Уроки математики и физики (RU + UA)

понедельник, 18 июля 2016 г.

Урок 6. Розв'язування рівнянь із змінною в знаменнику

Розглянемо рівняння виду:
Рішення цього рівняння ґрунтується на наступному затвердженні:

дріб  m/n  дорівнює нулю тоді і тільки  тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля (на 0 ділити не можна).

Записується це так:

m = 0,  n 0.

Відповідно до сказаного, рішення рівняння
проводиться в два етапи: спочатку потрібно вирішити рівняння  р(х) = 0, а потім для кожного його кореня з'ясувати, чи звертається при знайденому значенні змінної  x  знаменник  q(x)  на нуль.
Якщо  q(x) 0, то знайдений корінь рівняння  р(х) = 0  є і коренем рівняння
Якщо  q(x) = 0, то отриманий корінь рівняння  р(х) = 0  не є коренем рівняння
Таким чином, рівняння  р(х) = 0  є наслідком рівняння
При переході від рівняння
до рівняння  р(х) = 0  (звільнення від знаменника) можуть виникнути сторонні коріння. Відсіяти їх можна за допомогою умови  q(x) 0  (або за допомогою безпосередньої підстановки кожного кореня рівняння  р(х) = 0  в рівняння
Область визначення рівняння (ОДЗ).

Областю визначення рівняння  f(х) = q(x)  називають безліч тих значень змінної  х, у яких вирази  f(х)  і  q(x)  мають сенс (одночасно).

ПРИКЛАД:

Знайти область визначення рівняння:

х2 – 5х = 1 + 2х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:   

Вирази   х2 – 5х  і  1 + 2х  визначені за всіх  х. Отже, область визначення рівняння – вся числова пряма.

ПРИКЛАД:

Знайти область визначення рівняння:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Вираз
не визначено за  х = 1, а вираз
не визначено при  х = 2. Значить область визначення рівняння можна задати умовами  х 1, х 2

ПРИКЛАД:

Знайти область визначення рівняння:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Корінь парного ступеня має сенс лише за невід'ємних значеннях підкореного висловлювання. Отже, одночасно мають виконуватися умови:

х 0, х – 1 0, х – 2 0.

Всі ці нерівності справедливі за   х 2, тобто

 [2; +∞) – область визначення рівняння.

Замість терміна <<область визначення рівняння>> часто використовують термін <<область допустимих значень>> змінної  (ОДЗ).

Зрозуміло, що коріння рівняння  f(х) = q(x)  має належати його області визначення (його ОДЗ). Але іноді буває отже у процесі перетворень рівняння його область визначення змінюється (найчастіше вона розширюється) і знайдених значень змінної одні належать області визначення рівняння  f(х) = q(x), інші ж не належать. Тоді перші є корінням рівняння, а другі – ні (це сторонні корені).

Так при вирішенні рівняння
область визначення якого визначається умовою  х2 – х – 2 0, ми перейшли до рівняння  3х – 6 = 0, областю визначення якого є вся числова пряма (область визначення розширилася). Рівняння  3х – 6 = 0  має корінь  х = 2, який належить області визначення вихідного рівняння і, отже, є стороннім коренем.

Загальний висновок такий:

якщо в процесі перетворення рівняння його область визначення розширилася, то можуть виникнути сторонні корені.

Тому всі знайдені значення змінної треба перевірити підстановкою у вихідне рівняння або за допомогою області визначення (ОДЗ) вихідного рівняння.

Алгоритм розв'язання рівняння, що містить змінну у знаменнику.

– перенести всі елементи з правої частини рівняння до лівої частини;

– для отримання тотожного рівняння необхідно змінити всі знаки, що стоять перед виразами у правій частині протилежні;

– якщо в лівій частині вийде вираз із різними знаменниками, то їх треба привести до спільного знаменника, використовуючи основну властивість дробу;

– виконати перетворення, використовуючи тотожні перетворення і отримати підсумковий дріб, що дорівнює  0;

– прирівняти чисельник до  0  і знайти коріння рівняння, що вийшло;

– провести вибірку коренів, тобто знайти допустимі значення змінних, які не звертають знаменник в  0.

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перенесемо дріб із правої частини рівняння в лівий, помінявши знак перед дробом на протилежний.
Отримали різницю дробів. Так як у дробів різні знаменники, необхідно привести дроби до спільного знаменника. Спільним знаменником буде добуток багаточленів, які стоять у знаменниках вихідних дробів:

(2х – 1)(х + 3).

Для отримання тотожного виразу чисельник і знаменник першого дробу необхідно помножити на многочлен  (х + 3), а другий на багаточлен  (2х – 1).
Виконаємо перетворення у чисельнику першого дробу – зробимо множення багаточленів. Для цього необхідно помножити перший доданок першого багаточлена на кожен доданок другого багаточлена, потім другий доданок першого багаточлена помножити на кожен доданок другого багаточлена і результати скласти. Потім навести подібні доданки в отриманому виразі.

(2х + 3)(х + 3) =

= 2хх + 2х ∙ 3 + 3 ∙ х + 3 ∙ 3 =

= 2х2 + 6х + 3х + 9 = 2х2 + 9х + 9.

Виконаємо аналогічні перетворення в чисельнику другого дробу:

(х – 5)(2х – 1) =

= х ∙ 2хх ∙ 1 – 5 ∙ 2х + 5 ∙ 1 =

= 2х2х – 10х + 5 = 2х2 – 11х + 5.

Тоді рівняння набуде вигляду:
Тепер дроби з однаковими знаменниками, отже, можна робити віднімання. При відніманні дробів з однаковими знаменниками з чисельника першого дробу необхідно відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишить колишнім.
Перетворимо вираз у чисельнику. Для того, щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак <<–>> треба змінити всі знаки перед доданками, що стоять у дужках, на протилежні.
Наведемо подібні доданки.
Дріб дорівнює  0, якщо його чисельник дорівнює  0. Тому прирівняємо чисельник дробу до нуля:

20х + 4 = 0.

Розв'яжемо лінійне рівняння:

20х = –4,  х = –0,2.

Проведемо вибірку коріння. Це означає, що необхідно перевірити, чи не звертаються знаменники вихідних дробів в  0  при знайденому корінні.

Поставимо умову, що знаменники не дорівнюють  0.

2х – 1 ≠ 0,  х ≠ 0,5.

х + 3 ≠ 0.  х ≠ –3.

значить допустимі значення змінних, крім  –3  і  0,5.

Знайдений корінь є допустимим значенням, отже, він є коренем рівняння. Якби знайдений корінь був би не допустимим значенням, то такий корінь був би стороннім і, звичайно, не був би включений у відповідь.

ВІДПОВІДЬ:  –0,2

Використання основної властивості пропорції під час вирішення рівнянь.

Основною властивістю пропорції і те, що добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх членів.

Використовуємо цю властивість для вирішення попереднього рішення.

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо та прирівняємо добуток крайніх та середніх членів пропорції:

(2х + 3) (х + 3) = (х – 5) (2х – 1),

2х2 + 6х + 3х + 9 = 2х2х – 10х + 5,

 9х + 11х = 5 – 9,  20х = –4,  х = –0,2.

З попереднього рішення ми виявили, що допустимі будь-які значення, крім  –3  і  0,5. Тоді, встановивши, що знайдений корінь є допустимим значенням, з'ясували, що  –0,2  буде коренем.

ВІДПОВІДЬ:  –0,2

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:
Зведемо вирази в левій і правій частинах його спільного знаменника:
Оскільки знаменники цих дробів однакові, то дроби будуть рівні при тих і тільки тих значеннях  х, при яких чисельники рівні між собою і знаменник відмінний від нуля, тобто рівність справджується тоді і тільки тоді, коли виконується умова:

6х2 = (2х + 1)(3х – 1);
х(3х – 1) ≠ 0;

Розв’язуючи рівняння, дістанемо:

6х2 = 6х2 + х – 1;
х – 1 = 0;
х = 1.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:
Подамо рівняння у вигляді:
і замінимо вираз у лівій частині дробом:
Використавши умову рівності дробу нулю, маємо:

(3х + 1)х + (х – 5)(х – 3) – 4х(х – 3) = 0;
х(х – 3) ≠ 0;
3х2 + х + х2 – 8х + 15 – 4х2 + 12х = 0;
5х + 15 = 0;
х = –3.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:
Зведемо вираз у лівій й правій частинах даного рівняння до спільного знаменника:
у + 1 + 4у – 12 = 4;
(у – 3)(у + 1) ≠ 0;
5у = 15;
у = 3.

Рівняння не має коренів.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння
:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Отримане рівняння рівносильне даному. А вирішити його легко, враховуючи, що

дріб дорівнює нулю тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля.

Прирівняємо чисельник до нуля:  

8х – 4 = 0,  8х = 4,  х = 0,5.

Якщо  х = 0,5, знаменник  х2 – 4  не дорівнює  0.

Тому, х = 0,5 – корінь даного рівняння.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
х(х – 2) = 0,

якщо  х = 0  або  х = 2.

Коли  х = 0, знаменник

(х – 2)(х + 3) 

не дорівнює  0. Тому,

х = 0 – корінь цього рівняння.

Коли  х = 2, то

(х – 2)(х + 3) = 0.

Тому, х = 2 – не буде коренем даного рівняння.

ВІДПОВІДЬх = 0.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ВІДПОВІДЬ:  х

Завдання до уроку 6
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий