Урок 4. Застосування правил визначення невідомого множника для розв'язання задач

среда, 6 июля 2016 г.

Урок 4. Застосування правил визначення невідомого множника для розв'язання задач

Щоб вирішити завдання з допомогою рівняння, спочатку треба скласти відповідне рівняння. Коротше кажучи, потрібно перекласти завдання зі звичайної мови на математичну мову. І тому становлять математичну модель цієї задачі. Модель завжди подібна до оригіналу. У ній відображаються ті чи інші важливі властивості об'єкта, що досліджується. Глобус – модель Землі, лялька – модель людини. Якщо модель побудована виходячи з рівнянь, формул чи інших математичних понять, її називають математичною моделлю.

Щоб розв'язати задачу за допомогою рівняння, необхідно:

– вибрати невідоме та позначити його літерою;

– висловити інші невідомі завдання величини з допомогою цієї буквы;

– скласти рівняння;

– вирішити рівняння;

– зробити перевірку.

Рухаючись зі швидкістю 60 км/год, автомобіль за 2 години пройде

60 ⋅ 2 (км),

за 5 час – 60 ⋅ 5 (км).

Загалом, за t годин він пройде 60 ⋅ t (км). Вимірюючи значення t, ми можемо за допомогою виразу 60 ⋅ t знаходити шлях, пройдений автомобілем за різні проміжки часу. Для цього достатньо замість букви t підставити її значення та виконати множення. Літеру t у виразі 60 ⋅ t називають змінною, а сам вираз 60 ⋅ t – виразом зі змінною.

ЗАДАЧА:

Визначте вагу одного батона, що лежить на терезах:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо вагу батона через х. Оскільки ваги врівноважені, можна скласти рівняння:

5х = 2х + 6.

Вирішимо його.

Додамо до обох частин рівняння по –2х (знімемо з обох шальок терезів по дві хлібини), дістанемо:

5х – 2х = 2х – 2х + 6.

Але 2х – 2х дорівнює 0, отже,

5х – 2х = 6.

Порівняємо це рівняння із заданим. Бачимо, що його можна дістати з даного, якщо доданок 2х перенести в ліву частину, змінивши його знак. Розв’язуючи далі рівняння

5х – 2х = 6,

дістанемо:

3х = 6, х = 2.

Число 2 є корінь рівняння

5х = 2х + 6,

або правильна рівність

5 ∙ 2 = 2 ∙ 2 + 6.

ВІДПОВІДЬ: 6

ЗАДАЧА:

За 2,5 кг масла заплатили 8,75 грн. Скільки коштує 1,7 кг цього масла ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай друга покупка коштує х грн. Ціну на масло можна знайти двома способами: поділити 8,75 на 2,5 або поділити х на 1,7. В обох випадках має вийти одна й та сама відповідь. Дістанемо пропорцію:

8,75 : 2,5 = х : 1,7.

За основною властивістю пропорції маємо:

8,75 ∙ 1,7 = 2,5 ∙ х.

Отже,

х = 8,75 ∙ 1,7 : 2,5, х = 5,95.

ВІДПОВІДЬ: за другу покупку заплатили 5,95 грн.

ЗАДАЧА:

В універмазі покупець витратив 32% наявних у нього грошей. Це становить 11,2 грн. Скільки грошей було в покупця ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай у покупця було х грн., тоді один процент його грошей становить 0,01х грн., а 32% становлять

0,01х ∙ 32 = 0,32х (грн.).

За умовою задачі 0,32х грн. дорівнюють 11,2 грн.:

0,32х = 11,2,

х = 11,2 : 0,32 = 35,

х = 35.

ВІДПОВІДЬ: 35 грн.

ЗАДАЧА:

Турист повинен пройти 220 км. Першого дня він пройшов 33 км. Скільки процентів шляху пройшов турист першого дня ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай першого дня турист пройшов х процентів шляху. Один процент шляху становить 2,2 км, а х процентів становлять 2,2х км, що за умовою задачі дорівнює 33 км:

2,2х = 33,

х = 33 : 2,2 = 15,

х = 15.

ВІДПОВІДЬ: 15%

ЗАДАЧА:

Якщо задумане число помножити на 3 і до одержаного результату додати 5, то матимемо 56. Яке число задумали ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай х – задумане число, тоді

3х + 5 = 56,

3х = 51, х = 17.

ЗАДАЧА:

Двоє робітників виготовили за перший день 100 деталей. За другий день перший робітник виготовив деталей на 20% більше, ніж за перший день, а другий робітник – на 10% більше, ніж за перший день. Усього за другий день вони виготовили 116 деталей. Скільки деталей виготовив за перший день перший робітник ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай за перший день перший робітник виготовив х деталей, тоді другий робітник за перший день виготовив (100 – х) деталей. За другий день перший робітник виготовив 1,2х деталей, а другий за другий день виготовив 1,1(100 – х) деталей. Оскільки разом за другий день вони виготовили 116 деталей, то:

1,2х + 1,1(100 – х) = 116,

1,2х – 1,1х = 6,

0,1х = 6, х = 60.

ВІДПОВІДЬ: 60 деталей

ЗАДАЧА:

Яку суму грошей треба покласти в банк під 10% річних, щоб через 2 роки на рахунку стало 6050 грн ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай в банк поклали х грн. Тоді через рік їх стало 1,1х грн, а ще через рік –

1,1х ∙ 1,1 = 1,21х грн.

Отже,

1,21х = 6050, х = 5000 (грн).

ВІДПОВІДЬ: 5000 (грн)

ЗАДАЧА:

Після двох послідовних знижень ціни на 20% шафа стала коштувати 1600 грн. Якою була початкова ціна шафи ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай початкова ціна шафи х грн. Після першого зниження ціна стала 0,8 грн. Після другого зниження –

0,8∙ 0,8 = 0,64х.

Отже

0,64х = 1600, х = 2500 грн.

ВІДПОВІДЬ: 25000 (грн)

ЗАДАЧА:

У першому бідоні було молоко з масовою часткою жиру 2%, а в другому – 5%. Скільки треба взяти молока з кожного бідона, щоб отримати 12 кг молока, масова частка жиру якого дорівнює 4% ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай з першого бідона треба взяти х кг молока, маса жиру в ньому становить 0,02х кг. Тоді з другого треба взяти (12 – х) кг молока, маса жиру в ньому становить 0,05(12 – х) кг.

Рівняння:

0,02х + 0,05(12 – х) = 0,04 ∙ 12,

2х + 5(12 – х) = 4 ∙ 12,

–3х = –12, х = 4.

Отже, з першого бідона треба взяти 4 кг, з другого –

12 – 4 = 8 (кг).

ВІДПОВІДЬ: 4 кг з першого бідона, 8 кг – з другого

ЗАДАЧА:

Ціну на товар знизили спочатку на 10%, а потім ще на 20%, після чого він став коштувати 28 грн 80 коп. Якою була початкова ціна товару ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай початкова ціна товару х грн. Після зниження на 10% він став коштувати – 0,9х, а після повторного зниження на 20% ціна склала –

0,8 ∙ 0,9х = 0,72х.

Звідси

0,72х = 28,8, х = 40 (грн.).

ВІДПОВІДЬ: 40 (грн.)

ЗАДАЧА:

Учень помножив деяке число на 9 і 12. Потім додав знайдені добутки. Вин дістав 210. Яке число помножив учень на 9 і на 12 ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай невідоме число буде х. Тоді перший добуток 9х, другий – 12х. За умовою задачі сума цих доданків дорівнює 210. Це речення записується рівнянням:

12х + 9х = 210.

Розв’язком якого є х = 10.

Отже, невідоме число є 10.

ЗАДАЧА:

Брат у чотири рази старший за сестру, а сестра на 9 років молодша від брата. Скільки років сестрі і скільки братові ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай вік сестри – х років. Тоді вік брата 4х. За умовою задачі сестра на 9 років молодша від брата – це записується рівнянням

4х – х = 9.

Розв’язком є х = 3 (вік сестри);

4х = 4 ∙ 3 = 12 (вік брата).

ЗАДАЧА:

Після двох послідовних знижень ціни, перше з яких було на 15%, а друге – на 10%, пальто стало коштувати 918 грн. Якою біла початкова ціна пальта ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай початкова ціна пальто х грн. Після першого зниження ціна стала 0,85х грн., після другого –

0,85х ∙ 0,9 = 0,765х грн.

Отже,

0,756х = 918,

х = 1200 грн.

ЗАДАЧА:

Телевізор і мобільний телефон коштували разом 1800 грн. Після того як телевізор подорожчав на 10%, а телефон подешевшав на 10%, вони стали коштувати разом 1840 грн. Знайдіть початкову ціну телевізора.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай початкова ціна телевізора х грн., тоді мобільний телефон коштував (1800 – х) грн. Нова ціна телевізора 1,1х грн., а мобільного телефону – 0,9(1800 – х) грн. Оскільки нова ціна їх обох становить 1840 грн., то:

1,1х + 0,9(1800 – х) = 1840,

0,2х = 1840 – 1620,

0,2х = 220, х = 1100.

ВІДПОВІДЬ: 1100 грн.

ЗАДАЧА:

Протягом двох днів робітник виготовив деяку кількість деталей. За перший день він виготовив ⁹/₁₆ усіх деталей, а за другий – на 9 деталей менше, ніж за перший. Скільки деталей виготовив робітник за два дні ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай х – кількість деталей, яку робітник виготовив за два дні. Тоді за перший день він виготовив ⁹/₁₆х деталей, а за другий – ⁷/₁₆х деталей. Рівняння:

⁹/₁₆х – ⁷/₁₆х = 9,

²/₁₆х = 9, ¹/₈х = 9,

х = 72.

ЗАДАЧА:

Вкладник поклав до банку на два різні рахунку 12 000 грн. По першому з рахунків банк виплачує 6% річних, а по другому – 8% річних. Через рік клієнт отримав 800 грн. відсоткових грошей. Скільки гривень він поклав на кожен рахунок ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай вкладник поклав х грн. на перший рахунок. Тоді на другий він поклав (1200 – х) грн. Через рік з першого рахунку він отримав 0,06х грн., а з другого – 0,08(1200 – х) грн. відсоткових грошей. Тому:

0,06х + 0,08(1200 – х) = 800,

6х + 8(1200 – х) = 80000,

–2х = –16000, х = 8000.

Отже на перший рахунок вкладник поклав 8000 грн., а на другий –

12000 – 8000 = 4000 (грн.).

ВІДПОВІДЬ: 8000 грн., 4000 грн.

ЗАДАЧА:

Після двох послідовних знижень ціни, перше з яких було на 20%, а друге – 10%, стілець став коштувати 108 грн. Знайдіть початкову ціну стільця.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай початкова ціна стільця х грн. Після першого зниження ціна стала 0,8х грн. Після другого зниження –

0,8х ∙ 0,9 = 0,72.

Отже

0,72х = 108,

х = 150 грн.

ЗАДАЧА:

На клумбі ростуть тюльпани й айстри, до того ж тюльпани становлять 52% усіх квітів. Айстр на клумбі росте на 80 менше, ніж тюльпанів. Скільки квіток росте на клумбі ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай на клумбі росте х квіток. Тоді тюльпанів росте 0,52х, а айстр –

х – 0,52х = 0,48х.

Звідси:

0,52х – 0,48х = 80,

0,04х = 80; х = 2000.

ЗАДАЧА:

У саду ростуть яблуні і вишні, причому яблуні становлять 52% усіх дерев. Вишень росте на 8 дерев менше, ніж яблунь. Скільки дерев росте в саду ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай в саду росло х дерев. Тоді яблунь росло 0,52х дерев, а вишень – 0,52х – 8. Звідси:

0,52х + 0,52х – 8 = х,

1,04х – 8 = х, 0,04х = 8,

х = 200.

ЗАДАЧА:

Вкладник поклав до банку на два різні рахунки загальну суму 15 000 грн. По першому з них банк виплачує 7% річних, а по другому – 10% річних. Через рік вкладник отримав 1200 грн. відсоткових грошей. Скільки гривень він поклав на кожен рахунок ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай вкладник поклав х грн. на перший рахунок. Тоді на другій він поклав (15000 – х) грн. Через рік з першого рахунку він отримав 0,07х грн., а з другого – 0,1(15000 – х) грн. відсоткових грошей. Тому:

0,07х +0,1(15000 – х) = 1200,

7х +10(15000 – х) = 120000,

–3х = –30000, х = 10000

Отже на перший рахунок вкладник поклав 10000 грн., а на другий –

15000 –10000 = 5000 (грн.).

ВІДПОВІДЬ: 10000 грн., 5000 грн.

ЗАДАЧА:

Хлопчик прочитав книжку за 2 дні, причому за перший день він прочитав 46% усієї книжки, а за другий – на 32 сторінки більше, ніж за перший. Скільки сторінок у книжці ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай у книзі х сторінок. Тоді за перший день він прочитав 0,46х сторінок, а за другий – 0,54х. За другий день він прочитав на 32 сторінки більше:

0,54х – 0,46х = 32,

0,08х = 32,

х = 400 (сторінок).

ЗАДАЧА:

Привезені в магазин фрукти продали протягом двох днів. За перший день продали ⁷/₁₅ усіх фруктів, а за другий – на 18 кг більше, ніж за перший. Скільки кілограмів фруктів продали в магазини за два дні ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай за два дні у магазині продали х кг фруктів. Тоді за перший день продали ⁷/₁₅х кг фруктів, а за другий – ⁸/₁₅х кг. За другий день продали на 18 кг фруктів більше:

⁸/₁₅х – ⁷/₁₅х = 18,

^х/₁₅ = 18, х = 270 (кг).

ЗАДАЧА:

Вкладник поклав до банку певну суму під 8% річних. Яка сума початкового вкладу, якщо через 2 роки на рахунку вкладника стало 5832 грн ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай вкладник поклав х грн., тоді після першого року на рахунку було 1,08 грн., а після другого –

1,08 ∙ 1,08х = 1,1664х,

1,1664х = 5832,

х = 5000 (грн.).

ЗАДАЧА:

Ціна товару спочатку зросла на 20%, а потім знизилася на 20%. Як змінилася ціна товару порівняно з початковою ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай х грн. – початкова ціна товару. Після першого подорожчання вона стала 1,2х грн., після зниження –

1,2х ∙ 0,8 = 0,96х (грн.),

х – 0,96х = 0,04х,

0,04х : х = 0,04 = 4%.

Завдання до уроку 4

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

среда, 6 июля 2016 г.