Урок 2. Объём прямой призмы

ВИДЕОУРОК

Основные допущения об объемах.

Объемом геометрического тела называется величина части пространства, занимаемого этим телом.

Принято рассматривать объём как величину, обладающую следующими свойствами:

– равные тела имеют равные объёмы;

– объём какого-нибудь тела, состоящего из частей, равен сумме объёмов этих частей;

– если из двух геометрических тел первое содержится целиком внутри второго, то объём первого тела не превосходит объёма второго;

 – если два тела могут быть расположены так, что любая плоскость, параллельная какой–нибудь данной плоскости и пересекающая оба тела, даёт в сечении с ними равновеликие фигуры, то объёмы таких тел одинаковые.

Объём прямой призмы  V  равен произведению её основания на высоту.

где  S_осн – площадь основания призмы, h – высота призмы.

Применение тригонометрических функций для решения стереометрических задач.

ЗАДАЧА:

Основанием прямой призмы является параллелограмм со сторонами  

9 см  и  14 см  

и углом между ними  30º. Высота призмы – 15 см. Найдите объём призмы.

РЕШЕНИЕ:

S_осн = 9 × 14 × sin 30º = 
9 × 14 × ¹/₂ = 63 (см²).

V = S_осн × Н = 63 × 15 
= 945 (см³).

ОТВЕТ:

945 см³.

ЗАДАЧА:

Дана прямая четырёхугольная призма  АС₁, у которой

и двугранный угол  AA₁OO₁DD₁= α. Найти объём призмы.

РЕШЕНИЕ:

Объём призмы  V= SH, где  S – площадь основания, а  Н – высота призмы. По условию задачи площадь основания  S = m. Необходимо определить высоту призмы  OO₁ = H  (призма прямая: OO₁ ⊥ пл.  ABCD).

Диагонали основания призмы

определим по данным площадям диагональных сечений 

p = H × AC, q = H × BD.

Угол  AOD = α  как линейный угол данного двугранного угла. Тогда площадь четырёхугольника  ABCD

Откуда найдам

Определим объём:

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА:

В основании прямой призмы лежит треугольник с углами  α  и  β. Диагональ боковой грани, которая содержит сторону, для которой данные углы будут прилежащими, равна  d  и образует с плоскостью основания угол  γ. Найдите объём призмы.

РЕШЕНИЕ: 

Пусть в основании прямой призмы  АВСА₁В₁С₁  лежит треугольник  АВС, в котором  

∠ А = α, ∠ В = β.

Тогда данная диагональ грани  

АА₁В₁В,  А₁В = d. 

Поскольку ребро  АА₁  перпендикулярно плоскости  АВС, то проекция диагонали  А₁В  на эту плоскость будет сторона  АВ  треугольника  АВС. Поэтому по условию задачи  

∠ А₁ВА = γ.

Объём призмы

V = S × h.

Из  ∆A₁BA (∠A = 90°) h = 
AA₁ = d sin γ, AB = cos γ.

По  теореме синусов для треугольника  АВС  имеем:

Тогда:

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА:

В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник. Две диагонали смежных боковых граней, которые имеют общую вершину, равны  l  и образуют между собой угол  α. Плоскость, которая проходит через эти диагонали, наклонена к плоскости основания под углом  β. Найдите объём призмы.

РЕШЕНИЕ: 

Пусть в основании прямой призмы  

АВСА₁В₁С₁  

лежит равнобедренный треугольник  

АВС (АВ = ВС).

Боковыми гранями прямой призмы является прямоугольник. Поскольку  АВ = ВС, то прямоугольники  АА₁В₁В  и  СС₁В₁В  равны, и поэтому имеют равные диагонали. Проведем диагонали  АВ₁  и  СВ₁. По  условию, АВ₁ = СВ₁ =  l  и  ∠ АВ₁С = α. Из точки  В₁  проведём перпендикуляр  В₁N  до стороны  АС. Тогда по теореме про три перпендикуляра  ВN ⊥ АС. Поэтому  ∠ В₁NВ  будет линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями  АВ₁С  и  АВС, и, согласно условию задачи,  ∠ В₁NВ = β.

Объём призмы найдём по формуле:

V = S_осн × H.

Высота  В₁N  равнобедренного треугольника  АВ₁С  будет его биссектрисою и медианою.

Поэтому  ∠ АВ₁N = ^α/₂  и  АN = NС.

Из  ∆ АВ₁N (∠ N = 90º),

В₁N = АВ₁ cos ∠ АВ₁N = l cos ^α/₂,

АN = l sin ^α/₂.

Из  ∆ NВ₁B (∠ B = 90°),

H = B₁B = B₁N×sin β

= l cos ^α/₂×sin β,

BN = l cos ^α/₂×cos β.

Тогда:

S_осн = ¹/₂×AC×BN = AN×BN =

l sin ^α/₂×l cos ^α/₂×cos β =

 ¹/₂ l² sin α×cos β.

V = ¹/₂ l²×sin α cos β×l cos ^α/₂×sin β

= ¹/₄  l³×sin α×cos ^α/₂×sin 2β.

ОТВЕТ:

¹/₄  l³×sin α×cos ^α/₂×sin 2β.

ЗАДАЧА:

Основание прямой призмы – ромб со стороною  а  и тупым углом  α. Через большую диагональ нижнего основания и вершину тупого угла верхнего основания проведена плоскость, которая образует с плоскостью основания угол  β. Найдите объём призмы.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВСDА₁В₁С₁D₁ – данная призма.

АВСD – ромб со стороною  а,

∠ BAD = ∠ BCD = α.

Тогда  ВD – большая диагональ. Треугольник  ВDС₁ – данное сечение. По свойству диагоналей ромба  СО ⊥ ВD. По теореме про три перпендикуляра  С₁О ⊥ ВD. Тогда  ∠ С₁ОС – угол, который образуется плоскостью сечения с плоскостью основания.

По условию, ∠ С₁ОС = β.

Из  ∆ AOD (∠ O = 90º):

∠ A = ^α/₂,

OA = AD cos ∠ A = a cos ^α/₂,

OC = OA = a cos ^α/₂.

Из  ∆ OCC₁ (∠ C = 90º):

OC₁ = OC tg ∠ O = a cos ^α/₂ tg β.

V = S_осн. ∙ H = S_ABCD ∙ CC₁ =

= a² sin α ∙  a cos ^α/₂ tg β =

= a³ sin α cos ^α/₂ tg β.

ОТВЕТ:  a³ sin α cos ^α/₂ tg β

ЗАДАЧА:

Основание прямой призмы – ромб с большею диагональю  d  и острым углом  α. Через меньшую диагональ нижнего основания и вершину острого угла верхнего основания проведена плоскость, которая образует с плоскостью основания угол  γ. Найдите объём призмы.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВСDА₁В₁С₁D₁ – данная призма.

АВСD – ромб c острым углом  ВСD,

∠ BCD = α, АС = d.

Треугольник  ВС₁D – данное сечение.

∠ ОCD = ∠ ОCВ = ^α/₂.

Так как  СО ⊥ ВD  (как диагонали ромба), то по теореме про три перпендикуляра  ОС₁ ⊥ ВD. Тогда  ∠ С₁ОC – угол, который образуется плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию, ∠ С₁ОC = γ.

Из  ∆ СOD (∠ O = 90º):

OD = OC tg ∠ C = ^d/₂ tg ^α/₂,

BD = 2OD = d tg ^α/₂.

Из  ∆ OCC₁ (∠ C = 90º):

OC₁ = OC tg ∠ O = ^d/₂ tg γ.

S_ABCD = ¹/₂×AC×BD = 

^{= 1}/₂×d×d tg ^α/₂ = ¹/₂×d²×tg ^α/₂.

 V = S_осн.∙ H = S_ABCD ∙ CC₁ =

= ¹/₂×d²× tg ^α/₂× ^d/₂ tg γ =

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА:

Найдите объём четырёхугольной прямой призмы, высота которой равна  h, диагонали наклонены к плоскости основания под углами  α  и  β, а острый угол между диагоналями основания равен  γ.

РЕШЕНИЕ:

Из условия задачи имеем:

Четырёхугольная призма  АВСDА₁В₁С₁D₁  с высотой  h. Диагонали наклонены к плоскости основания под углом  α  и  β. Острый угол между диагоналями основания равен  γ.

Надо найти объём призмы  АВСDА₁В₁С₁D₁.

Так как высота призмы дана, то решение сводится к отысканию площади её основания  АВСD, которое является выпуклым четырёхугольником.

Площадь выпуклого четырёхугольника выражается через его диагонали  d₁, d₂  и угол между ними  γ  по формуле:

S = ¹/₂ d₁d₂ sin γ.

C₁C  и  D₁D  перпендикулярны плоскости основания. ∠ С₁АС = α, ∠D₁DВ = β. Из треугольников  АСС₁  и  ВDD₁  находим диагонали основания:

d₁ = AC = h∙ ctg α,

d₂ = BD = h∙ ctg β.

Найдём площадь четырёхугольника  АВСD, диагонали которого  АС  и  ВD  пересекаются в точке  О.

S_ABCD = ¹/₂ AC∙ BD∙ sin γ =

^= 1/₂ h²∙ ctg α∙ ctg β∙ sin γ.
V_призмы = S_ABCD∙ h =

^= 1/₂ h³∙ ctg α∙ ctg β∙ sin γ.

Задания к уроку 2

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Единицы измерения объёмов
• Урок 3. Объём наклонной призмы
• Урок 4. Объём правильной призмы
• Урок 5. Объём прямого параллелепипеда
• Урок 6. Объём наклонного параллелепипеда
• Урок 7. Объём прямоугольногопараллелепипеда 
• Урок 8. Объём куба
• Урок 9. Объём пирамиды
• Урок 10. Объём правильной пирамиды
• Урок 11. Объём усечённой пирамиды
• Урок 12. Объём цилиндра
• Урок 13. Объём конуса
• Урок 14. Объём усечённого конуса
• Урок 15. Объём шара и его частей
• Урок 16. Тела вращения
• Урок 17. Комбинации тел (2)
• Урок 18. Правильные многогранники
• Урок 19. Объёмы подобных тел