Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

вторник, 21 марта 2017 г.

Урок 5. Що таке функція ?

Функція – одне з важливих понять у математиці, вона дає можливість досліджувати і моделювати як стан предметів, а й процеси.

Функціональна залежність.

Часто буває так, що одна змінна величина залежить від іншої: кожному значенню однієї величини відповідає значення іншої.

Якщо дві змінні величини пов’язані між собою так, що кожному значенню однієї з них відповідає певне значення іншої, то кажуть, що між цими змінними існує функціональна залежність.

ПРИКЛАД:

Радіус кола і його довжина.
Маса покупки і її вартість
Вага тіла і його відстань від центра Землі.

ПРИКЛАД:

На малюнку показані відповідності між безліччю

А = {1;  2;  3;  4}

і безліччю

В = {15;  20;  25}.
Відповідно до кожного елемента множини  А  відповідає один і тільки один елемент множини  В  (від кожної точки виходить стрілка, і притому тільки одна). Для таких відповідностей використовується спеціальний термін: функція.
Відповідність  h  не є функцією, так як елемента  1 немає відповідного елемента (від точки  1  не виходить стрілка).
Співвідношення  p  також не є функцією, так як елемент  2  відповідає більше одного елемента (від точки  2  виходить дві стрілки).

Відповідність між множиною  Х  і множиною  Y, при якому кожному елементу множини  Х  відповідає один і тільки один елемент множини  Y, називається функцією.

Функцію з областю визначення  Х  і множиною значень  Y  називають також відображенням множини  Х  на множині  Y.

ПРИКЛАД:             

Функцію  f, задану стрілками на малюнку, можна назвати відображенням множини  А  на множині  В.
Відображення  f  переводить число  –2  до  4. Це записується так:
 f (–2) = 4 (читається: “ еф від мінус двох дорівнює чотирьом ”).

Аргумент і функція.

Якщо дві змінні величини перебувають у функціональній залежності, то та з них, яка може набувати довільних допустимих значень, називається незалежною змінною або аргументом. Друга величина, значення якої залежать від значень аргументу, називається залежною змінною або функцією.

ПРИКЛАД:

Відомо, що чим вища температура, тим довшою стає стальна рейка, тобто довжина рейки залежить від температури. В даному випадку температура – аргумент, а довжина рейки – функція.

Площа квадрата є функцією довжини його боку.

Шлях, пройдений поїздом, – функція часу.

Урожайність – функція кількості добрив.

Значення тричлену 

х2 + 5х + 6

 – функція значень  х.
Якщо  у  є функція  х, пишуть  y = f(x)  і читають  “у  дорівнює еф від  х”. для позначення функціональної залежності користуються й іншими буквами.

ПРИКЛАД:

Якщо  v  є функція  t, можна записати і так:  v = φ(t) (“v  дорівнює фі  від  t”).

Зазначимо, що в сучасній математиці функцією називають не тільки залежну змінну величину, а й ту відповідність, при якій кожному значенню однієї величини відповідає певне значення  іншої, а також відповідність між значеннями величин та відповідність між елементами двох довільних множин. Сучасне загальне визначення функції таке:

Відповідність між множиною  Х  і множиною  Y, при якій кожному елементу множини  Х  відповідав один і тільки один елемент множини  Y, називається функцією.

При цьому множина  Х  називається областю визначення даної функції. Множину всіх тих елементів з  У, які відповідають хоч одному з елементів множини  Х, називають множиною значень даної функції.

ПРИКЛАД:
Відповідність  f, зображена на рисунку стрілками, є функція, а відповідності  g  і  h  – не функції.

Функцією, визначеною на множині  М, називається правило  f, при якому кожному елементу  х  множини  М  ставиться у відповідність єдиний елемент  f(x)  деякої множини  N. 

Деякі математики множини  М  і  N  називають областями відправлення та прибуття і дають таке визначення.

Функція – це відповідність, у якому кожному елементу області відправлення відповідає єдиний елемент області прибуття.

Для функції  f  область визначення  {a,  b,  c,  d}, а множина значень  {1,  2,  3}. деякі математики множини  Х  та  У  називають областями відправлення і прибуття і дають таке визначення: функція – це відповідність, при якій кожному елементу області відправлення відповідає єдиний елемент області прибуття.

Таким чином, тепер у математиці словом функція називають і відповідність  f, і величину  f(x). 

Нове сучасне поняття функції не суперечить старому (класичному), воно лише більш загальне.

Функції, які задані на числовій множині і значення яких – також числа, тепер називають числовими функціями.

Ми будемо розглядати тільки числові функції і називати їх для короткості просто функціями.

Якщо дані: числова множина  X  і правило  f, що дозволяє поставити у відповідність кожному елементу  х  із множини  Х  певне число  у, то кажуть, що задана функція  у = f(х)  з областю визначення  Х. Пишуть:

у = f(х),  x ∈ X.

При цьому змінну  х  називають незалежною змінною чи аргументом, а змінну  у – залежною змінною.

Для області визначення функції використовують також позначення  D(f). Безліч усіх значень функції  у = f(х), x ∈ X  називають областю значень функції і позначають  E(f).

Якщо функція задана виразом, то допускається її завдання  у = f(х)  без умови  x ∈ X  у разі, коли область визначення виразу  f(х)  збігається з областю визначення функції.

ПРИКЛАД:

Запис <<функція  у = √͞͞͞͞͞x  >> означає

у = √͞͞͞͞͞x, х ∈ [0, +∞),

оскільки область визначення виразу  √͞͞͞͞͞x  задається нерівністю  х ≥ 0.

Завдання до уроку 5
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий