Урок 11. Системи двох рівнянь першого степеня з двома невідомими

воскресенье, 24 июля 2016 г.

Урок 11. Системи двох рівнянь першого степеня з двома невідомими

Системи рівнянь, як і окремі рівняння, застосовуються на вирішення складних і необхідних завдань. При вирішенні деяких завдань доводиться становити два рівняння, у кожному з яких перебуває по дві невідомі величини, тобто маємо два рівняння з двома невідомими. Потрібно знайти такі значення невідомих х і y, які одночасно задовольняли б і перше і друге рівняння, тобто перетворювали кожне з рівнянь на правильну рівність. Інакше необхідно знайти загальне рішення обох рівнянь. Або вирішити систему даних рівнянь.

Нехай дані два рівняння з двома змінними:

f(x; y) = 0 і g(x; y) = 0.

Якщо ставиться завдання знайти всі загальні розв'язки двох рівнянь із двома змінними, то кажуть, що треба вирішити систему рівнянь. Пару значень змінних, що обертає правильну рівність кожне рівняння системи, називають рішенням системи рівнянь. Вирішити систему – це знайти всі її рішення або довести, що їх немає.

Записують систему рівнянь, поєднуючи їх фігурною дужкою.

ПРИКЛАД:
означає, що рівняння

х – 3у = 10,

3х – 2у = 2

утворюють систему.

Система рівнянь називається лінійною, якщо усі рівняння, що входять в систему, є лінійними.

Якщо система з n лінійних рівнянь містить n невідомих, то можливі наступні три випадки:

– система не має рішень;

– система має рівно одно рішення;

– система має нескінченно багато рішень.

ПРИКЛАД:
Кожне рівняння цієї системи має нескінченну кількість рішень і лише одна пара чисел є спільною для обох рівнянь.

Рішенням системи рівнянь із двома змінними називається пара значень змінних, що обертає кожне рівняння системи у правильну рівність.

ПРИКЛАД:

Наведену вище систему рівнянь задовольняє кілька чисел:

х = 15;

у = 5.

Це і рішення цієї системи. Інших рішень вона не має.

Існують системи рівнянь, які мають безліч рішень, а також системи, які зовсім не мають рішень. Система, яка не має рішень, називається несумісною. Називати рішення системи корінням не можна

Вирішити систему – це означає знайти всі рішення цієї системи чи показати, що вона їх не має.

Дві системи рівнянь називаються рівносильними (еквівалентними), якщо всі рішення однієї з них буде рішенням іншої, і навпаки, всі рішення іншої системи будуть рішеннями першої.

ПРИКЛАД:

Розв'язком системи

є пара чисел:

х = 4, у = 3.

Ці самі числа є також єдиним розв'язком системи:

Отже, розглядувані системи рівнянь рівносильні.

Дві несумісні системи рівнянь також вважаються рівносильними. Дві рівносильні системи рівнянь можуть складатися з однакової і різної кількості рівнянь. Зокрема, система рівнянь може бути рівносильна до одного рівняння. Поняття рівносильності систем рівнянь є відносним: дві системи рівнянь рівносильні в одній числовій множині і нерівносильні – в іншій.

При вирішенні системи рівнянь зазвичай замінюють цю систему іншою, простішою або з якихось причин більш «зручною», але рівносильною початковою.

Будь-яке з рівнянь системи можна замінити рівносильним до нього рівнянням; одержана в результаті цього система рівносильна до даної.

ПРИКЛАД:

Якщо в системі

Замінити друге рівняння рівносильним до нього рівнянням

9х + 6у = 57,

одержимо нову систему:

рівносильну до даної.

ПРИКЛАД:

Системи
рівносильні.
Рівносильними будуть і такі системи:

Будь-яке з рівнянь системи можна замінити рівнянням, одержаним в результаті алгебраїчного додавання обох рівнянь системи. Нова система рівносильна до даної.

ПРИКЛАД:

Якщо перше рівняння в наведеній вище системі замінити таким чином, одержимо нову систему:

рівносильну до даної.

ПРИКЛАД:

Системи
рівносильні. Ми замінили рівняння х – 3у = 10 сумою двох рівнянь заданої системи, а рівняння 3х – 2у = 2 залишили незмінним.

Можна з одного рівняння системи виразити якесь невідоме через інше і підставити цей вираз у друге рівняння, ново рівняння разом з першим утворює систему, рівносильну до даної.

ПРИКЛАД:

Нехай дано систему:

Виразимо невідоме х через у з другого рівняння:

х = 2у + 1,

Підставивши цей вираз у перше рівняння, одержимо

2(2у + 1) + 3у = 33.

Якщо до цього рівняння з одним невідомим приєднати друге рівняння системи, одержимо нову систему:

Рівносильну до даної.

ПРИКЛАД:

Вирішити систему рівнянь:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Система не має рішень, оскільки два рівняння системи не можуть задовольнятися одночасно (з першого рівняння

х + y = 3,

а з другого

х + y = 3,5).

ВІДПОВІДЬ: рішень немає

ПРИКЛАД:

Вирішити систему рівнянь:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Система має нескінченно багато рішень, оскільки друге рівняння виходить з першого шляхом множення на 2 (тобто фактично є всього одно рівняння з двома невідомими).

ВІДПОВІДЬ: нескінченно багато рішень

Завдання до уроку 11

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

воскресенье, 24 июля 2016 г.