Урок 22. Графічний спосіб розв'язування квадратних рівнянь

Побудова графіка квадратичної функції.

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції

у = –х² – 6х – 5.

Користуючись графіком, знайдіть:

– множину значень функції,

– проміжок, на якому функція спадає.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графіком функції у = –х² – 6х – 5 є парабола, вітки якої напрямлені вниз. Знайдемо координати вершини парабол

у_в = у(–3) = –9 + 18 – 5 = 4.

Точка (–3; 4) є вершиною даної параболи. Знайдемо абсциси точок перетину графіка функції з віссю Ох:

–х² – 6х – 5 = 0,

х₁ = –5, х₂ = –1.

Вісь ординат графік цієї функції перетинає в точці (0; –5). Побудуємо графік заданої функції.

З малюнка видно, що:

1. Множиною значень функції є проміжок (–∞; 4].

2. Функція спадає на проміжку [–3; ∞).

ВІДПОВІДЬ: (–∞; 4], [–3; ∞)

ЗАДАЧА:

Число 60 подайте у вигляді суми двох додатних чисел так, щоб сума їх квадратів була найменшою.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай перше число дорівнює х, тоді друге – 60 – х. Сума квадратів цих чисел

у = х² + (60 – х)² =

= 2х² – 120х + 3600.

Графіком цієї функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору. Тому найменше значення досягається у вершині
Отже, перше число дорівнює 30, а друге –

60 – 30 = 30.

ВІДПОВІДЬ: 30 і 30

Графічний розв'язок рівнянь.

Насправді досить часто виявляється корисним графічний метод розв'язання рівнянь. Він полягає в наступному: для вирішення рівняння f(x) = 0 будують графік функції у = f(x) і знаходять абсциси точок перетину графіка з віссю х ці абсциси і є корінням рівняння.

Так, для вирішення рівняння

aх² + bх + c = 0

достатньо побудувати графік квадратичної функції

у = aх² + bх + c

та знайти абсциси точок перетину цього графіка з віссю х.

Наприклад, графік функції

у = –х² – 6х – 5

перетинає вісь х у точках (–5; 0) і (–1; 0), отже рівняння

–х² – 6х – 5 = 0

має два корені:

х₁ = –5, х₂ = –1.

Графік функції у = х² – 4х + 5 не перетинає вісь абсцис, отже, рівняння х² – 4х + 5 = 0 не має дійсних коренів.

Щоб розв’язати графічно квадратне рівняння

aх² + bх + c = 0,

доцільно записати рівняння у вигляді

aх² = –bх – c

і побудувати в одній і той самій системі координат графіки функцій

у = aх² і у = –bх – c.

Абсциси точок перетину графіків є коренями рівняння

aх² + bх + c = 0.

Коли графіки не мають спільних точок, то рівняння не має коренів.

Перед тим як графічно розв’язувати квадратне рівняння, часто буває зручно поділити всі його члени на перший коефіцієнт.

Так, для вирішення рівняння х³ – 3х + 1 = 0 можна перетворити рівняння до виду х³ = 3х – 1, потім побудувати графіки функцій у = х³ і у = 3х – 1 і знайти абсциси точок перетину цих графіків.

ПРИКЛАД:

Розв’язати графічно рівняння:

2х² + 6х – 5 = 0,

замінимо його рівносильним рівнянням:

х² + 3х – 2,5 = 0.

Подавши рівняння у вигляді:

х² = –3х + 2,5,

Знайдемо абсциси точок перетину параболі

у = х²

і прямої

у = –3х + 2,5.

Наближені значення коренів:

–3,7 і 0,7.

Графічний спосіб розв’язування зведених квадратних рівнянь має ту перевагу, що, використовуючи одну й ту саму параболу, можна розв’язати велику кількість рівнянь.

ПРИКЛАД:

Розв'язати графічно рівняння:

х² – х – 2 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Рівняння доцільно переписати як

х² = х + 2.

Тепер рішення рівняння може бути зведене до знаходження абсцис точок перетину графіків функцій у = х² і у = х + 2.
На малюнку побудовані в одній системі координат графіки функцій у = х² і у = х + 2. Визначимо абсциси точок А і В перетину цих графіків.

х_А = –1, х_В = 2.

Таким чином, задане рівняння має два корені –1, 2.

Побудова графіків за допомогою квадратних рівнянь.

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Областю визначення функції є всі дійсні числа, крім 0 і 2.

= 5(х – 0,2) – (х – 3) =

= 5х – 1 – х + 3 = 4х + 2.

Графік функції зображено на рисунку.

Це пряма без точок (2; 10) і (0; 2).

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Областю визначення функції є всі дійсні числа, крім 0 і –1.

= 5(х – 0,2) – (х – 3) =

= 5х – 1 – х + 3 = 4х + 2.

Графік функції зображено на рисунку.

Це пряма без точок (–1; –2) і (0; 2).

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:

Користуючись графіком, знайдіть проміжки зростання і проміжки спадання функції.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графік функції складається з частин гіперболи у = ²/_х для х < –2 і х ˃ 1, та частини параболи у = 3 – х для –2 ≤ х ≤ 1.
Функція спадає на проміжках (–∞; –2] і [0; +∞) і зростає на проміжку [–2; 0).

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:

Користуючись графіком, знайдіть проміжки зростання і проміжки спадання функції.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графік функції складається з частини гіперболи у =– ⁶/_х для х < –2, частини параболи у = х² – 1 для –2 ≤ х ≤ 2 і частини гіперболи у = ⁶/_х для х ˃ 2.
Функція спадає на проміжках [–2; 0] і [2; +∞) і зростає на проміжках (–∞; –2] і [0; +∞).

ПРИКЛАД:

Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків функцій

у = ⁴/_х і у = х – 3.

Накресліть графіки даних функцій і позначте знайдені точки.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Координати точок перетину знайдемо із системи:

Звідси: х – 3 = ⁴/_х,

х(х – 3) = 4,

х² – 3х – 4 = 0,

х₁ = –1, х₂ = 4,

у₁ = –4, у₂ = 1.

ВІДПОВІДЬ: (–1; –4), (4; 1)

ПРИКЛАД:

Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків функцій

у = ⁸/_х і у = х + 2.

Накресліть графіки даних функцій і позначте знайдені точки.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Координати точок перетину знайдемо із системи:

Отже

х + 2 = ⁸/_х,

х(х + 2) = 8,

х² + 2х – 8 = 0,

х₁ = –4, х₂ = 2,

у₁ = –2, у₂ = 4.

ВІДПОВІДЬ: (–4; –2), (2; 4)

ПРИКЛАД:

Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків функцій

у = ⁶/_х і у = 5 – х.

Накресліть графіки даних функцій і позначте знайдені точки.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Координати точок перетину знайдемо із системи:

Отже

5 – х = ⁶/_х,

х(5 – х) = 6,

х² – 5х + 6 = 0,

х₁ = 2, х₂ = 3,

у₁ = 3, у₂ = 2.

ВІДПОВІДЬ: (2; 3), (3; 2)

ПРИКЛАД:

Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків функцій

у = ⁸/_х і у = 6 – х.

Накресліть графіки даних функцій і позначте знайдені точки.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Координати точок перетину знайдемо із системи:

Звідки:

6 – х = ⁸/_х,

х(6 – х) = 8,

х² – 6х + 8 = 0,

х₁ = 2, х₂ = 4,

у₁ = 4, у₂ = 2.

ВІДПОВІДЬ: (2; 4), (4; 2).

Завдання до уроку 22

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

суббота, 17 сентября 2016 г.