Урок 29. Розв'язування задач за допомогою систем рівнянь другого степеня

За допомогою систем рівнянь другого ступеня зручно вирішувати багато завдань. Багато завдань, особливо у яких необхідно знайти значення двох величин, зручно вирішувати з допомогою систем рівнянь другого ступеня. При розв'язанні задач за допомогою систем рівнянь надходять так: позначають деякі невідомі числа літерами, використовуючи умову задачі, складають систему рівнянь; вирішують цю систему; тлумачать результат відповідно до умови завдання.

ЗАДАЧА:

Периметр прямокутника дорівнює  80 см. Якщо основу прямокутника збільшити на  8 см, а висоту – на  2 см, то площа прямокутника збільшиться у півтора раза. Яка довжина сторін прямокутника ?

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ:

Нехай основа прямокутника дорівнює  х см, а висота  у см. Периметр прямокутника дорівнює  80 см, тобто:

2х + 2у = 80.

Площа прямокутника дорівнює: 

ху см².  

Після збільшення сторін основа прямокутника дорівнюватиме:

(х + 8)(у + 2) см².

За умовою задачі площа прямокутника збільшиться в півтора раза, тобто:

(х + 8)(у + 2) = 1,5ху.

Отже, маємо систему рівнянь:

Розв’язавши її, знайдемо, що:

х₁ = 28, у₁ = 12;   

х₂ = 24, у₂ = 16.

Отже, задача має два розв’язки. Сторони прямокутника дорівнюють  28 см  і  12 см  або  24 см  і  16 см.

ЗАДАЧА:

О дев’ятій ранку від пристані відчалив пліт, а о вісімнадцятій – човен, який наздогнав пліт на відстані  20 км  від пристані. О котрій годині човен наздогнав пліт, якщо власна швидкість човна дорівнює  18 км/год ?

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ:

Нехай  х км/год – швидкість течії,  t год – час, за який човен наздогнав пліт, тоді за умовою можна скласти такі рівняння:

х(9 + t) = 20, 

(х + 18)t = 20.

З цих двох рівнянь випливає, що:

х(9 + t) = (х + 18)t,

хt + 9х = хt + 18t,  х = 2t.

Повернемося до рівняння:

х(9 + t) = 20,

2t (9 + t) = 20,

t² + 9t – 10 = 0.

t =1,  t = –10.

Отже, човен наздожене пліт за одну годину, і це відбудеться о  19  годині.

ЗАДАЧА:

Робітник і учень, працюючи разом, можуть виконати деяке завдання за  2 дні. За скільки днів може виконати це завдання кожен з них, працюючи самостійно, якщо робітнику для виконання  ¹/₃  завдання потрібно на  3 дні менше, ніж учневі на виконання  ²/₃  завдання ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай робітник сам може виконати завдання за  х днів, а учень – за у днів. Тоді за  1 день робітник виконає  ¹/_х , а учень – ¹/_у частину роботи. Працюючи разом, за  1 день вони виконають  ¹/₂ частину роботи. Рівняння:

¹/_х  + ¹/_у  = ¹/₂.

Час, необхідний для виконання  ¹/₃  завдання робітником, дорівнює  ^х/₃  днів, а для виконання  ²/₃  завдання учнем – ^2у/₃   днів. Рівняння:

^х/₃  + 3 = ^2у/₃.

Система:

х₁ = –6,  у₁ = 1,5 – не задовольняє умову задачі.

х₂ = 3,  у₂ = 6.

Отже, робітник може виконати завдання за  3 дні, а учень – за  6 днів.

ВІДПОВІДЬ:  3 дні, 6 днів

ЗАДАЧА:

Старший брат мав удвічі більше грошей, ніж молодший. Вони поклали свої гроші на рік на рахунки в різні банки, причому молодший брат знайшов банк, який дає на  5%  річних більше, ніж старшого брата. Знявши свої гроші з рахунків за рік, старший брат отримав  4600 грн, а молодший – 2400 грн. Скільки грошей було б у братів у сумі, якби вони від початку змінили свої банки ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  х грн – сума грошей, яку поклав до банку молодший брат, тоді 2х грн – сума грошей, яку поклав до банку старший брат. Нехай, далі, банк старшого брата дає у% річних, тоді банк молодшого брата дає  (у + 5)%  річних.

Отже, через рік на рахунку старшого брата буде

а на рахунку молодшого брата буде

У результаті приходимо до системи рівнянь:

Вирішивши цю систему, отримаємо  х = 2000, у =15. Залишилося отримати відповідь на запитання завдання: скільки грошей було б у братів у сумі, якби вони від початку змінили свої банки? І тут молодший брат поклав свої  2000 грн  у банк під  15%  річних, а старший – 4000 грн  у банк під  20%  річних. Молодший брат наприкінці року отримав би  2300 грн, а старший – 4800 грн. Загалом у них стало б  7100 грн.

ВІДПОВІДЬ:  7100 грн

ЗАДАЧА:

Першому робітнику для виконання завдання потрібно на  4 год  менше, ніж другому. Перший робітник пропрацював  2 год, а потім його змінив другий. Після того як другий робітник пропрацював  3 год, виявилося, що виконано  ¹/₂  завдання. За скільки годин може виконати це завдання кожний робітник, працюючи самостійно ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай перший робітник сам може виконати замовлення за  х год, а другий – за  у год   і  у – х = 4. Тоді за  1 год  перший виконає  ¹/_х, другий – ¹/_у  частину роботи. Якщо перший робітник виконуватиме завдання  2 год, а другий – 3 год, то разом вони виконають  ¹/₂  частину роботи.

Розв’яжемо систему:

х₁ = –2,  х₂ = 8,

у₁ = 2,  у₂ = 12.

х₁ = –2  не задовольняє умову задачі. Отже, перший робітник може виконати завдання за  8 год, другий – за  12 год.

ВІДПОВІДЬ:  8 год, 12 год

ЗАДАЧА:

Двоє трактористів можуть зорати поле, працюючи разом, за  6 год. За скільки може зорати це поле кожний тракторист, працюючи самостійно, якщо одному з них для того, щоб зорати  ²/₅  поля, треба на  4 год. Більше, ніж іншому, щоб зорати  ¹/₅  поля ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай перший тракторист може зорати поле за  х год, а другий за  у год. Тоді за  1 год  перший виконає  ¹/_х, другий –  ¹/_у частину роботи. Працюючи разом, виконують за  1 год  ¹/₆  завдання.

Рівняння:

¹/_х + ¹/_у = ¹/₆, 

²/₅ : ¹/_х = ^2х/₅ (год)

– час, необхідний для виконання  ²/₅  завдання першим трактористом,

¹/₅ : ¹/_у = ^у/₅ (год)

– час, необхідний для виконання  ¹/₅  завдання другим трактористом.

Рівняння:

^2х/₅ + ^у/₅ = 4.

Система:

х₁ = 4,  х₂ = 15,

у₁ = –12,  у₂ = 10.

х₁ = –12  не задовольняє умову задачі. Отже, перший тракторист може виконати завдання за  15 год, другий – за  10 год.

ВІДПОВІДЬ:  15 год, 10 год

ЗАДАЧА:

З міста  А  в місто  В, відстань між якими дорівнює  320 км, виїхав вантажний автомобіль. Через  3 год  після цього з міста  В  у місто  А  виїхав легковий автомобіль, який зустрівся з вантажним через  1 год. після свого виїзду. Легковий автомобіль долає відстань між містами  А  і  В  на  1 год 20 хв. швидше, ніж вантажний. Знайдіть швидкість кожного автомобіля.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  х км/год – швидкість легкового автомобіля, у км/год – швидкість вантажного автомобіля. Вантажний автомобіль рухав  3 + 1 = 4 год, легковий – 1 год, і вони проїхали  320 км. Рівняння:

х + 4у = 320.

На весь шлях з  А  у  В  легковий автомобіль затратив  ³²⁰/_х год, а вантажний –  ³²⁰/_у  год. 1 год 20 хв = ⁴/₃ год. Рівняння:

³²⁰/_у – ³²⁰/_х = ⁴/₃.

Система:

х = 80,

у₁ = 60,  у₂ = 320.

х₁ = 320  не задовольняє умову задачі. Отже, швидкість легкового автомобіля становила  80 км/год, вантажного – 60 км/год.

ВІДПОВІДЬ:  80 км/год, 60 км/год

Завдання до уроку 29

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Лінійне рівняння з одним невідомим і цілими вільними членами
• Урок 2. Лінійне рівняння з одним невідомим і дрібними вільними членами
• Урок 3. Застосування правил визначення невідомого доданка, зменшуваного і від'ємника для розв'язання задач
• Урок 4. Застосування правил визначення невідомого множника для розв'язання задач
• Урок 5. Розв'язування рівнянь, що зводяться до лінійних
• Урок 6. Розв'язування рівнянь із змінною в знаменнику
• Урок 7. Застосування правил визначення діленого і дільника для розв'язання задач
• Урок 8. Лінійне рівняння з двома невідомими
• Урок 9. Рішення лінійних рівнянь за допомогою графіків
• Урок 10. Лінійне рівняння з параметром
• Урок 11. Системи двох рівнянь першого степеня з двома невідомими
• Урок 12. Розв'язання систем рівнянь способом підстановки
• Урок 13. Розв'язання систем рівнянь способом алгебраїчного додавання
• Урок 14. Рішення лінійних систем рівнянь за допомогою графіків
• Урок 15. Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь
• Урок 16. Системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими
• Урок 17. Повне квадратне рівняння загального вигляду
• Урок 18. Зведене квадратне рівняння
• Урок 19. Теорема Вієта
• Урок 20. Неповні квадратні рівняння
• Урок 21. Розв'язання квадратного рівняння способом виділення квадрата двочлена
• Урок 22. Графічний спосіб розв'язування квадратних рівнянь
• Урок 23. Квадратний тричлен
• Урок 24. Квадратні рівняння з параметрами
• Урок 25. Дробові раціональні рівняння
• Урок 26. Задачі на складання квадратних рівнянь
• Урок 27. Рівняння кола
• Урок 28. Системи рівнянь другого степеня є двома невідомими
• Урок 30. Перетин прямої з колом
• Урок 31. Рішення нелінійних систем рівнянь за допомогою графіків
• Урок 32. Системи рівнянь з параметрами
• Урок 33. Рівняння вищих степенів
• Урок 34. Розв'язання рівнянь способом заміни
• Урок 35. Розв'язання систем рівнянь способом заміни
• Урок 36. Задачі на знаходження чисел
• Урок 37. Задачі на знаходження цифр
• Урок 38. Рішення задач на змішування за допомогою рівнянь
• Урок 39. Рішення задач на змішування за допомогою систем рівнянь
• Урок 40. Ірраціональні рівняння