воскресенье, 23 октября 2016 г.

Урок 27. Рівняння кола

Від графіків функцій бажано відрізняти графіки рівнянь. Рівнянням фігури на площини  в декартових координатах називається рівняння з двома змінними  х  і  у, яке задовольняють координати будь-якої точки фігури. І навпаки: будь-які два числа, що задовольняють це рівняння, є координатами деякої точки фігури.

Кожне рівняння з двома змінними  х  і  у  визначає кілька пар  (х; у)  значень змінних, які є рішеннями цього рівняння, тобто ставить деяке відношення між значеннями змінної  х  і значеннями змінної  у. Графік відносини, заданого рівнянням із двома змінними, або, коротше, графік рівняння із двома змінними, є, як відомо, безліч точок площини, координати яких є рішеннями рівняння. Ми знаємо, що графіком рівняння виду

ax + by = c, де  a ≠ 0  або  b ≠ 0,

служить пряма лінія, графік рівняння виду 

y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)  

парабола, графік рівняння виду 

xy = k

гіперболу.

На малюнку зображено графік рівняння 

х2 + 9у2 = 81.

Крива такого виду називається еліпсом.
Графіком рівняння

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

є коло на координатній площині  хОу  з центром у точці  О’(a; b)  та радіусом  r (r > 0).
Складемо рівняння кола з центром у точці  А0(а; b)  і радіусом  R.
Візьмемо довільну точку  А(х; у)  на колі. Відстань від неї до центра  А0  дорівнює  R. Квадрат відстані від точки  А  до  А0  дорівнює:

 (х – a)2 + (у – b)2.

 Таким чином, координати  х, у  кожної точки  А  кола задовольняють рівняння:

(х – a)2 + (у – b)2 = R2.

Навпаки: будь-яка точка  А, координати якої задовольняють рівняння, належить колу, оскільки відстань від неї до точки  А0  дорівнює  R. Звідси випливає, що рівняння справді є рівнянням кола є центром  А0  і радіусом  R.
Зауважимо, що коли центром кола є початок координат, то рівняння кола має вигляд:

х2 + у2 = R2.

ПРИКЛАД:

Яку геометричну фігуру задано рівнянням:

 х2 + у2 + ах + bу + с = 0.
РОЗВ’ЯЗАННЯ:
Бачимо, що шукана фігура – коло з центром  

ПРИКЛАД:

Побудувати графік рівняння:

х2 + у2 = 16.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перепишемо рівняння у вигляді

(х – 0)2 + (у – 0)2 = 42.

Графіком цього рівняння є коло з центром у точці  О(0; 0)  та радіусом  4.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік рівняння:

(х – 1)2 + (у – 2)2 = 9.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перепишемо рівняння у вигляді

(х – 1)2 + (у – 2)2 = 32.

Графіком цього рівняння є коло з центром у точці  (1; 2)  та радіусом  3.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік рівняння:

х2 + у2 + 4х = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перепишемо рівняння у вигляді

х2 + 4х + 4 + у2 = 4,

(х + 2)2 + у2 = 4,

(х – (–2))2 + (у – 0)2 = 22,

Графіком цього рівняння є коло з центром у точці  (–2; 0)  та радіусом  2.

ПРИКЛАД:

На координатній площині зображено коло радіуса  r = 5  з центрам у початку координат. Рівняння цього кола:

 х2 + у2 = 25.

 Можна сказати і так: графіком рівняння 

х2 + у2 = 25 

є коло, зображене на малюнку.
А чи можна графік рівняння 

х2 + у2 = 25 

вважати графіком деякої функції ? Ні. Бо якщо змінні  х  і  у  зв’язані співвідношенням 

х2 + у2 = 25,

то одному значенню  х = 3  відповідає два різних значення змінної  у: 4  і  –4. А відповідність між змінними  х  і  у  тільки тоді вважають функцією, коли кожному значенню  х  з області визначення відповідає єдине значення  у. Графік рівняння тільки тоді є графіком деякої функції, якщо кожна пряма, паралельна осі  у, перетинає його не більш ніж в одній точці.
ПРИКЛАД:

 Зображені на малюнку півкола – графіки функцій
Їх об’єднання – все коло – графік не функції, а рівняння  

 у2 = 25 – х2, або
у2 + х2 = 25.

ПРИКЛАД:

Складіть рівняння кола, діаметром якого є відрізок  CD, якщо 

C(–3; 3), D(1; 7).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
О(–1; 5).

СО2 = (–1 + 3)2 + (5 – 3)2 = 8.

(х + 1)2 + (у – 5)2 = 8.
ПРИКЛАД:

Запишіть рівняння кола з центром у точці

О(2; –1)

та радіусом, що дорівнює  3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

(х – 2)2 + (у – (–1))2 = 32,

(х – 2)2 + (у + 1)2 = 9.

ПРИКЛАД:

Складіть рівняння кола, діаметром якого є відрізок  МК, якщо 

М(–3; 4), К(5; 10).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

О(хо; у0).
О(1; 7).
СО2 = (–1 + 3)2 + (5 – 3)2 = 8.

(х – 1)2 + (у – 7)2 = 25.

ПРИКЛАД:

Дано рівняння кола

(х + 7)2 + (у – 4)2 = 16,

Чому дорівнює радіус кола ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

(х + 7)2 + (у – 4)2 = 42, R = 4.

ПРИКЛАД:

Укажіть рівняння кола, зображеного на рисунку.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

О(2; –2),  R = 2, тому

(х – 2)2 + (у – (–2))2 = 22,

(х – 2)2 + (у + 2)2 = 4.

Завдання до уроку 27
Інші уроки:
Автор: на

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)