:
5х = 2х
+ 6.
Вирішимо
його.
Додамо
до обох частин рівняння по –2х (знімемо з обох шальок терезів по дві хлібини), дістанемо:
5х – 2х = 2х – 2х
+ 6.
Але 2х – 2х дорівнює 0,
отже,
5х – 2х = 6.
Порівняємо
це рівняння із заданим. Бачимо, що його можна дістати з даного, якщо
доданок 2х перенести в ліву частину, змінивши його знак.
Розв’язуючи далі рівняння
5х – 2х = 6,
дістанемо:
3х = 6, х = 2.
Число 2 є корінь рівняння
5х = 2х + 6,
або
правильна рівність
5 ∙ 2 = 2 ∙ 2 + 6.
ВІДПОВІДЬ: 6
ЗАДАЧА:
За 2,5 кг масла заплатили 8,75 грн. Скільки коштує 1,7 кг цього масла ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай
друга покупка коштує х грн. Ціну на масло можна знайти
двома способами:
поділити 8,75 на 2,5
або
поділити х на 1,7. В обох випадках має вийти одна й
та сама відповідь. Дістанемо пропорцію:
8,75
: 2,5 = х : 1,7.
За
основною властивістю пропорції маємо:
8,75
∙ 1,7 = 2,5 ∙
х.
Отже,
х
=
8,75 ∙
1,7 : 2,5, х = 5,95.
ВІДПОВІДЬ: за
другу покупку заплатили 5,95 грн.
ЗАДАЧА:
В
універмазі покупець витратив 32% наявних у нього грошей. Це становить 11,2 грн. Скільки грошей було в покупця ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай
у покупця було х грн., тоді один процент його грошей
становить 0,01х грн., а 32%
становлять
0,01х ∙
32 = 0,32х (грн.).
За
умовою задачі 0,32х грн. дорівнюють
11,2
грн.:
0,32х = 11,2,
х
= 11,2 : 0,32 = 35,
х
= 35.
ВІДПОВІДЬ: 35
грн.
ЗАДАЧА:
Турист
повинен пройти 220 км. Першого дня він пройшов 33
км. Скільки процентів шляху пройшов турист першого дня ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай
першого дня турист пройшов х
процентів шляху. Один процент шляху становить 2,2 км,
а х процентів становлять 2,2х км, що за умовою задачі
дорівнює 33
км:
2,2х = 33,
х
= 33 : 2,2 = 15,
х
= 15.
ВІДПОВІДЬ: 15%
ЗАДАЧА:
Якщо
задумане число помножити на 3
і до одержаного результату додати
5, то матимемо 56.
Яке число задумали ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай х
– задумане число, тоді
3х + 5 = 56,
3х = 51, х = 17.
ЗАДАЧА:
Двоє
робітників виготовили за перший день 100 деталей. За другий день перший
робітник виготовив деталей на 20% більше, ніж за перший день, а другий робітник
– на 10%
більше, ніж за перший день. Усього за другий день вони виготовили 116
деталей. Скільки деталей виготовив за перший день перший робітник ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай
за перший день перший робітник виготовив
х деталей, тоді другий робітник за
перший день виготовив (100 – х)
деталей. За другий день перший робітник виготовив 1,2х деталей, а другий за другий день
виготовив 1,1(100 – х)
деталей. Оскільки разом за другий день вони виготовили 116 деталей,
то:
1,2х + 1,1(100 – х) = 116,
1,2х – 1,1х = 6,
0,1х = 6,
х = 60.
ВІДПОВІДЬ: 60
деталей
ЗАДАЧА:
Яку
суму грошей треба покласти в банк під 10% річних, щоб через 2
роки на рахунку стало 6050 грн
?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай
в банк поклали х грн. Тоді через рік їх стало 1,1х грн, а ще через рік –
1,1х ∙ 1,1 = 1,21х грн.
Отже,
1,21х = 6050, х = 5000 (грн).
ВІДПОВІДЬ: 5000 (грн)
ЗАДАЧА:
Після
двох послідовних знижень ціни на 20% шафа стала коштувати 1600
грн. Якою була початкова ціна шафи ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай
початкова ціна шафи х грн. Після першого зниження ціна
стала 0,8 грн.
Після другого зниження –
0,8∙ 0,8 = 0,64х.
Отже
0,64х = 1600, х = 2500 грн.
ВІДПОВІДЬ: 25000 (грн)
ЗАДАЧА:
У
першому бідоні було молоко з масовою часткою жиру 2%, а в другому – 5%.
Скільки треба взяти молока з кожного бідона, щоб отримати 12
кг молока, масова частка жиру якого
дорівнює 4% ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай
з першого бідона треба взяти х кг
молока, маса жиру в ньому становить
0,02х кг. Тоді з другого треба
взяти (12 – х) кг
молока, маса жиру в ньому становить
0,05(12 – х)
кг.
Рівняння:
0,02х + 0,05(12 – х) = 0,04 ∙ 12,
2х + 5(12 – х) = 4 ∙ 12,
–3х = –12, х = 4.
Отже,
з першого бідона треба взяти 4 кг, з другого –
12
– 4 = 8 (кг).
ВІДПОВІДЬ: 4
кг з першого бідона, 8
кг – з другого
ЗАДАЧА:
Ціну
на товар знизили спочатку на 10%,
а потім ще на 20%,
після чого він став коштувати 28 грн 80 коп. Якою була початкова ціна
товару ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай
початкова ціна товару х грн. Після зниження на 10%
він став коштувати – 0,9х,
а після повторного зниження на 20% ціна склала –
0,8
∙ 0,9х =
0,72х.
Звідси
0,72х = 28,8, х = 40 (грн.).
ВІДПОВІДЬ:
40 (грн.)
ЗАДАЧА:
Учень
помножив деяке число на 9 і 12.
Потім додав знайдені добутки. Вин дістав
210. Яке число помножив учень на 9
і на 12
?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай
невідоме число буде х.
Тоді перший добуток 9х,
другий – 12х. За умовою задачі сума цих
доданків дорівнює 210.
Це речення записується рівнянням:
12х + 9х = 210.
Розв’язком
якого є х
= 10.
Отже,
невідоме число є 10.
ЗАДАЧА:
Брат
у чотири рази старший за сестру, а сестра на
9
років молодша від брата. Скільки років сестрі і скільки братові ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай
вік сестри – х
років. Тоді вік брата 4х.
За умовою задачі сестра на 9 років молодша від брата – це записується
рівнянням
4х – х = 9.
Розв’язком
є х
= 3
(вік сестри);
4х = 4 ∙ 3 = 12 (вік брата).
ЗАДАЧА:
Після
двох послідовних знижень ціни, перше з яких було на 15%, а друге – на 10%, пальто стало коштувати 918
грн. Якою біла початкова ціна пальта ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай
початкова ціна пальто х грн. Після першого зниження ціна
стала 0,85х грн., після другого –
0,85х ∙
0,9 = 0,765х грн.
Отже,
0,756х = 918,
х
= 1200 грн.
ЗАДАЧА:
Телевізор
і мобільний телефон коштували разом 1800 грн. Після того як телевізор
подорожчав на 10%,
а телефон подешевшав на 10%,
вони стали коштувати разом 1840 грн. Знайдіть початкову ціну
телевізора.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай
початкова ціна телевізора х грн., тоді мобільний телефон
коштував (1800 – х)
грн. Нова ціна
телевізора 1,1х грн., а мобільного телефону – 0,9(1800 – х) грн.
Оскільки нова ціна їх обох становить 1840 грн., то:
1,1х + 0,9(1800 – х) = 1840,
0,2х = 1840 – 1620,
0,2х = 220, х = 1100.
ВІДПОВІДЬ: 1100 грн.
ЗАДАЧА:
Протягом
двох днів робітник виготовив деяку кількість деталей. За перший день він
виготовив 9/16
усіх деталей, а за другий – на 9
деталей менше, ніж за перший. Скільки деталей виготовив робітник за два
дні
?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай х
– кількість деталей, яку робітник виготовив за два дні. Тоді за перший день він
виготовив 9/16 х
деталей, а за другий – 7/16 х
деталей. Рівняння:
9/16 х – 7/16 х
= 9,
2/16 х
= 9, 1/8 х = 9,
х
= 72.
ЗАДАЧА:
Вкладник
поклав до банку на два різні рахунку 12 000 грн. По першому з рахунків банк
виплачує 6% річних, а по другому – 8% річних. Через рік клієнт отримав 800
грн. відсоткових грошей. Скільки гривень
він поклав на кожен рахунок ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай
вкладник поклав х грн. на перший рахунок. Тоді на другий він
поклав (1200 – х) грн.
Через рік з першого рахунку він отримав 0,06х грн., а з другого – 0,08(1200 – х)
грн. відсоткових грошей. Тому:
0,06х + 0,08(1200 – х) = 800,
6х + 8(1200 – х) = 80000,
–2х = –16000,
х = 8000.
Отже
на перший рахунок вкладник поклав 8000 грн., а на другий
–
12000
– 8000 = 4000 (грн.).
ВІДПОВІДЬ: 8000
грн., 4000
грн.
ЗАДАЧА:
Після
двох послідовних знижень ціни, перше з яких було на 20%, а друге – 10%,
стілець став коштувати 108 грн. Знайдіть початкову ціну
стільця.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай
початкова ціна стільця х грн. Після першого зниження ціна
стала 0,8х грн. Після другого зниження –
0,8х ∙
0,9 = 0,72.
Отже
0,72х = 108,
х
= 150 грн.
ЗАДАЧА:
На
клумбі ростуть тюльпани й айстри, до того ж тюльпани становлять 52%
усіх квітів. Айстр на клумбі росте на
80
менше, ніж тюльпанів. Скільки квіток росте на клумбі
?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай на клумбі росте х
квіток. Тоді тюльпанів росте 0,52х, а айстр –
х – 0,52х = 0,48х.
Звідси:
0,52х – 0,48х = 80,
0,04х = 80;
х = 2000.
ЗАДАЧА:
У
саду ростуть яблуні і вишні, причому яблуні становлять 52%
усіх дерев. Вишень росте на
8 дерев менше, ніж яблунь.
Скільки дерев росте в саду ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай
в саду росло х дерев. Тоді яблунь росло 0,52х дерев, а вишень
– 0,52х – 8. Звідси:
0,52х + 0,52х – 8 = х,
1,04х – 8 = х, 0,04х = 8,
х
= 200.
ЗАДАЧА:
Вкладник
поклав до банку на два різні рахунки загальну суму 15 000 грн. По першому з них банк
виплачує 7% річних, а по другому – 10% річних. Через рік вкладник отримав 1200
грн. відсоткових грошей. Скільки гривень
він поклав на кожен рахунок ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай
вкладник поклав х грн. на перший рахунок. Тоді на другій він
поклав (15000 – х)
грн. Через рік з першого рахунку він
отримав 0,07х грн., а з другого – 0,1(15000 – х)
грн. відсоткових грошей. Тому:
0,07х +0,1(15000 – х) = 1200,
7х +10(15000 – х) = 120000,
–3х = –30000, х =
10000
Отже
на перший рахунок вкладник поклав 10000 грн., а на другий
–
15000
–10000 = 5000 (грн.).
ВІДПОВІДЬ: 10000
грн., 5000
грн.
ЗАДАЧА:
Хлопчик
прочитав книжку за 2
дні, причому за перший день він прочитав
46%
усієї книжки, а за другий – на 32
сторінки більше, ніж за перший. Скільки сторінок у книжці
?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай
у книзі х сторінок. Тоді за перший день він
прочитав 0,46х сторінок,
а за другий – 0,54х.
За другий день він прочитав на 32
сторінки більше:
0,54х – 0,46х = 32,
0,08х = 32,
х
= 400 (сторінок).
ЗАДАЧА:
Привезені
в магазин фрукти продали протягом двох днів. За перший день продали 7/15 усіх фруктів, а за другий – на 18
кг більше, ніж за перший. Скільки
кілограмів фруктів продали в магазини за два дні
?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай
за два дні у магазині продали х кг
фруктів. Тоді за перший день продали
7/15 х
кг фруктів, а за другий – 8/15 х кг. За другий день продали
на 18
кг фруктів більше:
8/15 х
– 7/15 х = 18,
х/15 = 18, х = 270 (кг).
ЗАДАЧА:
Вкладник
поклав до банку певну суму під 8% річних. Яка сума початкового вкладу, якщо
через 2 роки на рахунку вкладника стало 5832
грн
?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай
вкладник поклав х грн., тоді після першого року на
рахунку було 1,08 грн., а після другого
–
1,08
∙ 1,08х =
1,1664х,
1,1664х = 5832,
х
= 5000 (грн.).
ЗАДАЧА:
Ціна
товару спочатку зросла на 20%,
а потім знизилася на 20%.
Як змінилася ціна товару порівняно з початковою
?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай х
грн. – початкова ціна товару. Після першого подорожчання вона стала 1,2х грн., після зниження
–
1,2х ∙
0,8 = 0,96х (грн.),
х
– 0,96х = 0,04х,
0,04х : х
= 0,04 = 4%.
Завдання до уроку 4
- Урок 1. Лінійне рівняння з одним невідомим і цілими вільними членами
- Урок 2. Лінійне рівняння з одним невідомим і дрібними вільними членами
- Урок 3. Застосування правил визначення невідомого доданка, зменшуваного і від'ємника для розв'язання задач
- Урок 5. Розв'язування рівнянь, що зводяться до лінійних
- Урок 6. Розв'язування рівнянь із змінною в знаменнику
- Урок 7. Застосування правил визначення діленого і дільника для розв'язання задач
- Урок 8. Лінійне рівняння з двома невідомими
- Урок 9. Рішення лінійних рівнянь за допомогою графіків
- Урок 10. Лінійне рівняння з параметром
- Урок 11. Системи двох рівнянь першого степеня з двома невідомими
- Урок 12. Розв'язання систем рівнянь способом підстановки
- Урок 13. Розв'язання систем рівнянь способом алгебраїчного додавання
- Урок 14. Рішення лінійних систем рівнянь за допомогою графіків
- Урок 15. Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь
- Урок 16. Системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими
- Урок 17. Повне квадратне рівняння загального вигляду
- Урок 18. Зведене квадратне рівняння
- Урок 19. Теорема Вієта
- Урок 20. Неповні квадратні рівняння
- Урок 21. Розв'язання квадратного рівняння способом виділення квадрата двочлена
- Урок 22. Графічний спосіб розв'язування квадратних рівнянь
- Урок 23. Квадратний тричлен
- Урок 24. Квадратні рівняння з параметрами
- Урок 25. Дробові раціональні рівняння
- Урок 26. Задачі на складання квадратних рівнянь
- Урок 27. Рівняння кола
- Урок 28. Системи рівнянь другого степеня є двома невідомими
- Урок 29. Розв'язування задач за допомогою систем рівнянь другого степеня
- Урок 30. Перетин прямої з колом
- Урок 31. Рішення нелінійних систем рівнянь за допомогою графіків
- Урок 32. Системи рівнянь з параметрами
- Урок 33. Рівняння вищих степенів
- Урок 34. Розв'язання рівнянь способом заміни
- Урок 35. Розв'язання систем рівнянь способом заміни
- Урок 36. Задачі на знаходження чисел
- Урок 37. Задачі на знаходження цифр
- Урок 38. Рішення задач на змішування за допомогою рівнянь
- Урок 39. Рішення задач на змішування за допомогою систем рівнянь
- Урок 40. Ірраціональні рівняння
Комментариев нет:
Отправить комментарий