Урок 33. Рівняння вищих степенів

среда, 7 декабря 2016 г.

Урок 33. Рівняння вищих степенів

Рівнянням вищого степеня називають кожне алгебраїчне рівняння степеня вищого за другий, тобто рівняння вигляду

a₀хⁿ + a₁x^n-1 + …+ a_n-1x + a_n = 0.

Властивості рівнянь вищих степенів.

– будь-яке алгебраїчне рівняння n-го степеня в множині чисел має n коренів, серед яких можуть бути і такі, що дорівнюють один одному;

– будь-який многочлен n-го степеня в множині чисел може бути представлений, і притому єдиним способом, у вигляді добутку двочленів першого степеня;

– будь-яке рівняння з дійсними коефіцієнтами має парне число уявних коренів, попарно спряжених;

– якщо всі коефіцієнти рівняння цілі і коефіцієнт при х_n дорівнює 1, то раціональними коренями можуть бути тільки цілі числа;

– цілі корені рівняння з цілими коефіцієнти є дільниками вільного члена.

У деяких випадках, використовуючи викладені властивості, можна легко розв'язати рівняння вищих степенів з цілими коефіцієнтами.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

х³ – 6х² + 11х – 6 = 0.

Оскільки рівняння має цілі коефіцієнти і коефіцієнт при х³ дорівнює одиниці, то цілими коренями можуть бути тільки дільники вільного члена, тобто

1; 2; 3; –1; –2; –3; 6: –6.

Поданим ліву частину у вигляді добутку:

х³ – х²– 5х² + 5х + 6х – 6

= х²(х – 1) – 5х(х – 1) + 6(х – 1)

(х – 1)(х²– 5х + 6).

Квадратний тричлен легко розкладається на множники, отже дане рівняння рівносильне до

(х – 1)(х – 2)(х – 3) = 0.

Звідси одержуємо, що корені даного рівняння будуть

1; 2; 3.

Деякі алгебраїчні рівняння вищих степенів можна розв'язати, звівши їх до квадратного.

Рівняння, ліва частина яких розкладається на множники, а права є нулем.

Буває, що можна розкласти ліву частину рівняння на множники, з яких кожний не вище другого степеня. Тоді прирівнюємо до нуля кожний многочлен зокрема і розв'язуємо одержані рівняння. Знайдені корені будуть коренями вихідного рівняння.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

х³ + 3х² – 10х = 0.

Ліва частина легко розкладається на множники

х і х² + 3х – 10

і, отже, досить розв'язати два рівняння

х = 0 і х² + 3х – 10 = 0,

з яких знаходимо три розв'язки:

х₁ = 0; х₂ = 2; х₃ = –5.

Ефективність розв'язання рівнянь таким способом залежить від уміння розкласти ліву частину рівняння на множники. Проілюструємо це на прикладах.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

х³ + 6 = 7х.

х³ – 7х + 6 = 0;

х³ – х – 6х + 6 = 0;

(х³ – х) – (6х – 6) = 0;

х(х² – 1) – 6(х – 1) = 0;

х(х – 1)(х + 1) – 6(х – 1) = 0;

(х – 1)[x(х + 1) – 6] = 0;

(х – 1)(х² + х – 6) = 0.

Тоді

х – 1 = 0,

х² + х – 6 = 0.

Отже,

х₁ = 1; х₂ = 2; х₃ = –3.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

х⁴+ 2х³ – 13х² – 14х + 24 = 0.

(х⁴+ х³ – 12х²) + (х³ + х²– 12х) + (– 2х²– 2х + 24) = 0.

х² (х²+ х – 12) + х(х² + х– 12) – 2(х²+ х – 12) = 0.

(х²+ х – 12) (х²+ х – 2) = 0.

Тоді

х²+ х – 12 = 0,

х²+ х – 2 = 0.

х₁ = 3; х₂ = –4;

х₃ = 1; х₄ = –2.

Двочленні рівняння.

Двочленним рівнянням називається рівняння вигляду:

аx^m ± b = 0.

Поділивши обидві частини такого рівняння на а, одержимо зведене двочленне рівняння

x^m ± q = 0.

Щоб розв'язати двочленні рівняння, покладають, що

і зводять ці рівняння до простіших:

z^m + 1 = 0,

z^m – 1 = 0.

Такі рівняння при деяких окремих значеннях m можна розв’язати елементарними способами. Загальний спосіб полягає в розкладанні лівої частини рівняння на множники, після чого рівняння зводиться до вигляду, розглянутого раніше.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

х³ – 1 = 0.

х³ – 1 = (х – 1)(х² + х + 1)

Отже, рівняння

х³ – 1 = 0

має своїми коренями корені рівнянь

х – 1 = 0,

х² + х + 1 = 0.

Розв'язавши їх, знайдемо, що рівняння

х³ – 1 = 0

має такій корінь:

х₁ = 1,

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розкладемо чисельник на множники (по формулі різниці кубів):

Звідси:

Квадратне рівняння

х² + 3х – 18 = 0

Має корені

х₁ = 3 и х₂ = –6

(х₁ не входить в область допустимих значень).

ВІДПОВІДЬ: –6

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

x³ – 5x² + 6x = 0.

Розкладемо ліву частину рівняння на множники:

х(x² – 5x + 6) = 0.

Звідси, х = 0 або

x² – 5x + 6 = 0.

Вирішуючи квадратне рівняння, отримаємо:

х₁ = 2; х₂ = 3

ВІДПОВІДЬ: 0; 2; 3.

Завдання до уроку 33

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

среда, 7 декабря 2016 г.