Урок 40. Ірраціональні рівняння

Ірраціональним називається кожне рівняння, ліва і права частини якого є алгебраїчними виразами, причому хоча б один з них ірраціональний.

Приклади ірраціональних рівнянь:

В елементарній алгебрі розглядаються лише такі ірраціональні рівняння, у яких радикали парного степеня припускаються арифметичними (а непарного степеня – додатними або від’ємними, залежно від знака підкореневого виразу).

Загальний метод розв'язання ірраціонального рівняння полягає в тому, що спочатку ізолюють один радикал, а потім обидві частини рівняння підносять до степеня, потім знову ізолюють радикал і так далі. Будь-яке ірраціональне рівняння після кількох таких перетворень може бути зведено до раціонального.

Рівняння, яке одержуємо в результаті, взагалі кажучи, не еквівалентне до заданого. Тому, знайшовши розв'язки цього рівняння, треба перевірити їх підстановкою в дане рівняння і відкинути як сторонні ті з них, які його не задовольняють. Однак якщо обидві частини ірраціонального рівняння підносились до непарного степеня, то перевіряти розв'язок не обов'язково, бо в цьому випадку прийдемо до рівняння, еквівалентного до даного.

Якщо рівняння містить радикали з невідомим у знаменнику то його треба звільнити від знаменника, виконавши необхідні перетворення.

Перш ніж приступити до розв'язання ірраціонального рівняння, доцільно визначити область допустимих значень для невідомого, бо в деяких випадках після цього відпадає потреба в розв'язанні.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

Для першого радикала х ≥ 3, для другого х ≤ 2. В множині дійсних чисел рівняння не має розв'язків, бо нема загальних значень х, для яких обидва радикали мають дійсне значення.

ВІДПОВІДЬ:

Дане рівняння не має розв'язків.

Розв'язання найпростіших ірраціональних рівнянь.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Початкове рівняння може бути замінене сукупністю рівнянь:

Вирішуючи ці рівняння, отримуємо

х₁ = 5, х₂ = –2, х₃ = 7

(х₁ и х₂ не входять в область допустимих значень цього рівняння).

ВІДПОВІДЬ: 7

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ПЕРЕВІРКА:

ВІДПОВІДЬ: х = 3.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

(x – 46)² = 196(x + 5),

x² – 288x + 1136 = 0,

x₁ = 4, x₂ = 284.

Перевіривши, впевнюємося, що розв’язком є лише значення х = 4.

ВІДПОВІДЬ: х = 4.

Розв'язання ірраціональних рівнянь способом заміни.

Цей спосіб полягає в тому, що вираз, який знаходиться під знаком радикала, позначають новим невідомим у деякому степені (так, щоб корінь добувався).

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Область допустимих значень

х² – 4 ≥ 0,

тобто

х ≤ –2 і х ≥ 2.

Покладемо

Тоді

х² – 4 = у²; х² = у² + 4

і дане рівняння набуває вигляду

у² – у – 12 = 0,

звідки

у₁ = 4, у₂ = –3.

у₂ відкидаємо, бо у ˃ 0. Знайдемо значення х:

х² = у² + 4 = 16 + 4 = 20,

х_1,2 = ±√͞͞͞͞͞20.

Обидва значення х_1,2 = ±√͞͞͞͞͞20 належать області допустимих значень і задовольняють рівняння, в чому можна впевниться перевіркою.

ВІДПОВІДЬ: х_1,2 = ±2√͞͞͞͞͞5.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо

Отримаємо рівняння

y² + у – 2 = 0,

яке має корені

у₁ = 1, у₂ = –2.

Отже,

або

Звідси х₁ = 1.
Друге рівняння не має коренів, оскільки

ВІДПОВІДЬ: 1

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай

Тоді

(u + v)² = 5², u² + 2uv + v² = 25,

u² + v² = 25 – 2uv,

(u² + v²)² = u⁴ + 2u²v² + v⁴ = 25²,

(25 – 2uv)² = 625 – 100uv + 4u²v²,

u⁴ + 2u²v² + v⁴ = 625 – 100uv + 4u²v²,

u⁴ + v⁴ = 625 – 100uv + 2u²v² = 97,

2u²v²– 100uv + 528 = 0,

(uv)²– 50uv + 264 = 0,

(uv)₁ = 44, (uv)₂ = 6.

Перша система в області дійсних чисел не має розв'язків. Другу систему розв'язуємо усно:

u₁ = 3, u₂ = 2, v₁ = 2, v₂ = 3.

Звідси

x₁ = 16, x₂ = 81.

Обидва корені задовольняють дане рівняння.

ВІДПОВІДЬ: x₁ = 16, x₂ = 81.

Множення обох частин рівняння на вираз, спряжений до виразу у лівій частині.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Область допустимих значень:

х + 4 ≥ 0, х ≥ –4,

20 + х ≥ 0, х ≥ –20.

Отже, х ≥ –4.

Покладемо

Перемножимо ці рівності почленно:

(х + 4) – (20 + х) = 8у,

звідки у = –2. Тоді

Додаючи ці рівняння, одержуємо

звідки

х + 4 = 9, х = 5.

Це значення належіть до області допустимих значень і задовольняє рівняння.

ВІДПОВІДЬ: x = 5.

Застосування формул скороченого множення.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки

(a – b)³ = a³ – b³ – 3ab(a – b).

Тоді

(8х + 4) – (8х + 4) –

Враховуючи, що за умовою вираз у квадратних дужках повинен дорівнювати 2, одержимо

звідки

64х² – 16 = 0;

х² = ¹/₄, х₁ = ¹/₂, х₂ = –¹/₂.

ПЕРЕВІРКА:

ВІДПОВІДЬ:

х₁ = ¹/₂, х₂ = –¹/₂.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перетворимо це рівняння до виду:

Далі піднесемо обидві частини рівняння до третього степеня:

Позначивши

отримаємо квадратне рівняння:

y² + у – 12 = 0,

яке має корені

y₁ = 3, y₂ = –4.

Таким чином, початкове рівняння еквівалентно сукупності рівнянь

Піднісши обидві частини рівняння до третього степеня, отримуємо

х – 3 = 27, х = 30,

або

х – 3 = –64, х = –61.

ВІДПОВІДЬ: 30, –61

Завдання до уроку 40

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

вторник, 30 октября 2018 г.