Урок 26. Задачі на складання квадратних рівнянь

вторник, 27 сентября 2016 г.

Урок 26. Задачі на складання квадратних рівнянь

З допомогою рівнянь вирішуються численні завдання, яких призводять найрізноманітніші питання фізики, механіки, економіки тощо.

Загальний порядок розв'язання задач за допомогою рівнянь.

– вводять змінні, тобто літерами х, у, z позначають невідомі величини, які потрібно знайти у завданні, або необхідні для відшукання шуканих величин;

– за допомогою введених змінних та даних у задачі чисел та їх співвідношень становлять систему рівнянь (або одне рівняння);

– вирішують складену систему рівнянь (або рівняння) та з отриманих рішень відбирають ті, що підходять за змістом завдання;

– якщо літерами х, у, z позначили не шукані величини, то з допомогою отриманих рішень знаходять у відповідь питання завдання.

Багато задач геометрії, фізики приводять до розв’язування квадратних рівнянь.

ЗАДАЧА:

Два автомобілі виходять з одного міста в друге. Швидкість першого на 10 км/год більша за швидкість другого, і тому перший автомобіль приходить на місце на 1 год раніше за другий. Визначити швидкість обох автомобілів, якщо відомо, що відстань між містами 560 км.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Приймаємо швидкість другого автомобіля за х (км/год). Тоді швидкість першого буде

х + 10 (км/год).

Значить, час руху першого автомобіля буде

час руху другого

За умовою задачі перше з цих чисел на 1 більше за друге. Отже:

Після перетворень маємо:

х² – 10х + 560 = 0.

Корені цього рівняння

х₁ = 70, х₂ = –80.

Відкидаючи другій корінь, оскільки швидкість не може бути від’ємною, одержуємо швидкість другого автомобіля 70 км/год. Тоді швидкість першого дорівнює 80 км/год.

ЗАДАЧА:

Теплохід пройшов за течією річки 48 км і стільки ж проти течії і затратив на весь шлях 5 год. Визначити швидкість теплохода в стоячій воді, якщо швидкість течії річки 4 км/год.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Швидкість теплохода в стоячій воді приймаємо за х (км/год). Тоді його швидкість за течією річки буде х + 4 (км/год), а швидкість проти течії х – 4 (км/год). Значить, він пройде за течією 48 км за

і проти течії за

За умовою задачі маємо:

Після перетворення одержуємо рівняння:

х² – 96х – 80 = 0.

Його корені

х₁ = 20, х₂ = – ⁴/₅.

Отже, швидкість теплохода в стоячій воді була 20 км/год.

ЗАДАЧА:

За 4 дні спільної роботи двох тракторів з різними потужностями виорано ²/₃ колгоспного поля. За скільки днів можна було б виорати все поле кожним трактором окремо, якщо перший трактор може виорати все поле на 5 днів раніше, ніж другий ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Роботу приймаємо за одиницю. Припускаємо, що другим трактором можна виорати все поле за х днів, тоді першим трактором його можна виорати за х – 5 днів. Значить, за 4 дні другий трактор виоре

частину поля, а перший

частину. Оскільки це складає ²/₃ всього поля, то одержуємо рівняння:

Після перетворення це рівняння набуває вигляду:

х² – 17х + 30 = 0.

Його корені

х₁ = 15, х₂ = 2.

Другій корінь не відповідає умові задачі, оскільки 2 – 5 = –3. Отже, другий трактор може виорати все поле за 15 днів, а перший – за 10 днів.

ЗАДАЧА:

Два робітника, працюючи разом, виконали виробниче завдання за 14 год. За скільки годин може виконати це завдання кожен робітник, працюючи самостійно, якщо один з них може це зробити на 7 год швидше, ніж інший ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай один робітник сам може виконати завдання за х год, виконуючи за 1 год ¹/_х частину завдання. Тоді інший – за (х + 7) год, виконуючи за 1 год
Рівняння:

х₁ = –4 не задовольняє умову задачі. Отже, один робітник може виконати завдання за 21 год, а другий – за

21 + 7 = 28 (год).

ВІДПОВІДЬ: 21 год, 28 год

ЗАДАЧА:

Турист проплив на моторному човні 25 км проти течії річки і повернувся назад на плоту. Знайдіть швидкість течії річки, якщо на плоту турист плив на 10 год більше, ніж на човні, а власна швидкість човна становить 12 км/год.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай х км/год – швидкість течії річки, тоді (12 – х) км/год – швидкість човна проти течії. Проти течії турист плив
а на плоту – ²⁵/_х год. Рівняння:

х = 15 не задовольняє умову задачі. Отже, швидкість течії річки 12 км/год.

ВІДПОВІДЬ: 12 км/год

ЗАДАЧА:

Першому робітникові для виконання виробничого завдання потрібно на 2 год більше, ніж другому. Перший робітник працював 2 год, а потім його змінив другий. Після того як другий робітник працював 3 год, виявилось, що виконано ³/₄ завдання. За скільки годин може виконати це завдання кожний робітник, працюючи самостійно ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай другому робітникові для виконання завдання потрібно х год, тоді першому – (х + 2) год. За 1 год перший виконує частину завдання, а другий – ¹/_х частину. Перший робітник за 2 год виконав
а другий за 3 год – ³/_х частину. Тоді маємо:

х₁ = 6, х₂ = –⁴/₃ (не підходить).

ВІДПОВІДЬ: 8 год, 6 год

ЗАДАЧА:

Відстань між двома містами дорівнює 420 км. З одного міста до іншого виїхали одночасно два автомобілі. Швидкість першого з них на 10 км/год більша за швидкість другого, через що він проїхав у пункт призначення на 1 год раніше від другого автомобіля. Знайдіть швидкість кожного автомобіля.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай х – швидкість другої машини, тому вона була у дорозі ⁴²⁰/_х год. Тоді швидкість першої машини – (х + 10) км/год, і вона проїхала 420 км за
Рівняння:

х = –70 не задовольняє умову задачі. Отже, швидкість другої машини – 60 км/год. Тоді швидкість першої машини –

60 + 10 = 70 (км/год).

ВІДПОВІДЬ: 70 км/год, 60 км/год

ЗАДАЧА:

Перший насос наповнив водою басейн об’ємом 360 м³, а другий – об’ємом 480 м³. Перший насос перекачував щогодини на 10 м³ води менше, ніж другий, і працював на 2 год довше, ніж другий. Який об’єм води перекачує кожен насос за годину ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай х м³ води перекачував за 1 год другий насос, він затратив на наповнення басейну ⁴⁸⁰/_х год. Тоді (х – 10) м³ води перекачував за 1 год перший насос і затратив
Рівняння:

х = –80 не задовольняє умову задачі. Другий насос перекачував за 1 год 30 м³, перший –

30 – 10 = 20 (м³).

ВІДПОВІДЬ: 20 м³, 30 м³

ЗАДАЧА:

Кілька учнів поділили порівну між собою 180 яблук. Якби учнів було на 3 менше, то кожний з них отримав би на 3 яблука більше. Скільки було учнів ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай було х учнів, тоді кожний отримав ¹⁸⁰/_х яблук. Якби учнів було (х – 3), то кожний отримав би
що на 3 більше від ¹⁸⁰/_х. Рівняння:

ВІДПОВІДЬ: 15 учнів

ЗАДАЧА:

Для перевезення 30 т вантажному автомобілю треба було зробити кілька рейсів, але вантаж довелося перевозити на автомобілі, який мав вантажопідйомність на 2 т більше, ніж планувалося. Через це для перевезення вантажу знадобилося на 4 рейси менше, ніж планувалося. Знайдіть вантажопідйомність автомобіля, який перевіз вантаж.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай х т – вантажність автомобіля, який мав перевозити вантаж. Йому потрібно було здійснити ³⁰/_х рейсів. Вантажність автомобіля, який перевіз вантаж, – (х + 2) т, і тому він перевіз вантаж за
Рівняння:

х = –5 не задовольняє умову задачі. Вантажність автомобіля, який мав виконати перевезення, – 3 т. Тоді вантажність автомобіля, який перевіз вантаж, становить

3 + 2 = 5 (т).

ВІДПОВІДЬ: 5 т

ЗАДАЧА:

Перша бригада мала виготовити 120 однакових деталей, а друга – 144 такі деталі. Перша бригада виготовляла щогодини на 4 деталі більше, ніж друга, і працювала на 3 год менше від другої. Скільки деталей виготовляла кожна бригада за годину ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай за 1 год друга бригада виготовляла х деталей, тому вона затратила ¹⁴⁴/_х год. Тоді за 1 год друга бригада виготовляла (х + 4) деталей і затратила
Рівняння:

х = –12 не задовольняє умову задачі.

ВІДПОВІДЬ: 20 і 16 деталей

ЗАДАЧА:

Із села А в село В, відстань між якими дорівнює 30 км, велосипедист проїхав з певною швидкістю, а повертався зі швидкістю на 3 км/год більшою і витратив на 30 хв менше, ніж на шлях із села А в село В. Знайдіть початкову швидкість велосипедиста.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай х км/год – початкова швидкість велосипедиста, тому ³⁰/_х год – час його руху з пункту А в В. Назад він рухався зі швидкістю (х + 3) км/год і затратив час
Рівняння:

х = –15 не задовольняє умову задачі. Отже, початкова швидкість велосипедиста 12 км/год.

ВІДПОВІДЬ: 12 км/год

ЗАДАЧА:

Тракторист мав зорати поле площею 200 га. Кожен день він зорював на 5 га більше, ніж планував, а тому закінчив оранку на 2 дні раніше строку. За скільки днів тракторист зорав поле ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай тракторист зорав поле за х днів, зорюючи щодня ²⁰⁰/_х га. За планом він мав зорати поле за (х +2) дні, зорюючи
Це на 5 га менше, ніж він насправді зорював. Рівняння:

х = –10 не задовольняє умову задачі. Отже, тракторист зорав поле за 8 днів.

ВІДПОВІДЬ: 8 днів

ЗАДАЧА:

Катер пройшов 10 км за течією річки і 9 км по озеру, витративши на весь шлях 1 год. Знайдіть власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки становить 2 км/год.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай власна швидкість катера дорівнює х км/год, тоді його швидкість за течією – (х + 2) км/год. За течією він плив
а озером – ⁹/_х год. Маємо:

х = –1 не задовольняє умову задачі.

ВІДПОВІДЬ: 18 км/год

ЗАДАЧА:

Із села на станцію вийшов пішохід. Через 36 хв після нього з цього села виїхав у тому самому напрямку велосипедист, який наздогнав пішохода на відстані 6 км від села. Знайдіть швидкість пішохода, якщо вона на 9 км/год менша від швидкості велосипедиста.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай х км/год – швидкість пішохода, тому він затратив на дорогу ⁶/_х год. Тоді швидкість велосипедиста (х + 9) км/год і він затратив на дорогу
Рівняння:

х = –15 не задовольняє умову задачі.

ВІДПОВІДЬ: 6 км/год

ЗАДАЧА:

Щоб ліквідувати запізнення на 24 хв, потяг на перегоні завдовжки 120 км збільшив швидкість на 10 км/год порівняно із запланованою. З якою швидкістю мав їхати потяг ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай швидкість поїзда за розкладом х км/год, тоді час його руху має бути год. Збільшена швидкість руху поїзда – (х + 10) км/год. Час його руху з цією швидкістю
що на 24 хв = ²/₅ год менше, ніж за розкладом. Рівняння:

х = –60 не задовольняє умову задачі.

ВІДПОВІДЬ: 50 км/год

ЗАДАЧА:

Резервуар, об’єм якого дорівнює 10 м³, наповнюється водою через першу трубу на 5 хв швидше, ніж через другу трубу. Скільки кубічних метрів води надходить за годину з кожної труби, якщо з першої за годину надходить на 10 м³ більше, ніж з другої ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай з другої труби за 1 год витікає х м³ води, тоді з першої – (х + 10) м³. Резервуар, об’єм якого дорівнює 10 м³, друга труба заповнює за ¹⁰/_х год, а перша – за
5 хв = ¹/₁₂ год. Рівняння:

х = –40 не задовольняє умову задачі. Отже, з другої труби за 1 год витікає 30 м³, а з першої –

30 + 10 = 40 (м³).

ВІДПОВІДЬ: 30 м³,40 м³

ЗАДАЧА:

Для класу закупили кілька ручок, заплативши за них 180 грн. Якби ціна ручки була на 3 грн меншою, то ручок купили б на 3 більше. Скільки коштує одна ручка ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай ціна ручки х грн, тоді купили ¹⁸⁰/_х ручок. Якби ціна ручки була (х – 3) грн, то ручок купили б
і їх кількість була б на 3 більше від ¹⁸⁰/_х. Рівняння:

х = –12 не задовольняє умову задачі. Отже, вартість ручки дорівнює 15 грн.

ВІДПОВІДЬ: 15 грн

ЗАДАЧА:

Одна машина працювала на розчищенні ковзанки 25 хв, а потім її змінила друга машина, яка закінчила розчищення за 16 хв. За скільки хвилин може розчистити ковзану кожна машина, працюючи самостійно, якщо першій для цього потрібно на 9 хв більше, ніж другій ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай перша машина може розчистити ковзанку самостійно за х хв, тоді другій для цього потрібно (х – 9) хв. За 1 хв перша машина розчищає ¹/_х частину ковзанки, а друга –
Перша машина за 25 хв розчистила ²⁵/_х частину ковзанки, а друга за 16 хв –
Оскільки в результаті їх роботи була розчищена вся ковзанка, то
Розв’яжемо одержане рівняння:

25х – 225 + 16х = х² – 9х,

х² – 50х + 225 = 0,

х₁ = 45, х₂ = 5,

Корінь 5 не задовольняє умову задачі, оскільки при х = 5 маємо:

х – 9 = 5 – 9 < 0.

Отже, першій машині потрібно для самостійного розчищення ковзанки 45 хв, а другій – 36 хв.

ВІДПОВІДЬ: 15 хв, 36 хв

ЗАДАЧА:

Катер пройшов 30 км за течією річки і повернувся назад, витративши на шлях 2 год 15 хв. Визначте швидкість течії, якщо власна швидкість катера дорівнює 27 км/год.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай швидкість течії становить х км/год. Тоді (27 + х) км/год – швидкість катера за течією річки, (27 – х) км/год – швидкість катера проти течії річки. За течією він плив
а проти течії –
затративши на весь шлях 2 год 15 хв = ⁹/₄ год. Складаємо рівняння:

х = –3 не задовольняє умову задачі. Отже, швидкість течії річки становить 3 км/год.

ВІДПОВІДЬ: 3 км/год

ЗАДАЧА:

Дві бригади, працюючи разом, зорали поле за 8 год. За скільки годин може зорати поле кожна бригада, працюючи самостійно, якщо одній бригаді на це потрібно на 12 год більше, ніж іншій ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай перша бригада може виконати завдання за х год, виконуючи за 1 год ¹/_х частину завдання. Тоді друга – за (х + 12) год, виконуючи за 1 год
Рівняння:

х = –8 не задовольняє умову задачі. Отже, одна бригада може зорати поле за 12 год, а інша – за

12 + 12 = 24 (год).

ВІДПОВІДЬ: 12 год, 24 год

ЗАДАЧА:

Моторний човен пройшов 6 км проти течії річки і 8 км за течією, витративши на весь шлях 1 год. Яка швидкість човна в стоячій воді, якщо швидкість течії річки становіть 2 км/год ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай швидкість човна в стоячій воді дорівнює х км/год. Тоді його швидкість за течією – (х + 2) км/год, а проти течії – (х – 2) км/год. Отримаємо:

6(х + 2) + 8(х – 2) = (х – 2)(х + 2),

14х – 4 = х² – 4,

х² – 14х = 0,

х₁ = 0, х₂ = 14,

Корінь 0 не задовольняє умову задачі.

ВІДПОВІДЬ: 14 км/год

ЗАДАЧА:

Човен, пропливає 9 км за течією річки і 1 км проти течії за такий самий час, який потрібен плоту, щоб проплисти 4 км по цій річці. Знайдіть швидкість течії, якщо власна швидкість човна становить 8 км/год.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай х км/год – швидкість течії річки. Тоді (8 + х) км/год – швидкість човна за течією, (8 – х) – швидкість проти течії річки.
– час руху човна за течією,

– час руху човна проти течії річки. Пліт 4 км пропливе за год. Рівняння:

х = 16 не задовольняє умову задачі. Отже, швидкість течії річки становить 4 км/год.

ВІДПОВІДЬ: 4 км/год

Завдання до уроку 26

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

вторник, 27 сентября 2016 г.