Уроки математики и физики (RU + UA)

вторник, 30 мая 2017 г.

Урок 10. Знаходження області визначення і області зміни за допомогою графіка

Якщо функція задана графічно, то для знаходження області визначення її графік треба спроектувати на вісь  Ох. А якщо графік функції спроектувати на вісь  Оу, одержимо множину значень (зміни) функції.
Находження області значень функції по її графіку.

Побудуйте графік функції. У багатьох випадках простіше знайти область значень функції, побудувавши її графік.
Областю значень багатьох квадратичних функцій є

(–, 0]  чи  [0, ),

оскільки вершина параболи, спрямованої управо або вліво, лежить на осі  Х. В цьому випадку область значень включає усі позитивні значення  у, якщо парабола зростає, або усі негативні значення  у, якщо парабола убуває.
Вершини графіків деяких функцій лежать вище або нижче осі  Х. В цьому випадку область значень визначається координатою  у  вершини параболи.

ПРИКЛАД:

Якщо координата  у  вершини параболи рівна  4, а парабола зростає, то область значень рівна

[–4, ).

Побудувавши графік функції, ви побачите на нім точку, в якій функція має мінімальне значення. Якщо наочного мінімуму немає, він не існує, а графік функції йде в нескінченність.
Побудувавши графік функції, ви побачите на нім точку, в якій функція має максимальне значення. Якщо наочного максимуму немає, він не існує, а графік функції йде в нескінченність.
Найпростіший спосіб побудувати графік функції – це скористатися графічним калькулятором або спеціальним програмним забезпеченням. Якщо немає графічного калькулятора, побудуйте приблизний графік, підставивши у функцію декілька значень  х  і, вичисливши відповідні значення  у, нанесіть знайдені точки на координатну площину, щоб отримати загальне уявлення про форму графіку.

ПРИКЛАД:

Знайдіть область значень функції  у = √͞͞͞͞͞x  за графіком.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З графіка видно, що мінімальне значення змінна у приймає при  х = 0. Максимальне значення не визначається, при цьому видно, що при зростанні  х  значення  у  також зростає. Тоді область значень буде такою:

Е(у) = [0; +).

Нижче наведено декілька прикладів графіків функцій.

Графіки функцій показані жирними синіми лініями, тонкі червоні лінії – це асимптоти, жовтими точками та лініями на осі 0у зображено область значень відповідної функції.

Темні точки позначають, що число входить у область значень.

Світлі точки позначають, що число не входить у область значень.

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення та область значення функції  у = 2,6  за графіком.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З графіка видно, що функцією є пряма, яка паралельна осі  х  і перетинає вісь у точці  2,6. Пряма прагне в нескінченність і вправо і вліво вздовж паралельно осі  х, не перетинаючи її, а також перетинає вісь  у  в точці  у = 2,6 (на графіку темна точка), отже область визначення буде

D(у) = (∞; +∞).

Область значення очевидна:

Е(у) = {2,6}.

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення і область значення функції за графіком.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З графіку видно, що функція прагне в нескінченність і  управо і вліво уздовж осі  х, не перетинаючи її (на графіці біла точка), а також перетинає вісь  у  в точці  у = 9 (на графіці темна точка),  означає область визначення буде

D(у) = (∞; +∞).

Область значення очевидна:

Е(у) = (0; 9].

Нуль не входить в область значень, а дев'ять входить.

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення та область значення функції
за графіком.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З графіка видно, що функцією є крива, яка перетинає вісь у точці  0. Крива прагне в нескінченність і вправо і вліво, максимум якої  +1, а мінімум  –1 (на графіку темні точки), отже область визначення буде

D(у) = (∞; +∞).

Область значення очевидна:

Е(у) = [+1; –1].

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення та область значення функції

у = arctg x

за графіком
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З графіка видно, що функцією є крива, яка перетинає вісь у точці 0. Крива прагне в нескінченність і вправо і вліво. Прагне до точок  + π/2  і  – π/2 (на графіку світлі точки), отже область визначення буде

D(у) = (∞; +∞).

Область значення очевидна:

Е(у) = (–π/2; + π/2).

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення та область значення функції

у = е–х – 2

за графіком.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З графіка видно, що функцією є крива, яка перетинає вісь у точці  –1. Крива прагне нескінченності і вправо і вліво. Прагне до точки  –2 (на графіку світла точка), отже область визначення буде

D(у) = (∞; +∞).

Область значення очевидна:

Е(у) = (–2; +∞).

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення та область значення функції

за графіком.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З графіка видно, що функцією є дві криві, одна з яких перетинає вісь  у  в точці  0. Криві прагне в нескінченність і вправо і вліво, а також прагнуть асимптота  х = 2, значить область визначення буде

D(у) = (∞; 2) (2; +∞).

Область значення очевидна:

Е(у) = (–; 0] [4; +∞).

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення та область значення функції
за графіком.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З графіка видно, що функцією є дві криві, одна з яких перетинає вісь  у  в точці  0. Криві прагне в нескінченність і вправо і вліво, а також прагнуть до асимптот  х = 2  і  у = 1, отже область визначення буде

D(у) = (∞; 2) (2; +∞).

Область значення очевидна:

Е(у) = (–; 1) (1; +∞).

ПРИКЛАД:

 Знайдіть область значення функції
за графіком.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Область значення очевидна:

Е(у) = [–6; –2] {–1} (0; +∞).

ПРИКЛАД:

Знайдіть область значення функції
за графіком.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Область значення очевидна:

Е(у) = (–2е; +∞).

Завдання до уроку 10
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий