Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 34. Розвязання рівнянь способом заміни

У багатьох випадках спосіб введення нових змінних значно спрощує рішення системи рівнянь.

Метод введення нової змінної.

Деякі рівняння вирішують заміною в них деякого многочлена з однією змінною і можуть бути зведені до рівнянь алгебри, степінь яких менше степені початкового рівняння і рішення яких простіше.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

ОДЗ: х ≠ 0. Нехай

Тоді

Маємо:

2t² + 5t + 2 = 0,

t₁ = –0,5, t₂ = –2.

Повернемося до заміни:

2х² + 2 = –х,

2х² + х + 2 = 0, D < 0,

рівняння не має коренів.

х² + 1 = –2х,

х² + 2х + 1 = 0,

(х + 1)² = 0.

х = –1.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

Перевіркою встановлюємо, що х = 0 не є коренем рівняння. Поділимо чисельник і знаменник кожного дробу на х, одержимо:

Нехай

3х + ²/_х= t,

тоді останнє рівняння можна записати у вигляді:

13(t + 1) – 12(t – 5) = 5(t + 1)(t – 5),

5t² – 21t – 98 = 0,

t₁ = –2,8, t₂ = 7.

t ≠ 5, t ≠ 1.

Повертаючись до заміни, матимемо:

3х + ²/_х= –2,8

15х² + 14х + 10 = 0,

D < 0

рівняння коренів не має.

3х + ²/_х= 7,

3х² – 7х + 2 = 0,

х₁ = ¹/₃, х₂ = 2.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

х⁶ – 5х³ + 4 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо у = х³, тоді початкове рівняння набирає вигляду:

у² – 5у + 4 = 0,

вирішивши яке отримуємо

у₁ = 1; у₂ = 4.

Таким чином, початкове рівняння еквівалентно сукупності рівнянь:

х³ = 1 або х³ = 4,

Тобто

ВІДПОВІДЬ:

Біквадратне рівняння.

Рівняння четвертого степеня, до якого входять тільки парні степені невідомого, називається біквадратним.

Його записують так:

ax⁴ + bx² + c = 0,

Це рівняння зводиться до квадратного за допомогою заміни

х² = z,

маємо

az² + bz + c = 0,

Формула розв’язків біквадратного рівняння така:

Вона дає чотири корені біквадратного рівняння, а саме:

Симетричні рівняння.

Рівняння

axⁿ + bxⁿ^-1 + cxⁿ^-2 + … + cx² + bx + a,

у яких коефіцієнти членів, однаково віддалених від початку і кінця, рівні, називаються симетричними або зворотними.

ПРИКЛАД:

х⁷ + 2х⁶ – 5х⁵ – 13х⁴ – 13х³ – 5х² + 2х + 1 = 0.

Симетричне рівняння має таку властивість:

Якщо число х₁ є розв’язком, то обернене число ¹/_х₁ також буде його розв’язком.

(Жоден з коренів симетричного рівняння не може дорівнювати нулю.)

Симетричне рівняння може бути як парного, так і непарного степенів. Спосіб розв’язання такого рівняння парного степеня покажемо на прикладі рівняння четвертого степеня.

aх⁴ + bх³ + cх² + bх + a = 0.

Поділивши обидві частини рівняння на х² (оскільки х ≠ 0), одержимо:

Згрупуємо члени з однаковими коефіцієнтами:

Замінюючи

х + ¹/_х

новою буквою у, одержимо:

Отже, симетричне рівняння четвертого степеня зводиться до квадратного рівняння. Симетричне рівняння парного степеня можна звести за допомогою підстановки

у = х + ¹/_х

до рівняння в два рази меншого степеня, ніж вихідне. Для цього ділять всі члени даного рівняння на хⁿ (якщо степінь даного був 2n ) і групують члени, рівновіддалені від кінця і початку. Після цього роблять зміну за формулами: