Урок 24. Квадратні рівняння з параметрами

Нехай дано рівність зі змінними  х, а:

f(x; a) = 0.

Якщо ставиться завдання для кожного дійсного значення а розв'язати це рівняння щодо  х, то рівняння  f(x; a) = 0  називають рівнянням зі змінною  х  та параметром  а.

Розв'язати рівняння з параметром  а – отже, для кожного значення  а, знайти значення  х, які відповідають цьому рівнянню.

Розв’язання квадратного рівняння з параметром слід розпочинати із запитання  << А чи є рівняння квадратним ? >>. Якщо коефіцієнт біля  х²  може набувати нульового значення, то рівняння 

aх² + bx + c = 0 

перетвориться в лінійне рівняння 

bx + c = 0.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння  

aх² + 2x + 1 = 0.

Якщо  a ≠ 0, то обчислимо: 

D = 4 – 4a = 4(1 – a),

Якщо  a > 1, то 

D < 0  і  x ∈ ∅.

Якщо  a = 1, то

Якщо  a < 1, то  

D > 0  і

ВІДПОВІДЬ: 

Якщо  a > 1, то  x ∈ ∅.

Якщо  a = 1, то  D = 0  і  x = –1.

Якщо  a ∈ (–∞) ∪ (0; 1), то

Якщо  a ∈ (1; +∞), то  x ∈ ∅.  

ПРИКЛАД:

При якому значенні  k  рівняння

kx² + 12x – 3 = 0

має корінь, що дорівнює  ¹/₅ ?

ПРИКЛАД:

При якому значенні  а  рівняння

аx² + 4x + 1 = 0

має два однакові корені ?

Рівняння має два однакові корені за умови, що його дискримінант дорівнює нулю. В нашому випадку 

4² – 4 × 1 × а = 0,

звідки  а = 4.   

ПРИКЛАД:

При яких значеннях  а  рівняння не має коренів ?                   

x² + 5aх + 5а = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Дане рівняння не має коренів, якщо його дискримінант від’ємний.

x² + 5aх + 5а = 0,

D = (5а)² – 4∙5a = 25а² – 20а =

= 5а(5а – 4) < 0, а ∈ (0; 0,8).

ПРИКЛАД:

При яких значеннях  с  рівняння не має коренів ?

x² + сх + 25 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Дане рівняння не має коренів, якщо його дискримінант від’ємний.

x² + сх + 25 = 0,

D = с² – 4∙25 = с² – 100 < 0,

(с – 10)(с + 10) < 0, с ∈ (–10; 10).

ПРИКЛАД:

При яких значеннях  а  рівняння не має коренів ?                   

x² + 2ах + 7а = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Дане рівняння не має коренів, якщо його дискримінант від’ємний.

x² + 2ах + 7а = 0,

D = (2а)² – 4∙7a = 4а² – 28а =

= 4а(а – 7) < 0, а ∈ (0; 7).

ПРИКЛАД:

При яких значеннях  а  рівняння не має коренів ?                   

x² – х + а – 5 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Дане рівняння не має коренів, якщо його дискримінант від’ємний.

x² – х + а – 5 = 0,

D = (–1)² – 4(а – 5) = 1 –  4а + 20 =

= 21 – 4а < 0, 4а > 21, а > 5,25,

а ∈ (5,25; +∞).

ПРИКЛАД:

При яких значеннях  b  рівняння має два різні корені ?                   

x² + bx + 49 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Дане рівняння матиме два різні корені, коли його дискримінант буде додатним.

x² + bx + 49 = 0,

D = b² – 4∙49 = b² – 196 > 0,

(b – 14)(b + 14) > 0,

b ∈ (–∞; –14) ∪ (14; +∞).

ПРИКЛАД:

При яких значеннях  b  рівняння не має коренів ?                    

5x² + bх + 20 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Дане рівняння не має коренів, якщо його дискримінант від’ємний.

5x² + bх + 20 = 0,

D = b² – 4∙5∙20 = b² – 400 < 0,

(b – 20)(b + 20) > 0,

b ∈ (–20; 20).

ПРИКЛАД:

Число  –3  є коренем рівняння

x² + bх – 12 = 0.

Знайдіть інший корінь рівняння.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З теореми Вієта

х₁ ∙ х₂ = –12, –3х₂ = –12, х₂ = 4.

ПРИКЛАД:

Число  –3  є коренем рівняння

3x² + 2х + с = 0.

Знайдіть інший корінь рівняння.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки число  –3  є коренем, то воно задовольняє рівняння:

3 ∙ (–3)² + 2 ∙ (–3) + с = 0,

27 – 6 + с = 0, с = –21.

Рівняння:

3x² + 2х – 21 = 0,

(3х – 7)(х + 3) = 0,

х₁ = –3,  х₂ = 2¹/₃.

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

(а –1)x² + 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Особливо виділимо значення параметра  а = 1. Справа в тому, що при  а = 1  дане рівняння не є квадратним, а при  а ≠ 1  воно квадратне.

Вирішувати рівняння у кожному з цих випадків треба по-своєму. При  а = 1  рівняння набуває вигляду  6х + 7 = 0, звідки знаходимо

х = –⁷/₆.

Якщо  а ≠ 1  для квадратного рівняння виділимо ті значення параметра, при яких дискримінант рівняння обертається в нуль.

Маємо:

D/₄ = 5а + 4.

Значить,

а = –⁴/_5.

значення параметра, на яке нам треба звернути увагу.

Якщо

а < –⁴/_5,   D < 0

і, отже, рівняння немає дійсних коренів.

Якщо

а > –⁴/₅  і  а ≠ 1, то  D > 0  ми отримуємо:

Якщо

а = –⁴/₅, то  D = 0.

Отримуємо:

Якщо

а = –⁴/₅, то  D = 0.

Отримуємо:

Отже,

якщо  а < –⁴/₅  то дійсних коренів немає,

якщо  а = 1, то  х = –⁷/₆,

якщо  а = –⁴/₅, то  х = –¹/₃,

якщо  а > –⁴/₅  и  а ≠ 1, то

ПРИКЛАД:

При якому значенні параметра а рівняння

х² + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0

має два різні негативні корені.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки рівняння повинно мати два дійсні корені  х₁  і  х₂, його дискримінант повинен бути позитивним. Маємо:

D = 4(а + 1)² – 4(9а – 5) =

= 4а² – 28а + 24 = 4(а – 1)(а – 6).

Значить має виконуватися нерівність:

4(а – 1)(а – 6) ˃ 0.

За теоремою Вієта для заданого рівняння маємо:

х₁  + х₂ = –2(а + 1),

х₁ х₂ = 9а – 5.

Оскільки, за умовою,

х₁ < 0  і  х₂ < 0, то

–2(а + 1) < 0  і  9а – 5 > 0.

У результаті приходимо до системи нерівностей:

З першої нерівності системи знаходимо  а < 1, а > 6.

З другої нерівності знаходимо  а > –1.

З третьої нерівності знаходимо   а > ⁵/₉.

За допомогою координатної прямої

знаходимо, що або  ⁵/₉ < а < 1, або  а > 6.

Завдання до уроку 24

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Лінійне рівняння з одним невідомим і цілими вільними членами
• Урок 2. Лінійне рівняння з одним невідомим і дрібними вільними членами
• Урок 3. Застосування правил визначення невідомого доданка, зменшуваного і від'ємника для розв'язання задач
• Урок 4. Застосування правил визначення невідомого множника для розв'язання задач
• Урок 5. Розв'язування рівнянь, що зводяться до лінійних
• Урок 6. Розв'язування рівнянь із змінною в знаменнику
• Урок 7. Застосування правил визначення діленого і дільника для розв'язання задач
• Урок 8. Лінійне рівняння з двома невідомими
• Урок 9. Рішення лінійних рівнянь за допомогою графіків
• Урок 10. Лінійне рівняння з параметром
• Урок 11. Системи двох рівнянь першого степеня з двома невідомими
• Урок 12. Розв'язання систем рівнянь способом підстановки
• Урок 13. Розв'язання систем рівнянь способом алгебраїчного додавання
• Урок 14. Рішення лінійних систем рівнянь за допомогою графіків
• Урок 15. Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь
• Урок 16. Системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими
• Урок 17. Повне квадратне рівняння загального вигляду
• Урок 18. Зведене квадратне рівняння
• Урок 19. Теорема Вієта
• Урок 20. Неповні квадратні рівняння
• Урок 21. Розв'язання квадратного рівняння способом виділення квадрата двочлена
• Урок 22. Графічний спосіб розв'язування квадратних рівнянь
• Урок 23. Квадратний тричлен
• Урок 25. Дробові раціональні рівняння
• Урок 26. Задачі на складання квадратних рівнянь
• Урок 27. Рівняння кола
• Урок 28. Системи рівнянь другого степеня є двома невідомими
• Урок 29. Розв'язування задач за допомогою систем рівнянь другого степеня
• Урок 30. Перетин прямої з колом
• Урок 31. Рішення нелінійних систем рівнянь за допомогою графіків
• Урок 32. Системи рівнянь з параметрами
• Урок 33. Рівняння вищих степенів
• Урок 34. Розв'язання рівнянь способом заміни
• Урок 35. Розв'язання систем рівнянь способом заміни
• Урок 36. Задачі на знаходження чисел
• Урок 37. Задачі на знаходження цифр
• Урок 38. Рішення задач на змішування за допомогою рівнянь
• Урок 39. Рішення задач на змішування за допомогою систем рівнянь
• Урок 40. Ірраціональні рівняння