Урок 38. Рішення задач на змішування за допомогою рівнянь

пятница, 3 февраля 2017 г.

Урок 38. Рішення задач на змішування за допомогою рівнянь

Задачі на змішування (суміші, розчини, сплави) досить часто зустрічаються на практиці, і, як показує досвід, викликають певні труднощі при розв’язанні. Умовно розрізняють два види задач на змішування:

– задачі на змішування першого роду;

– задачі на змішування другого роду.

До задач першого роду відносяться задачі, в яких дано кількості змішуваних речовин (сплавів) і їх проценті концентрації (проби), а треба знайти процентну концентрацію (проби) утвореної суміші (сплаву).

Задачі на змішування першого роду ще інакше називають задачами на знаходження середнього арифметичного, або задачами на середнє зважене. Найхарактернішими задачами на змішування першого роду є задачі на знаходження середньої ціни, середньої температури, середньої швидкості, середнього часу та ін. У цих задачах треба визначити “ціну” суміші за даними “цінами” і кількостями окремих сортів (слово “ціна” тут вжито в широкому розумінні). Отже, мова йде про знаходження середнього арифметичного певної суми доданків, узятих групами (кажуть також “середнього зваженого”). Шуканим може бути не лише середнє арифметичне, а й ціна одного з сортів. Відомі задачі на знаходження середнього арифметичного кількох чисел є окремим випадком названих вище задач.

В умовах задач на розчини фігурує термін концентрація. Необхідно пояснити зміст цього поняття.

Концентрацією розчину називається кількість (маса і об’єм) розчиненої речовини, що міститься в певній кількості (масі чи об’єму) розчину або розчинника.

Відсотковою концентрацією розчину називається виражене у відсотках відношення маси розчиненої речовини n до маси всього розчину m:

Концентрацію розчину можна виразити не тільки в процентах, а й у частинах. Кажуть, наприклад, що концентрація солі у морській воді дорівнює ¹/₂₀ (за масою).

Проміле – це одна тисячна частина числа, або десята частина відсотка. Позначається так: ‰

‰ = 0,001;

‰ = 0,1%.

Сплав можна розглядати як розчин, в якому один з компонентів (довільний) є розчинник, а другий розчинна речовина. Серед задач на сплави окреме місце займають задачі на “ проби”.

Проба – це кількість грамів чистого золота (срібла, латини тощо) в
одному кілограмі сплаву. Так, золото 875 проби – це сплав, 1000 г якого містить 875 г чистого золота.

Слід звернути увагу на основну залежність між кількостями речовин, взятих до змішування і добутих після змішування, яку найчастіше використовують , розв’язуючи задачі на змішування. Цю залежність часто формулюють так:

Кількість речовини, взятої до змішування, дорівнює кількості цієї речовини, добутої після змішування.

ПРИКЛАД:

Якщо до розчину, в якому є m грамів солі, долити води, то і в добутому розчині буде m грамів цієї солі.

Якщо змішати два розчини, в одному з яких є m, а в другому n грамів солі, то в добутому розчині буде m + n грамів цієї солі. Загальна маса суміші завжди дорівнює сумі мас її складових частин.

У задачах на змішування (сплави) звичайно йдеться про маси m_1,m₂,…, їх відсоткові концентрації (проби) p₁, p₂,…, а також про масу m і концентрацію (пробу) утвореної суміші (сплаву) p. У цьому випадку завжди правильним вважається співвідношення:

m₁p₁ + m₂p₂ = (m₁ + m₂)p.

Якщо в задачі відомі значення m₁, m₂, p₁, p₂ і треба визначити p, то це задача на змішування першого роду. Її можна розв’язати за формулою:

Під час розв’язування задач не обов’язково користуватися готовою формулою. Можна поступово виконувати розрахунки, пов’язані з визначенням маси розчиненої речовини, і користуватися поняттям концентрації. Розв’язуючи задачі на концентрацію кислот і сплавів, треба пам’ятати, що міцність кислоти або спирту звичайно виражається в сотих долях, або процентах, які в цьому випадку називають градусами.

ЗАДАЧА:

Сплавили 180 г золота 920-ої проби з 100 г 752-ої проби. Якої проби вийшов сплав ?

РІШЕННЯ:

У першому зливку чистого золота було 0,92 від 180 г, т. е.

180 × 0,92 = 165,6 (г).

У другому зливку чистого золота було 0,752 від 100 г, т. е.

100 × 0,752 = 75,2 (г).

Отже, в отриманому сплаві чистого золота міститься:

164,6 + 75,2 = 240,8 (г).

Загальна вага сплаву рівна

180 + 100 = 280 (г).

Його проба рівна

ВІДПОВІДЬ:

Отриманий сплав 860 проби.

ЗАДАЧА:

До 2 кг води долили 8 кг 70-процентного розчину сірчаної кислоти. Визначте процентну концентрацію добутого розчину.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Скільки чистої (безводної) кислоти міститься в даному розчині ?

8 кг × 0,7 = 5,6 кг.

Яка маса добутого розчину ?

2 кг + 8 кг = 10 кг.

Чому дорівнює процентна концентрація розчину ?

5,6 кг : 10 кг = 0,56 = 56%.

ВІДПОВІДЬ:

Дістали 56-процентний розчин.

Якщо кількість кислоти виражена не в кілограмах, а в літрах, то подібні завдання можна вирішувати тільки за допомогою таблиць питомих вагів розчинів сірчаної кислоти.

ЗАДАЧА:

До 2 л води долили 8 л 70-процентного розчину сірчаної кислоти. Визначте процентну концентрацію добутого розчину.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Знаходимо в таблицях 70-процентного розчину сірчаної кислоти: 1,6. Отже, маса 8 л цього розчину:

1,6 × 8 = 12,8 (кг).

Безводної кислоти в ньому є:

12,8 × 0,7 = 8,96 (кг).

Загальна маса добутого розчину дорівнює:

12,8 + 2 = 14,8.

Отже, процентна концентрація цього розчину:

8,96 : 14,8 ≈ 0,6 = 60%.

ЗАДАЧА:

Водно-сольовий розчин містив 4 кг солі. Через деякий час 4 кг води випарувалось, унаслідок чого концентрація солі в розчині збільшилася на 5%. Якою була початкова маса розчину ?

Нехай х кг – початкова маса розчину. Тоді початкова концентрація дорівнює

Коли 4 кг води випарувалося з розчину, то його концентрація

збільшилася на 5%.

Рівняння:

х₁ = –16 не задовольняє умову задачі.

Отже,початкова маса розчину 20 кг.

Завдання до уроку 38

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 3 февраля 2017 г.