Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

понедельник, 1 мая 2017 г.

Урок 12. Зростання і спадання функції

Функція називається зростаючою на даному проміжку, якщо для двох довільних значень аргументу з цього проміжку більшому значенню аргументу відповідає і більше значення функції.

Інакше: якщо при  х1 < х2, де  х1  і  х2 – довільні значення аргументу з даного проміжку,  f(х1) < f(х2), то кажуть, що функція  f(х)  зростає на цьому проміжку.
Можна також говорити про зростання чи спадання функції не на всій області визначення, а тільки на окремих проміжках.

Функція називається спадаючою на даному проміжку, якщо для двох довільних значень аргументу з цього проміжку більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Якщо при  х1 < х2, де  х1  і  х2 – довільні значення аргументу з даного проміжку,  f(х1) > f(х2), то кажуть, що на цьому проміжку функція  f(х)  спадає.
Іншими словами, функція зростає (зменшується) на проміжку, якщо які б два значення аргументу, що належать цьому проміжку, не взяти, виявиться, що більшому значенню аргументу відповідає більше (менше) значення функції.
Функції, що в якому-небудь проміжку тільки зростають або тільки спадають, називаються монотонними в цьому проміжку.
Якщо функція зростає в якому-небудь проміжку, то її графік із збільшенням  х  на цьому проміжку піднімається все вище, а якщо спадає, то її графік опускається всё нижче.
Іншими словами при русі вздовж осі абсцис зліва направо ордината графіка зростаючої функції збільшується,
а ордината графіка спадної функції зменшується.
Якщо функція зростає на всій області визначення, то її називають зростаючою функцією: якщо ж функція спадає на всій області визначення, то її називають спадною функцією.

ПРИКЛАД:

На рисунку зображено графік функції, областю визначення якої є проміжок

[–1; 4].
Ця функція є зростаючою, бо вона зростає на всій області визначення.

ПРИКЛАД:

На рисунку зображено графік функції, областю визначення якої є проміжок

[–1; 4].
Ця функція є спадною, бо вона спадає на всій області визначення.

Зростаючими, наприклад, є функції 

у = 2х,  у = √͞͞͞͞͞х,

а спадними – функції 

у = –2х, у = –х.

ПРИКЛАД:

Розглянемо функцію  y = f(x), графік якої зображено на рисунку.
На проміжку  [–3; 2]  графік  <<іде в гору>>: якщо збільшувати значення  х  із цього проміжку, то відповідні значення функції збільшуватимуться. Наприклад, візьмемо значення аргументу

х1 = –3  і  х2 = –1, тоді  х1 ˃ х2. Оскільки 
f(х1) = f(–3) = –2, а 
f(х2) = f(–1) = 0,
то  f(х2) ˃ f(х1). 

Більшому значенню аргументу  (х2)  відповідає більше значення функції  (f(х2)). Кажуть, що на проміжку  [–3; 2]  функція  y = f(x)  зростає (або є зростаючою). Такою ж вона є й на проміжку  [5; 7]. на проміжку  [2; 5]  графік функції  y = f(x)  <<іде вниз>>: якщо збільшувати значення аргументу, то відповідні значення функції змешуватимуться. Кажуть, що на цьому проміжку функція  y = f(x)  спадає (або є спадною). Функція є ні зростаючою, ні спадною. Вона лише зростає або спадає на окремих проміжках.   

Іноді кажуть і про не зростаючі і не спадні функції. Якщо при  х1 < х2, де – х1  і  х2  – довільні значення аргументу з даного проміжку,  f(х1) ≤ f(х2), то функцію  f(х)  називають не спадною на цьому проміжку. Аналогічно визначається і не зростаюча функція. Кожна зростаюча функція є й не спадною, але не кожна не спадна є зростаючою.
Розглянемо для прикладу функцію  у = [х], де символом  [х]  позначена ціла частина числа  х, точніше, найбільше ціле число, яке не перевищує  х.

ПРИКЛАД:

[2,4] = 2;
[0,25] = 0;
[7] = 7;
[ –3,2] = –4.

ПРИКЛАД:

Графік функції  у = [х]  наведено на рисунку.
Розглянемо цю функцію на проміжку

2 ≤ х < 3.

Як би не змінювалося значення  х  на цьому проміжку, значення функції залишається незмінним і дорівнює  2. Отже, дану функцію на цього проміжку можна назвати не спадною (і не зростаючою), але назвати її зростаючою або спадною на цьому проміжку не можна.    

ПРИКЛАД:

Функція

у = х2

за будь-яких позитивних значеннях  х  зростає.

Справді, нехай

х1 ˃ 0, х2 ˃ 0  і  х2 ˃ х1,

тоді
звідки
Це число позитивне, оскільки

х2 – х1 ˃ 0  і  х2 + х1 ˃ 0.

Значить  у2 ˃ у1, тобто функція  у = х2  зростає при позитивних значеннях  х.

Та ж функція при будь-яких негативних значеннях  х  зменшується.
Справді, нехай

х1 < 0, х2 < 0  і  х2 ˃ х1.

ТодіЦе число негативне, оскільки

х2 – х1 ˃ 0,  а  х2 + х1 < 0.

Значить  у2 < у1  тобто функція  у = х2  зменшується при негативних значеннях  х.

ПРИКЛАД:

Функція

у = х3 + 2

зростає на всій області визначення, тобто при всіх дійсних значеннях  х.

ПРИКЛАД:

Дослідити на монотонність функцію:

у = 2х3 + 3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  х1 < х2. оді за властивостями числових нерівностей маємо

х31 < х32,  2х31 < 2х32,

2х31 + 3 < 2х32 + 3, тобто

f(х1) <  f(х2).

Отже,  х1 < х2,   f(х1) <  f(х2), а це означає, що функція

у = 2х3 + 3

зростає на всій числовій прямій.

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:
Користуючись побудованим графіком, знайдіть проміжки зростання і спадання функції.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

При  х ≤ –1  графіком функції буде частина гіперболи
з проміжком зростання  (–∞; –1].

При  х ˃ –1  графіком функції буде частина параболи  х2  з проміжком спадання  (–1; 0], зростання – [0; +∞).

ВІДПОВІДЬ;  проміжки зростання: (–∞; –1]  і  [0; +∞), проміжки спадання:  (–1; 0].

Завдання до уроку 12
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий