вторник, 23 августа 2016 г.

Урок 16. Системи трьох лінійних рівнянь з трьомя невідомими

Системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими мають вигляд:
Де  a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, r, s –  задані числа;  x, y, z – невідомі. Числа  a, b, c, e, f, g, p, q, rкоефіцієнти при невідомих; d, h, sвільні члени.

Нормальний вид рівняння першого ступеня з трьома невідомими.

Якщо в рівнянні  1-ої  міри з  3  невідомими х, у  і  z, зробити певні перетворення, то ми приведемо рівняння до такого виду (що називається нормальним), при якому в лівій частині рівняння знаходяться тільки три члени: один з  х, інший з  у  і третій з  z, а в правій частині буде один член, не містить невідомий.

ПРИКЛАД:

Рівняння:

5х – 3у – 4z = –12.

Загальний вигляд його наступний:

ах + by + cz = d,
де  а, b, с  і  d  які-небудь відносні числа.

Невизначеність двох і одного рівняння з трьома невідомими.

ПРИКЛАД:

Припустимо, нам дана система  2  рівнянь з  3  невідомими:
Призначимо одному невідомому, наприклад  z, яке-небудь довільне число, припустимо  1, і підставимо це число на місце  z:
Ми отримали таким чином систему  2  рівнянь з  2  невідомими. Вирішивши її яким-небудь способом, знайдемо:  

х = 2, у = 3;

значить, ця система з  3  невідомими задовольняється при

х = 2;  у = 3;  z =1.

Дамо тепер невідомому z  яке-небудь інше значення, наприклад  z = 0, і підставимо це значення в цю систему рівнянь, отримаємо:
Ми знову отримаємо систему  2  рівнянь з  2  невідомими. Вирішивши її яким-небудь способом, знайдемо:

х = 20/11 = 19/11;  у = 24/11.

Значить, ця система задовольняється при:

х = 19/11.  у = 24/11z = 0.

Призначивши для  z  ще яке-небудь (третє) значення, ми знову отримаємо систему  2  рівнянь з  2  невідомими, з якої знайдемо нові значення для  х  і  у. Оскільки для  z  ми можемо призначати скільки завгодно різних чисел, то і для  х  і  у  можемо отримати скільки завгодно значень (що відповідають узятим значенням  z). Значить, 2  рівняння з  3  невідомими допускають незліченну безліч рішень; іншими словами, така система невизначена.

Ще більша невизначеність буде, якщо є всього  1  рівняння c  3  невідомим. Тоді можна буде для яких-небудь  2  невідомих призначити довільні числа; третє ж невідоме знайдеться з цього рівняння, якщо підставити в нього значення, узяті довільно для двох невідомих.
Для того, щоб можна було знайти певні чисельні значення для трьох невідомих  х, у  і  z, необхідно, щоб була задана система  3  рівнянь. Така система може бути вирішена способом підстановки, а також і способом складання або віднімання рівнянь. Покажемо застосування цих способів на наступному прикладі (кожне рівняння заздалегідь приведене до нормального виду):

Спосіб підстановки. 

ПРИКЛАД:
 

З якого-небудь рівняння, наприклад з першого, визначимо одно невідоме, наприклад  х, як функцію від двох інших невідомих:

Оскільки в усіх рівняннях  х  означає одно і те ж число, то ми можемо підставити знайдене вираження на місце  х  в інші рівняння:
Ми приходимо таким чином до системи  2  рівнянь з  2  невідомими  у  і  z. Вирішивши цю систему по якому-небудь із способів, вказаних раніше, знайдемо чисельні значення для  у  і  z. У нашому прикладі це будуть значення: 

у = 3, z = 2

підставивши ці числа у вираження, виведене нами для  х, знайдемо і це невідоме:
Таким чином, запропонована система має рішення 

х = 1, у = 3, z = 2. 

(у чому можна переконатися перевіркою).

Спосіб складання або віднімання.

З  3  цих рівнянь візьмемо які-небудь два, напр. 1-і  і  2-і, і, зрівнявши в них коефіцієнти перед одним невідомим, напр., перед  z, виключимо з них це невідоме способом складання або віднімання; від цього отримаємо одно рівняння c  2  невідомими  х  і  у. Потім, візьмемо які-небудь два інші рівняння з  3  даних, напр. 1 і  3  (чи  2 і  3), і тим же способом виключимо з них те ж невідоме т. е. z; від цього отримаємо ще одно рівняння з  х  і  у:
Вирішимо два рівняння, що вийшли: 

x = 1, у = 3.

Вставимо ці числа  в одно з трьох цих рівнянь, наприклад, в перше:

3 × 1 – 2 × 3 + 5z = 7;
5z = 7 – 3 + 6 = 10;  
z = 2.

Зауваження. 

Тими ж двома способами ми можемо привести систему  4  рівнянь з  4  невідомими до системи  3  рівнянь з  3  невідомими (а цю систему до системи  2  рівнянь з  2  невідомими і т. д.). Взагалі систему  m  рівнянь з  m  невідомими ми можемо привести до системи  m – 1  рівнянь з  m – 1  невідомими (а цю систему до системи  m – 2  рівнянь з  m – 2  невідомими і т. д.).

Деякі особливі випадки систем рівнянь.

Випадок, коли не усі невідомі входять в кожне з цих рівнянь.

ПРИКЛАД:
В цьому випадку система вирішується швидше, ніж звичайно, оскільки в деяких рівняннях вже виключені ті або інші невідомі. Потрібно тільки зміркувати, які невідомі і з яких рівнянь слід виключити, щоб можливо швидше дійти до одного рівняння з одним невідомим. У нашому прикладі, виключивши  z  з  1-го  і  3-го рівнянь і  v  з  2-го  і  1-го, отримаємо  2  рівняння з  х  і  у:
Вирішивши  ці  рівняння, знайдемо:

х = 0,   y = 1/3.

Тепер вставимо ці числа в  2-і  і  3-і  рівняння, тоді отримаємо:

v = 3/2 ,   z = 16/9 = 17/9.

Випадок, коли корисно усі ці рівняння скласти.

ПРИКЛАД:
Склавши усі три рівняння, знайдемо:
Віднявши з останнього рівняння кожне з даних, отримаємо:
ПРИКЛАД:

Вирішити систему рівнянь:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

При рішенні систем лінійних рівнянь зручно користуватися методом Гауса, який полягає в перетворенні системи до трикутного виду.
Множимо перше рівняння системи на  –2  і, складаючи отриманий результат з другим рівнянням, отримуємо

3у + 6z = –3.

Це рівняння можна переписати у виді

у 2z = 1.

Складаючи перше рівняння з третім, отримуємо  7у = 7, або  у = 1.
Таким чином, система набула трикутного вигляду:
Підставляючи  у = 1  в друге рівняння, знаходимо  z = 0. Підставляючи  у = 1  і  z = 0  в перше рівняння, знаходимо  х = 1.

ВІДПОВІДЬ:  (1; 1; 0)

ПРИКЛАД:

Розв'язати систему рівнянь:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Застосуємо метод підстановки. Виразимо з першого рівняння  х  через  у  і  z  і підставимо результат другого і третього рівняння системи.
Останні два рівняння отриманої системи у свою чергу утворюють систему двох рівнянь із двома невідомими. Вирішимо цю систему методом підстановки.
З рівняння

z2 – 4z + 3 = 0

знаходимо

z1 = 1, z2 = 3.

З рівняння  у = z – 3  отримуємо відповідно

у1 = –2, у2 = 0,

а з рівняння  х = 2 – у –  знаходимо

х1 = 3, х2 = –1.

Отримали два рішення вихідної системи:

(3; –2; 1)  і  (–1; 0; 3).

Завдання до уроку 16
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий