Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

суббота, 16 июня 2018 г.

Урок 3. Объём наклонной призмы

ВИДЕОУРОК
Наклонная призма равновеликая такой прямой призме, основание которой равно перпендикулярному сечению наклонной призмы, а высота – её боковому ребру.
На рисунке изображена  

 ABCDA1B1C1D1 

 – наклонная призма, а   

 A'B'C'D'A1' B1' C1' D1' 

 – прямая призма, основание которой  A'B'C'D', перпендикулярно к боковым рёбрам наклонной призмы, а высота (боковое ребро)  

 A' A1' = AA1 = H. 

 В этом случае
Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту:
где  Sосн  – площадь основания  ABCDE, а  H = OO1 – высота.
Если в наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное к боковым рёбрам, которое пересекает все боковые рёбра (сечение  KML  на рисунку).
Тогда объём призмы  V  можно найти по формуле:

 V = Sпер× l,

 где  Sпер – площадь сечения, l – длина бокового ребра.

Если в наклонной призме боковое ребро образует одинаковые углы со сторонами основания, которые выходят из его одного конца, то проекция ребра на плоскость основания будет биссектрисою соответствующего угла основания.

Если в наклонной призме две смежные боковые грани образуют одинаковые двугранные углы с основанием, то проекция на основание бокового ребра, которое принадлежит линии пересечения двух граней указанных двугранных углов, будет биссектрисою угла основания. 

ЗАДАЧА:

Через среднюю линию основания треугольной наклонной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объём отсечённой треугольной призмы равен  5. Найдите объём исходной призмы.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

Площадь основания отсечённой части меньше площади основания всей призмы в  4 раза (так как и высота и основание треугольника уменьшились в  2 раза). Высоты обеих частей призмы одинаковы, поэтому объём отсечённой части в  4 раза меньше объёма целой призмы, значит, объём исходной призмы равен 

5 ∙ 4 = 20.

ЗАДАЧА:

В наклонной треугольной призме площадь одной из боковых граней равна  m2, а расстояние её от противоположного ребра равно  2а. Найти объём призмы.
РЕШЕНИЕ:

Пусть  РМN – перпендикулярное сечение призмы,  

 АС1  и  МL ⊥ РN, 

 тогда по условию задачи  

 МL = 2а, а  РN × ВВ1 = m2. 

 Известно, что объём призмы

V = BB1 × SPMN,

 или

 V = 1/2× PN × ML × BB1
= 1/2(PN × BB1) × ML
= 1/2 m2 × 2a = am2.

ОТВЕТ:

V = am2.

ЗАДАЧА:

Боковое ребро наклонной треугольной призмы равно  6 см, две боковые грани её взаимно перпендикулярны и их площади равны  

 24 см2  и  30 см2. 

 Найдите объём призмы.

РЕШЕНИЕ:

Начертим наклонную треугольную призму  АВСА1В1С1  с боковым ребром  А1А = 6 см  и боковыми гранями  АСС1А1  и  ВСС1В1  которые взаимно перпендикулярны.

Проведем перпендикулярное сечение  A'B'C'. Тогда:
Поскольку  (A'B'C') ⊥ C1C  и плоскость  A1C1C  и  B1C1C  взаимно перпендикулярны, то  ∠ A'С'В'= 90°.
Поэтому,
Тогда объём равен:
ОТВЕТ:  60 см3.

ЗАДАЧА:

В наклонной треугольной призме основанием служит правильный треугольник. Одна из вершин верхнего основания треугольника проектируется в центр нижнего. Боковые рёбра призмы составляют с плоскостью основания угол  45°. Найдите объём призмы, если её высота равна  4.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Проекция  О  вершины верхнего основания  А1 – центр нижнего и является центром описанной около нижнего основания окружности. Отрезок  А1О – высота призмы. АО – катет прямоугольного треугольника  АОА1.

АО = А1О : tg 45° = 4.

АО – радиус  R  описанной окружности.

R = а : √͞͞͞͞͞3,

а = R∙ √͞͞͞͞͞3  = 4√͞͞͞͞͞3.

Площадь равностороннего треугольника находим по следующей формуле:
Vпризмы = SABC ∙ A1O.
 Vпризмы = 12√͞͞͞͞͞3 ∙ 4 = 48√͞͞͞͞͞3.

Задания к уроку 3
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий