Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

суббота, 31 декабря 2016 г.

Урок 35. Розвязання систем рівнянь способом заміни

У багатьох випадках спосіб введення нових змінних значно спрощує розв’язання системи рівнянь.

ПРИКЛАД:

Розв’язати систему:
Нехай  x/y = z, тоді  y/x = 1/z.
Маємо  z + 1/z = 34/15; 

15z2 – 34z +15 = 0.
z1 = 5/3;  z1 = 3/5.

Складаємо дві системи рівнянь:
Звідки знаходимо чотири розв’язки:

х1 = 3,  у1 = 5;  
х2 = –3,  у2 = –5;
х3 = 5,  у3 = 3;  
х4 = –5,  у4 = –3.

ПРИКЛАД:

Розв’язати систему:
Помножимо обидві частини другого рівняння на  2  і додамо до першого:

х2 + у2 + 2ху + 2(х + у)
= 24.

Покладемо  х + у = z, тоді 

z2+ 2z – 24 = 0,

звідки  z1 = –6, z2 = 4. 
Одержуємо дві системи:
Які мають два дійсні розв’язки:

х1 = 1,  у1 = 3;  
х2 = 3,  у2 = 1.

ПРИКЛАД:

Розв’язати систему:
Зрівняємо модулі вільних членів:
і додамо одержані рівняння:

5х2 – 19ху + 12у2 = 0.

Оскільки  у ≠ 0, то поділимо обидві частини цього рівняння на  у2;
Покладаючи  x/y = u, одержимо рівняння:

5u2 – 19u + 12 = 0.

Звідки 

u1 = 3, u2 = 4/5.

Отже, 

х = 3у  і  х = 4/5 у.

Підставивши значення  х = 3у  в одне з даних рівнянь, наприклад у друге, одержимо 

у2 = 3, у = ±√͞͞͞͞͞3,

звідки  х = ± 3√͞͞͞͞͞3.
Якщо взяти  х = 4/5 у,
то одержимо 

х = ± 4;  у = ± 5.

ВІДПОВІДЬ:

х1 = 3√͞͞͞͞͞3,   у1 = √͞͞͞͞͞3;  
х2 = –3√͞͞͞͞͞3,   у2 = –√͞͞͞͞͞3;
х3 = 4,   у3 = 5;  
х4 = –4,   у4 = –5.

ПРИКЛАД:

Розв’язати систему:
Уведемо заміну:

х + у = t,  xy = z.

Перетворимо ліву частину першого рівняння:

х4 + у4 = х4 + 2х2у2 + у4 – 2х2у2
= (х2 + у2)2 – 2z2
= (х2 + 2ху + у2 – 2ху)2 – 2z2
= ((х + у)2 – 2z)2 – 2z2
= (t2 – 2z)2 – 2z2 = t4 – 4t2z + 2z2.

Тоді одержимо:
Звідки перше рівняння можна переписати так:

t4 – 4t2 × 2t + 2 × (2t)2
= 17t2,
t4 – 8t3 – 9t2 = 0,
t2(t2 – 8t – 9) = 0,

яке має розв’язки

t1 = 0,  t2 = –1;   t3 = 9.

Із рівності

z  = 2t

маємо, що

z1 = 0,  z2 = –2;   z3 = 18.

Тоді одержуємо три системи:
Звідки розв’язком є

 (0; 0).
Звідки розв’язком є

 (1; –2),  (–2; 1).
Звідки розв’язком є

 (3; 6),  (6; 3).

ВІДПОВІДЬ:

(0; 0),  (1; –2),  (–2; 1),  
(3; 6),  (6; 3).  

Завдання до уроку 35
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий