Урок 14. Рішення лінійних систем рівнянь за допомогою графіків

четверг, 20 октября 2016 г.

Урок 14. Рішення лінійних систем рівнянь за допомогою графіків

Для того щоб графічно вирішити систему двох рівнянь із двома змінними, потрібно в одній системі координат побудувати графіки рівнянь. Графічне рішення системи лінійних рівнянь із двома змінними зводиться до пошуку координат загальних точок двох прямих ліній. Як відомо, дві прямі на площині можуть бути паралельними або такими, що перетинаються. У разі паралельності прямі або мають спільних точок, або збігаються. Якщо кутові коефіцієнти прямих, які є графіками рівнянь системи, різні, то прямі перетинаються. Координати точки їх перетину є рішенням цієї системи, і до того ж єдиним.

Системі двох рівнянь першого ступеня із двома невідомими в декартовій системі координат відповідає пара прямих. Оскільки дві прямі на площині можуть перетинатися, збігатися чи бути паралельними, те й відповідна їм система рівнянь може мати одне рішення, нескінченну кількість розв'язків або жодного. Вирішити систему рівнянь із двома невідомими можна графічно.

ПРИКЛАД:

Нехай потрібно вирішити систему рівнянь:

Побудуємо у координатній площині графіки рівнянь системи. Графіком першого рівняння є пряма АВ, а графіком другого – пряма СD.
Координати будь-якої точки прямої АВ є рішенням рівняння

2х + 3y = 5,

а координати будь-якої точки прямої СD є рішенням рівнянн

3x – y = –9.

Координати точки перетину прямих задовольняють як першому рівнянню, і другому, т. е. є рішенням системи. Графіки перетинаються у точці К(–2; 3). Отже, система має єдине рішення:

х = –2; у = 3.

Застосований нами спосіб розв'язання системи рівнянь називається графічним. Зауважимо, що графічний спосіб зазвичай дозволяє знаходити рішення лише приблизно.

Розглянемо системи двох лінійних рівнянь із двома змінними, у кожному з яких хоча б один із коефіцієнтів при змінних відмінний від нуля. З'ясуємо, чи завжди така система має рішення і якщо має, скільки. Графіки рівнянь системи є прямі. Якщо ці прямі перетинаються, система має єдине рішення; якщо прямі паралельні, система не має рішень; якщо прямі збігаються, то рішень нескінченно багато.

ПРИКЛАД:

З'ясуємо, скільки рішень має система рівнянь:

Розглянемо, яке взаємне розташування графіків рівнянь цієї системи. І тому висловимо з кожного рівняння цієї системи. Для цього висловимо з кожного рівняння через х, отримаємо:

Рівняннями

у = –1,1х + 12,

у = –6x + 18

задаються лінійні функції. Кутові коефіцієнти прямих, є графіками цих функцій, різні. Отже, ці прямі перетинаються, і система має єдине рішення.

ПРИКЛАД:

Розглянемо, скільки розв'язків має система рівнянь:

З кожного рівняння системи виразимо у через х:

Прямі, що є графіками лінійних функцій

у = –0,4х + 0,15

у = –0,4x + 3,2

паралельні, тому що їх кутові коефіцієнти однакові, а точки перетину з віссю у різні. Звідси випливає, що ця система рівнянь немає рішень.

ПРИКЛАД:

З'ясуємо, скільки рішень має система рівнянь:

З кожного рівняння системи виразимо у через х:

Очевидно, що графіки рівнянь збігаються. Це означає, що кожна пара чисел (х; у), у якій х – довільне число, а у = –2,5x – 9, є рішенням системи. Система має безліч рішень.

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть графічно систему рівнянь:

Для цього побудуємо на одній координатній площині графіки обох її рівнянь.

Координати кожної точки прямої, яка є графіком рівняння

х + 3у = 9

задовольняють це рівняння.

Координати кожної точки прямої, яка є графіком рівняння

2х – у = 4

задовольняють це рівняння.

Побудовані графіки перетинаються в точці А(3; 2). Тому пара чисел (3; 2) – єдиний розв'язок даної системи рівнянь.

Графічним способом звичайно знаходять наближені розв'язки. Але підставивши значення х = 3 і у = 2 в дану систему рівнянь, переконуємось, що (3; 2) – точний розв'язок.

Чи кожна система двох рівнянь має тільки один розв'язок ? Ні.

ПРИКЛАД:

Система рівнянь:

Має безліч розв'язків. Адже графіки обох цих рівнянь – одна й та сама пряма. Отже, координати кожної точки цієї прямої, наприклад,

(–2; –6), (–1; –4,5), (0; –3), (1; –1,5), (2; 0), …

– розв'язок даної системи рівнянь.

Є й такі системи рівнянь, які не мають жодного розв'язку. Графіки таких рівнянь – паралельні прямі.

ПРИКЛАД:

Розважить систему рівнянь: