Урок 10. Знаходження області визначення і області зміни за допомогою графіка

Якщо функція задана графічно, то для знаходження області визначення її графік треба спроектувати на вісь  Ох. А якщо графік функції спроектувати на вісь  Оу, одержимо множину значень (зміни) функції.

Находження області значень функції по її графіку.

Побудуйте графік функції. У багатьох випадках простіше знайти область значень функції, побудувавши її графік.

Областю значень багатьох квадратичних функцій є

(–∞, 0]  чи  [0, ∞),

оскільки вершина параболи, спрямованої управо або вліво, лежить на осі  Х. В цьому випадку область значень включає усі позитивні значення  у, якщо парабола зростає, або усі негативні значення  у, якщо парабола убуває.

Вершини графіків деяких функцій лежать вище або нижче осі  Х. В цьому випадку область значень визначається координатою  у  вершини параболи.

ПРИКЛАД:

Якщо координата  у  вершини параболи рівна  –4, а парабола зростає, то область значень рівна

[–4, ∞).

Побудувавши графік функції, ви побачите на нім точку, в якій функція має мінімальне значення. Якщо наочного мінімуму немає, він не існує, а графік функції йде в нескінченність.

Побудувавши графік функції, ви побачите на нім точку, в якій функція має максимальне значення. Якщо наочного максимуму немає, він не існує, а графік функції йде в нескінченність.

Найпростіший спосіб побудувати графік функції – це скористатися графічним калькулятором або спеціальним програмним забезпеченням. Якщо немає графічного калькулятора, побудуйте приблизний графік, підставивши у функцію декілька значень  х  і, вичисливши відповідні значення  у, нанесіть знайдені точки на координатну площину, щоб отримати загальне уявлення про форму графіку.

ПРИКЛАД:

Знайдіть область значень функції  у = √͞͞͞͞͞x  за графіком.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З графіка видно, що мінімальне значення змінна у приймає при  х = 0. Максимальне значення не визначається, при цьому видно, що при зростанні  х  значення  у  також зростає. Тоді область значень буде такою:

Е(у) = [0; +∞).

Нижче наведено декілька прикладів графіків функцій.

Графіки функцій показані жирними синіми лініями, тонкі червоні лінії – це асимптоти, жовтими точками та лініями на осі 0у зображено область значень відповідної функції.

Темні точки позначають, що число входить у область значень.

Світлі точки позначають, що число не входить у область значень.

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення та область значення функції  у = 2,6  за графіком.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З графіка видно, що функцією є пряма, яка паралельна осі  х  і перетинає вісь у точці  2,6. Пряма прагне в нескінченність і вправо і вліво вздовж паралельно осі  х, не перетинаючи її, а також перетинає вісь  у  в точці  у = 2,6 (на графіку темна точка), отже область визначення буде

D(у) = (–∞; +∞).

Область значення очевидна:

Е(у) = {2,6}.

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення і область значення функції за графіком.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З графіку видно, що функція прагне в нескінченність і  управо і вліво уздовж осі  х, не перетинаючи її (на графіці біла точка), а також перетинає вісь  у  в точці  у = 9 (на графіці темна точка),  означає область визначення буде

D(у) = (–∞; +∞).

Область значення очевидна:

Е(у) = (0; 9].

Нуль не входить в область значень, а дев'ять входить.

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення та область значення функції

за графіком.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З графіка видно, що функцією є крива, яка перетинає вісь у точці  0. Крива прагне в нескінченність і вправо і вліво, максимум якої  +1, а мінімум  –1 (на графіку темні точки), отже область визначення буде

D(у) = (–∞; +∞).

Область значення очевидна:

Е(у) = [+1; –1].

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення та область значення функції

у = arctg x

за графіком

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З графіка видно, що функцією є крива, яка перетинає вісь у точці 0. Крива прагне в нескінченність і вправо і вліво. Прагне до точок  + ^π/₂  і  – ^π/₂ (на графіку світлі точки), отже область визначення буде

D(у) = (–∞; +∞).

Область значення очевидна:

Е(у) = (–^π/₂; + ^π/₂).

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення та область значення функції

у = е^–х – 2

за графіком.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З графіка видно, що функцією є крива, яка перетинає вісь у точці  –1. Крива прагне нескінченності і вправо і вліво. Прагне до точки  –2 (на графіку світла точка), отже область визначення буде

D(у) = (–∞; +∞).

Область значення очевидна:

Е(у) = (–2; +∞).

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення та область значення функції

за графіком.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З графіка видно, що функцією є дві криві, одна з яких перетинає вісь  у  в точці  0. Криві прагне в нескінченність і вправо і вліво, а також прагнуть асимптота  х = 2, значить область визначення буде

D(у) = (–∞; 2) ∪ (2; +∞).

Область значення очевидна:

Е(у) = (–∞; 0] ∪ [4; +∞).

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення та область значення функції

за графіком.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З графіка видно, що функцією є дві криві, одна з яких перетинає вісь  у  в точці  0. Криві прагне в нескінченність і вправо і вліво, а також прагнуть до асимптот  х = 2  і  у = 1, отже область визначення буде

D(у) = (–∞; 2) ∪ (2; +∞).

Область значення очевидна:

Е(у) = (–∞; 1) ∪ (1; +∞).

ПРИКЛАД:

 Знайдіть область значення функції

за графіком.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Область значення очевидна:

Е(у) = [–6; –2] ∪ {–1} ∪ (0; +∞).

ПРИКЛАД:

Знайдіть область значення функції

за графіком.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Область значення очевидна:

Е(у) = (–2е; +∞).

Завдання до уроку 10

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Координатна площина
• Урок 2. Діаграми
• Урок 3. Графіки
• Урок 4. Множини
• Урок 5. Що таке функція ?
• Урок 6. Аналітичній спосіб задання функції
• Урок 7. Табличний спосіб задання функції
• Урок 8. Графічний спосіб задання функції
• Урок 9. Знаходження області визначення і області значення функції аналітичним способом
• Урок 11. Нулі функції
• Урок 12. Зростання і спадання функції
• Урок 13. Екстремальні значення функцій
• Урок 14. Симетричні функції
• Урок 15. Парні і непарні функції
• Урок 16. Функція, зворотна даною
• Урок 17. Лінійна функція
• Урок 18. Графік лінійної функції
• Урок 19. Пряма пропорційність
• Урок 20. Графік прямої пропорціональності
• Урок 21. Взаємне розташування графіків лінійних функцій
• Урок 22. Функція обернено пропорціональної залежності
• Урок 23. Графік функції обернено пропорціональної залежності
• Урок 24. Квадратична функція
• Урок 25. Графік функції  у = aх² + b
• Урок 26. Графік функції  у = a(х - m)² + n
• Урок 27. Графік функції  у = aх² + bx + c
• Урок 28. Функція  у = √͞͞͞͞͞х   і її графік
• Урок 29. Функція  у = хⁿ   і її графік
• Урок 30. Побудова графіків функцій методом геометричних перетворень