четверг, 15 декабря 2016 г.

Урок 34. Розвязання рівнянь способом заміни

У багатьох випадках спосіб введення нових змінних значно спрощує рішення системи рівнянь.

Метод введення нової змінної.

Деякі рівняння вирішують заміною в них деякого многочлена з однією змінною і можуть бути зведені до рівнянь алгебри, степінь яких менше степені початкового рівняння і рішення яких простіше.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:
ОДЗ:  х ≠ 0. Нехай
Тоді
Маємо:
2t2 + 5t + 2 = 0,
t1 = –0,5,   t2 = –2.

Повернемося до заміни:
2х2 + 2 = –х,
2х2 + х + 2 = 0,   D < 0,

рівняння не має коренів.
х2 + 1 = –2х,
х2 + 2х + 1 = 0, 
(х + 1)2 = 0.
х = –1.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:
Перевіркою встановлюємо, що  х = 0  не є коренем рівняння. Поділимо чисельник і знаменник кожного дробу на  х, одержимо:
Нехай

3х + 2/х = t,

тоді останнє рівняння можна записати у вигляді:
13(t + 1) – 12(t – 5) = 5(t + 1)(t – 5),
5t2 – 21t – 98 = 0,
t1 = –2,8,   t2 = 7.
t ≠ 5,   t ≠ 1.

Повертаючись до заміни, матимемо:

3х + 2/х = –2,8
15х2 + 14х + 10 = 0,
D < 0

рівняння коренів не має.

3х + 2/х = 7,
3х2 – 7х + 2 = 0,
х1 = 1/3,   х2 = 2.
ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

х6 – 5х3 + 4 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо  у = х3, тоді початкове рівняння набирає вигляду:

у2 – 5у + 4 = 0,

вирішивши яке отримуємо

у1 = 1;  у2 = 4.

Таким чином, початкове рівняння еквівалентно сукупності рівнянь:

х3 = 1  або  х3 = 4,


Тобто
ВІДПОВІДЬ:
Біквадратне рівняння.

Рівняння четвертого степеня, до якого входять тільки парні степені невідомого, називається біквадратним.

Його записують так:

 ax4 + bx2 + c = 0,

Це рівняння зводиться до квадратного за допомогою заміни

х2 = z,

маємо

az2 + bz + c = 0,

Формула розв’язків біквадратного рівняння така:
Вона дає чотири корені біквадратного рівняння, а саме:
Симетричні рівняння.

Рівняння

axn + bxn-1 + cxn-2 + … + cx2 + bx + a,

у яких коефіцієнти членів, однаково віддалених від початку і кінця, рівні, називаються симетричними або зворотними.

ПРИКЛАД:

х7 + 2х6 – 5х5 – 13х4 – 13х3 – 5х2 + 2х + 1 = 0.

Симетричне рівняння має таку властивість:

Якщо число  х1  є розв’язком, то обернене число  1/х1  також буде його розв’язком.

(Жоден з коренів симетричного рівняння не може дорівнювати нулю.)
Симетричне рівняння може бути як парного, так і непарного степенів. Спосіб розв’язання такого рівняння парного степеня покажемо на прикладі рівняння четвертого степеня.

aх4 + bх3 + cх2 + bх + a = 0.

Поділивши обидві частини рівняння на  х2  (оскільки  х ≠ 0), одержимо:
Згрупуємо члени з однаковими коефіцієнтами:
Замінюючи

х + 1/х

новою буквою  у, одержимо:
Отже, симетричне рівняння четвертого степеня зводиться до квадратного рівняння. Симетричне рівняння парного степеня можна звести за допомогою підстановки

у = х + 1/х

до рівняння в два рази меншого степеня, ніж вихідне. Для цього ділять всі члени даного рівняння на  хn  (якщо степінь даного був 2n ) і групують члени, рівновіддалені від кінця і початку. Після цього роблять зміну за формулами:
ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

2х4 + 3х3 – 4х2 – 3х + 2 = 0.

Поділимо обидві частини рівняння на  х2 ≠ 0  й одержимо:
Нехай

х – 1/х = t,

тоді

Одержимо

2(t2 + 2) + 3t – 4 = 0,
2t2 + 3t = 0,
t(2t + 3) = 0.
t1 = 0,  t2 = –1,5.

Повернемося до заміни:

х – 1/х = t,   х2 – 1 = 0,
х2 = 1,   х1,2 = ±1.
х – 1/х = –1,5,  
2х2 + 3х – 2 = 0,
х3 = –2,   х4 = 0,5.

 Отже, рівняння має  4  корені.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо
тоді отримуємо рівняння
Перетворимо його:
звідси
Квадратне рівняння

y2 – 4y + 3 = 0

має корені

y1 = 1;  y2 = 3

(обидва корені входять в область допустимих значень).
Таким чином, початкове рівняння еквівалентно (рівносильно) сукупності рівнянь
Перетворимо їх:

(усі знайдені корені рівняння входять в область допустимих значень).

ВІДПОВІДЬ:
ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

х (х + 2)(х + 3)(х + 5) = 72.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перегруппіруем співмножники і перетворимо отримане рівняння:

(х + 2)(х + 3)(х + 5) х = 72,
(х2 + 5х + 6)(х2 + 5х) = 72.

Позначимо  у = х2 + 5х, тоді отримаємо рівняння 

(у + 6) у = 72,

або

у2 + 6у – 72 = 0.

Коріння цього рівняння:

у1 = 6, у2 = –12.

Таким чином, вихідне рівняння еквівалентно сукупності рівнянь

х2 + 5х = 6  або 
х2 + 5х = –12.

Перше рівняння має коріння 

х1 = 1, х2 = –6.

Друге рівняння коренів не має, так як

D = 25 – 48 = –23 < 0.

ВІДПОВІДЬ:  –6,  1

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Згрупуємо доданки:
позначимо:
при цьому зауважимо, що
Звідси:
З урахуванням цього отримуємо рівняння:

4(у2 – 2) + 12у = 47,  або
4у2 + 12у – 55 = 0.

Це квадратне рівняння має коріння:
Початкове рівняння еквівалентно сукупності рівнянь
Вирішимо їх:
х1 = 2, х2 = 1/2,
або
(всі знайдені коріння входять в область допустимих значень).
ВІДПОВІДЬ:  2,  0,5,

Завдання до уроку 34
Інші уроки:
Автор: на

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)