Урок 2. Лінійне рівняння з одним невідомим і дрібними вільними членами

вторник, 16 февраля 2016 г.

Урок 2. Лінійне рівняння з одним невідомим і дрібними вільними членами

Рівняння, у якому коефіцієнти всіх чи деяких членів – дробові числа, можна замінити рівносильним до нього рівнянням з цілими коефіцієнтами (для цього обидві частини рівняння треба помножити на найменше спільне кратне знаменників дробових коефіцієнтів).

ПРИКЛАД:

Рівняння

Після множення обох його частин на 14 набуде вигляду

(5х – 4) × 7 = (16х + 1) × 2;

35х – 28 = 32х + 2.

Легко переконатися в тому, що перше і останнє рівняння задовольняються тільки при х = 10.

Загальна схема розв’язання рівнянь першого степеня.

ПРИКЛАД:

Нехай треба розв’язати рівняння.

Помножимо всі члени на найменше спільне кратне знаменників, що дорівнює 12. Після скорочення одержимо:

4(х – 4) + 6(х + 1) – 12

= 30(х – 3) + 24х – 2(11х + 43).

Щоб відділити члени, що містять невідоме, і вільні члени, розкриємо дужки:

4х – 16 + 6х + 6 –12

= 30х – 90 + 24х – 22х – 86.

Згрупуємо в одній частині члени, що містять невідомі, а в другій – вільні члени:

4х + 6х – 30х – 24х + 22х

= –90 – 86 + 16 – 6 + 12.

Зведемо подібні члени:

–22х = –154.

Поділимо обидві частини на –22. Одержимо:

х = 7.

Як бачимо, корінь можна розв’язувати за такою схемою:

– звести рівняння до цілого вигляду;

– розкрити дужки;

– згрупувати члени, що містять невідоме, в одній частині рівняння, а вільні члени – в іншій;

– звести подібні члени;

– розв’язати рівняння вигляду ах = b, яку одержали після зведення подібних членів.

Однак ця схема не обов’язкова для будь-якого рівняння. По-перше, при розв’язанні багатьох простіших рівнянь доводиться починати не з першого, а с другого, третього і навіть п’ятого етапу. По-друге, деякі проміжні етапи можуть виявитись непотрібними. По-третє, іноді буває вигідніше для простоти розв’язання порушити порядок, вказаний схемою.

ПРИКЛАД:

Розв’яжемо рівняння

0,1х = –8.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Наведемо рівняння до цілого виду поділивши обидві частини рівняння на 0,1, матимемо, що

х = –8 : 0,1,

х = – 80.

Той самий результат можна дістати, якщо помножити обидві частини рівняння на 10.

ПРИКЛАД:

Знайдіть значення змінної х, при якому значення виразу

2х – 5 і 2 – 1,5х

рівні.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

2х – 5 = 2 – 1,5х,

3,5х = 7, х = 2.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

4(х – 1,5) = 6.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

4(х – 1,5) = 6,

4х – 6 = 6,

4х = 12, 4х = 3.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Наведемо рівняння до цілого виду.

Це рівняння рівносильне рівнянню

х – 1 = 6х

(обидві частини першого рівняння помножили на 3).

х – 1 = 6х,

5х = –1,

х = –0,2.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Наведемо рівняння до цілого виду.

Помножимо ліву та праву частини на 4, отримаємо

3х = 48.

Розділимо ліву та праву частину рівняння на 3:

х = 16.

ВІДПОВІДЬ: х = 16

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Помножимо всі члени на найменше загальне кратне знаменників, яке дорівнює 6.
Після скорочення отримаємо:

3(х – 1) = 2(2х + 4).

Розкриємо дужки:

3х – 3 = 4х + 8.

Згрупуємо в одній частині члени, які містять невідомі, а в іншій – вільні члени:

3х – 4х = 8 + 3.

Наведемо подобні членів:

– х = 11, х = –11.

ВІДПОВІДЬ: –11

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Помножимо всі члени на найменше загальне кратне знаменників, яке дорівнює 15.
Після скорочення отримаємо:

5(5х – 1) – 3(2х + 3) = 15.

Розкриємо дужки:

25х – 5 – 6х – 9 = 15.

Згрупуємо в одній частині члени, які містять невідомі, а в іншій – вільні члени:

25х – 6х = 15 + 5 + 9.

Наведемо подобні членів:

19х = 29,

х = ²⁹/₁₉ = 1¹⁰/₁₉.

ВІДПОВІДЬ: 1¹⁰/₁₉

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Помножимо всі члени на найменше загальне кратне знаменників, яке дорівнює 12.
Після скорочення отримаємо:

3(3х – 4) = 4 ∙ 7х + 24.

Розкриємо дужки:

9х – 12 = 28х + 24.

Згрупуємо в одній частині члени, які містять невідомі, а в іншій – вільні члени:

9х – 28х = 24 + 12.

Наведемо подобні членів:

–19х = 36,

х = –³⁶/₁₉ = –1¹⁷/₁₉.

ВІДПОВІДЬ: –1¹⁷/₁₉

Завдання до уроку 2

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

вторник, 16 февраля 2016 г.