Урок 6. Розв'язування рівнянь із змінною в знаменнику

Розглянемо рівняння виду:

Рішення цього рівняння ґрунтується на наступному затвердженні:

дріб  ^m/_n  дорівнює нулю тоді і тільки  тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля (на 0 ділити не можна).

Записується це так:

m = 0,  n ≠ 0.

Відповідно до сказаного, рішення рівняння

проводиться в два етапи: спочатку потрібно вирішити рівняння  р(х) = 0, а потім для кожного його кореня з'ясувати, чи звертається при знайденому значенні змінної  x  знаменник  q(x)  на нуль.
Якщо  q(x) ≠ 0, то знайдений корінь рівняння  р(х) = 0  є і коренем рівняння

Якщо  q(x) = 0, то отриманий корінь рівняння  р(х) = 0  не є коренем рівняння

Таким чином, рівняння  р(х) = 0  є наслідком рівняння

При переході від рівняння

до рівняння  р(х) = 0  (звільнення від знаменника) можуть виникнути сторонні коріння. Відсіяти їх можна за допомогою умови  q(x) ≠ 0  (або за допомогою безпосередньої підстановки кожного кореня рівняння  р(х) = 0  в рівняння

Область визначення рівняння (ОДЗ).

Областю визначення рівняння  f(х) = q(x)  називають безліч тих значень змінної  х, у яких вирази  f(х)  і  q(x)  мають сенс (одночасно).

ПРИКЛАД:

Знайти область визначення рівняння:

х² – 5х = 1 + 2х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:   

Вирази   х² – 5х  і  1 + 2х  визначені за всіх  х. Отже, область визначення рівняння – вся числова пряма.

ПРИКЛАД:

Знайти область визначення рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Вираз

не визначено за  х = 1, а вираз

не визначено при  х = 2. Значить область визначення рівняння можна задати умовами  х ≠ 1, х ≠ 2. 

ПРИКЛАД:

Знайти область визначення рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Корінь парного ступеня має сенс лише за невід'ємних значеннях підкореного висловлювання. Отже, одночасно мають виконуватися умови:

х ≥ 0, х – 1 ≥ 0, х – 2 ≥ 0.

Всі ці нерівності справедливі за   х ≥ 2, тобто

 [2; +∞) – область визначення рівняння.

Замість терміна <<область визначення рівняння>> часто використовують термін <<область допустимих значень>> змінної  (ОДЗ).

Зрозуміло, що коріння рівняння  f(х) = q(x)  має належати його області визначення (його ОДЗ). Але іноді буває отже у процесі перетворень рівняння його область визначення змінюється (найчастіше вона розширюється) і знайдених значень змінної одні належать області визначення рівняння  f(х) = q(x), інші ж не належать. Тоді перші є корінням рівняння, а другі – ні (це сторонні корені).

Так при вирішенні рівняння

область визначення якого визначається умовою  х² – х – 2 ≠ 0, ми перейшли до рівняння  3х – 6 = 0, областю визначення якого є вся числова пряма (область визначення розширилася). Рівняння  3х – 6 = 0  має корінь  х = 2, який належить області визначення вихідного рівняння і, отже, є стороннім коренем.

Загальний висновок такий:

якщо в процесі перетворення рівняння його область визначення розширилася, то можуть виникнути сторонні корені.

Тому всі знайдені значення змінної треба перевірити підстановкою у вихідне рівняння або за допомогою області визначення (ОДЗ) вихідного рівняння.

Алгоритм розв'язання рівняння, що містить змінну у знаменнику.

– перенести всі елементи з правої частини рівняння до лівої частини;

– для отримання тотожного рівняння необхідно змінити всі знаки, що стоять перед виразами у правій частині протилежні;

– якщо в лівій частині вийде вираз із різними знаменниками, то їх треба привести до спільного знаменника, використовуючи основну властивість дробу;

– виконати перетворення, використовуючи тотожні перетворення і отримати підсумковий дріб, що дорівнює  0;

– прирівняти чисельник до  0  і знайти коріння рівняння, що вийшло;

– провести вибірку коренів, тобто знайти допустимі значення змінних, які не звертають знаменник в  0.

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перенесемо дріб із правої частини рівняння в лівий, помінявши знак перед дробом на протилежний.

Отримали різницю дробів. Так як у дробів різні знаменники, необхідно привести дроби до спільного знаменника. Спільним знаменником буде добуток багаточленів, які стоять у знаменниках вихідних дробів:

(2х – 1)(х + 3).

Для отримання тотожного виразу чисельник і знаменник першого дробу необхідно помножити на многочлен  (х + 3), а другий на багаточлен  (2х – 1).

Виконаємо перетворення у чисельнику першого дробу – зробимо множення багаточленів. Для цього необхідно помножити перший доданок першого багаточлена на кожен доданок другого багаточлена, потім другий доданок першого багаточлена помножити на кожен доданок другого багаточлена і результати скласти. Потім навести подібні доданки в отриманому виразі.

(2х + 3)(х + 3) =

= 2х ∙ х + 2х ∙ 3 + 3 ∙ х + 3 ∙ 3 =

= 2х² + 6х + 3х + 9 = 2х² + 9х + 9.

Виконаємо аналогічні перетворення в чисельнику другого дробу:

(х – 5)(2х – 1) =

= х ∙ 2х – х ∙ 1 – 5 ∙ 2х + 5 ∙ 1 =

= 2х² – х – 10х + 5 = 2х² – 11х + 5.

Тоді рівняння набуде вигляду:

Тепер дроби з однаковими знаменниками, отже, можна робити віднімання. При відніманні дробів з однаковими знаменниками з чисельника першого дробу необхідно відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишить колишнім.

Перетворимо вираз у чисельнику. Для того, щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак <<–>> треба змінити всі знаки перед доданками, що стоять у дужках, на протилежні.

Наведемо подібні доданки.

Дріб дорівнює  0, якщо його чисельник дорівнює  0. Тому прирівняємо чисельник дробу до нуля:

20х + 4 = 0.

Розв'яжемо лінійне рівняння:

20х = –4,  х = –0,2.

Проведемо вибірку коріння. Це означає, що необхідно перевірити, чи не звертаються знаменники вихідних дробів в  0  при знайденому корінні.

Поставимо умову, що знаменники не дорівнюють  0.

2х – 1 ≠ 0,  х ≠ 0,5.

х + 3 ≠ 0.  х ≠ –3.

значить допустимі значення змінних, крім  –3  і  0,5.

Знайдений корінь є допустимим значенням, отже, він є коренем рівняння. Якби знайдений корінь був би не допустимим значенням, то такий корінь був би стороннім і, звичайно, не був би включений у відповідь.

ВІДПОВІДЬ:  –0,2

Використання основної властивості пропорції під час вирішення рівнянь.

Основною властивістю пропорції і те, що добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх членів.

Використовуємо цю властивість для вирішення попереднього рішення.

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо та прирівняємо добуток крайніх та середніх членів пропорції:

(2х + 3) ∙ (х + 3) = (х – 5) ∙ (2х – 1),

2х² + 6х + 3х + 9 = 2х² – х – 10х + 5,

 9х + 11х = 5 – 9,  20х = –4,  х = –0,2.

З попереднього рішення ми виявили, що допустимі будь-які значення, крім  –3  і  0,5. Тоді, встановивши, що знайдений корінь є допустимим значенням, з'ясували, що  –0,2  буде коренем.

ВІДПОВІДЬ:  –0,2

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

Зведемо вирази в левій і правій частинах його спільного знаменника:

Оскільки знаменники цих дробів однакові, то дроби будуть рівні при тих і тільки тих значеннях  х, при яких чисельники рівні між собою і знаменник відмінний від нуля, тобто рівність справджується тоді і тільки тоді, коли виконується умова:

6х² = (2х + 1)(3х – 1);

х(3х – 1) ≠ 0;

Розв’язуючи рівняння, дістанемо:

6х² = 6х² + х – 1;

х – 1 = 0;

х = 1.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

Подамо рівняння у вигляді:

і замінимо вираз у лівій частині дробом:

Використавши умову рівності дробу нулю, маємо:

(3х + 1)х + (х – 5)(х – 3) – 4х(х – 3) = 0;

х(х – 3) ≠ 0;

3х² + х + х² – 8х + 15 – 4х² + 12х = 0;

5х + 15 = 0;

х = –3.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

Зведемо вираз у лівій й правій частинах даного рівняння до спільного знаменника:

у + 1 + 4у – 12 = 4;

(у – 3)(у + 1) ≠ 0;

5у = 15;

у = 3.

Рівняння не має коренів.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Отримане рівняння рівносильне даному. А вирішити його легко, враховуючи, що

дріб дорівнює нулю тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля.

Прирівняємо чисельник до нуля:  

8х – 4 = 0,  8х = 4,  х = 0,5.

Якщо  х = 0,5, знаменник  х² – 4  не дорівнює  0.

Тому, х = 0,5 – корінь даного рівняння.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

–х(х – 2) = 0,

якщо  х = 0  або  х = 2.

Коли  х = 0, знаменник

(х – 2)(х + 3) 

не дорівнює  0. Тому,

х = 0 – корінь цього рівняння.

Коли  х = 2, то

(х – 2)(х + 3) = 0.

Тому, х = 2 – не буде коренем даного рівняння.

ВІДПОВІДЬ:  х = 0.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ВІДПОВІДЬ:  х ∈ ∅

Завдання до уроку 6

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Лінійне рівняння з одним невідомим і цілими вільними членами
• Урок 2. Лінійне рівняння з одним невідомим і дрібними вільними членами
• Урок 3. Застосування правил визначення невідомого доданка, зменшуваного і від'ємника для розв'язання задач
• Урок 4. Застосування правил визначення невідомого множника для розв'язання задач
• Урок 5. Розв'язування рівнянь, що зводяться до лінійних
• Урок 7. Застосування правил визначення діленого і дільника для розв'язання задач
• Урок 8. Лінійне рівняння з двома невідомими
• Урок 9. Рішення лінійних рівнянь за допомогою графіків
• Урок 10. Лінійне рівняння з параметром
• Урок 11. Системи двох рівнянь першого степеня з двома невідомими
• Урок 12. Розв'язання систем рівнянь способом підстановки
• Урок 13. Розв'язання систем рівнянь способом алгебраїчного додавання
• Урок 14. Рішення лінійних систем рівнянь за допомогою графіків
• Урок 15. Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь
• Урок 16. Системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими
• Урок 17. Повне квадратне рівняння загального вигляду
• Урок 18. Зведене квадратне рівняння
• Урок 19. Теорема Вієта
• Урок 20. Неповні квадратні рівняння
• Урок 21. Розв'язання квадратного рівняння способом виділення квадрата двочлена
• Урок 22. Графічний спосіб розв'язування квадратних рівнянь
• Урок 23. Квадратний тричлен
• Урок 24. Квадратні рівняння з параметрами
• Урок 25. Дробові раціональні рівняння
• Урок 26. Задачі на складання квадратних рівнянь
• Урок 27. Рівняння кола
• Урок 28. Системи рівнянь другого степеня є двома невідомими
• Урок 29. Розв'язування задач за допомогою систем рівнянь другого степеня
• Урок 30. Перетин прямої з колом
• Урок 31. Рішення нелінійних систем рівнянь за допомогою графіків
• Урок 32. Системи рівнянь з параметрами
• Урок 33. Рівняння вищих степенів
• Урок 34. Розв'язання рівнянь способом заміни
• Урок 35. Розв'язання систем рівнянь способом заміни
• Урок 36. Задачі на знаходження чисел
• Урок 37. Задачі на знаходження цифр
• Урок 38. Рішення задач на змішування за допомогою рівнянь
• Урок 39. Рішення задач на змішування за допомогою систем рівнянь
• Урок 40. Ірраціональні рівняння