Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

понедельник, 2 июля 2018 г.

Урок 7. Объём прямоугольного параллелепипеда

Рассмотрим объём предмета, который имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Моделью параллелепипеда может служить спичечная коробка, кирпич. 

Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью плоскими гранями, каждая из которых является прямоугольником.

Шкаф полностью вмещается в комнату, коробка полностью вмещается в шкаф. Говорят, что объём комнаты больше объёма шкафа, а объём шкафа больше объёма коробки.

На рисунке изображены два прямоугольных параллелепипеда, которые заполнены равными кубиками.

В каждом параллелепипеде по  36 кубиков. Эти параллелепипеды имеют равные объёмы, или, говорят, что их вместимость одинакова.

Равные прямоугольные параллелепипеды имеют равные объёмы.

Объём прямоугольного параллелепипеда равен сумме объёмов его частей. Как измеряется объём прямоугольного параллелепипеда ? Для этого прежде всего нужно установить единицу измерения. За единицу измерения объёма принимается объём куба, сторона которого равна какой-нибудь единице длины. Если длина ребра куба равна сантиметру, то такой куб называется

 кубическим сантиметром (см3),

если ребро равно метру, то такой куб называется

кубическим метром (м3);

если – дециметру, 

кубическим дециметром (дм3)

и т. д. 

Если измерения прямоугольного параллелепипеда выражены натуральным числом, то его объём показывает, сколько единичных кубов нужно, чтобы заполнить его.

Выведем правило вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда. Допустим, что его измерения  5 см, 3 см, 4 см.

Будем его заполнять кубиками с ребром в  1 см. Если длина и ширина одной грани – будем называть её основанием прямоугольного параллелепипеда – 5 см  и  3 см, то на ней уложится  5 ∙ 3, то есть  15 кубиков. Чтобы заполнить весь параллелепипед, нужно уложить  4  таких слоя, так как высота параллелепипеда равна  4 см. Следовательно, число всех кубиков будет:

15 ∙ 4 = 60.

Объём одного кубика  1 см3, и, значит, объём прямоугольного параллелепипеда

1 см3 ∙ 60 = 60 см3.

Итак, мы нашли объём прямоугольного параллелепипеда как произведение трёх его измерений:

5 ∙ 3 ∙ 4 (см3).

Имея единицу измерения, мы можем вычислить объём прямоугольного параллелепипеда на основании следующего правила.

Чтобы вычислить объём прямоугольного параллелепипеда, надо измерить одной и той же единицей измерения его длину, ширину и высоту и полученные числа перемножить.

Произведение укажет, сколько кубических единиц содержится в объёме прямоугольного параллелепипеда.

ПРИМЕР:

Если размеры прямоугольного параллелепипеда 

 (5 см, 4 см, 6 см), 

 то объём будет равен:

5 см × 4 см × 6 см = 120 см3.

Если обозначим объём буквой  V, а измерения буквами  а, b, с, то получим формулу:
Объём прямоугольного параллелепипеда, с рёбрами  а, b,  и  с,  равен произведению длин этих рёбер. 

Эта формула справедлива и тогда, когда измерения параллелепипеда выражаются дробными числами. При вычислении по этой формуле нужно следить, чтобы все измерения были выражены одной и той же единицей длины.

ПРИМЕР:

Измерения прямоугольного параллелепипеда  8 дм, 2,5 дм, 6 см. Найдите его объём.

РЕШЕНИЕ:

Выразим все измерения в дециметрах. Так как  6 см = 0,6 дм, то получим:

V = 8 × 2,5 × 0,6 = 12 (дм3). 

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.
где  Sосн – площадь основания прямоугольного параллелепипеда, h – высота прямоугольного параллелепипеда.

ЗАДАЧА:

Определите объём прямоугольного параллелепипеда через площади его граней:

Q1, Q2, Q3.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим измерения параллелепипеда через

x, y, z.

Тогда 

xy = Q1,  xz = Q2,  yz = Q3.

Перемножив правые и левые части этих уравнений, получим

(xyz)2 = Q1Q2Q3

откуда
ОТВЕТ:
Применение тригонометрических функций для решения стереометрических залач.

 ЗАДАЧА:

В основании прямой призмы лежит прямоугольник, диагонали которого образуют между собой угол  φ. Диагональ одной из боковых граней равна  b  и образует с плоскостью основания угол  α. Найдите объём призмы.

РЕШЕНИЕ:

Пусть основанием прямой призмы  

 АВСDА1В1С1D1  

 является прямоугольник  АВСD, О – точка пересечения диагоналей  АС  и  ВD  основания,  ∠ АОВ = φ.
Противоположными боковыми гранями призмы являются равные прямоугольники, диагонали которых равны. Считаем сначала, что заданна диагональ  А1В  грани  АА1В1В. Поскольку  АА1 ⊥ (АВС), то проекцией диагонали  А1В  на плоскость основания будет сторона  АВ. Согласно условию задачи:

∠ А1ОВ = α, А1В = b.
З  ∆А1АВ (∠ А = 90°),
АВ = А1В cos α = b cos α ,
АА1 = А1В sin α = b sin α.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому  OA = OB  и
З  ∆BАD (∠ А = 90°),
AD = AB tg∠ АBD =
b cos α tg (90º – φ/2) =
b cos α ctg φ/2.

Тогда 

V =AD  AB  AA1 =
b cos α ctg φ/2  b cos α  b sinα
Если считать заданной диагональ  A1D  грани  AA1D1D, то из  ∆ А1АD  получим: 

AD = b cos α, AA1 = b sin α.
Тогда из  ∆BAD,
AB = AD ctg (90° – φ/2) =
b cos α tg φ/2  и
ОТВЕТ:

ЗАДАЧА:

В прямоугольном параллелепипеде диагональ  d  образует с плоскостью основания угол  α, а с плоскостью боковой грани – угол  β. Найдите объём параллелепипеда.

РЕШЕНИЕ:

Пусть в прямоугольном параллелепипеде  

 АВСDА1В1С1D1  

 диагональ  В1D = d.
Поскольку  B1B⊥(ABC), а  

 B1C1⊥(D1C1C), 

 то  ∠ B1DB  и  ∠ B1DC1 

 – это углы, которые диагональ B1D   образует с плоскостью основания и с плоскостью боковой грани соответственно. Согласно  условию,

∠ B1DB = α  a  ∠ B1DC1 = β.
V = Sосн× H.
З  ∆ B1BD (∠ B = 90°),
B1B = H = B1D sin ∠ D = d sin α,
BD = B1D cos α = d cos α. 
З  ∆ B1C1D (∠ C1 = 90°),
B1C1 = BC = B1D sin ∠ D = d sin β.
З  ∆ BCD (∠C = 90°),
BC2+ CD2 = BD2,
d2sin2β + CD2 = d2sin2 α.
Теперь находим:

Sосн = BC×CD =
ОТВЕТ:
Задания к уроку 7
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий