Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

четверг, 9 августа 2018 г.

Урок 28. Функція у = √͞͞͞͞͞х і її графік

Функція  у = √͞͞͞͞͞х  і її властивості.

Розберемо функцію. Так як  х  лежить під коренем, то він може набувати лише невід’ємних значень. Також і має бути більшим або рівним нулю.

– область визначення – промінь [0; + ∞), це випливає з того, що вираз  √͞͞͞͞͞х    визначено лише при  х ≥ 0;

– множина значень функції є проміжок  [0; + ∞);

– значення функції  у = 0  є найменшим, а найбільшого значення функція не має;

– функція  у = √͞͞͞͞͞х  ні парна, ні непарна;

– функція неперіодична;

– точка  (0; 0)  є нулем функції;

– функція  у = √͞͞͞͞͞х  монотонно зростає на ділянці визначення  [0; + ∞).

– функція набуває позитивних значень на проміжку  [0; + ∞).

Графік функції  у = √͞͞͞͞͞х .

Побудуємо графік функції 

у = √͞͞͞͞͞х .

Оскільки вираження  √͞͞͞͞͞х   має сенс при  х > 0, то областю визначення функції  у = √͞͞͞͞͞х   служить безліч ненегативних чисел.

Складемо таблицю значень функції  у = √͞͞͞͞͞х   (наближені значення  у  для значень  х, цілих чисел, що не є квадратами, можна знайти за допомогою калькулятора):
Дробові значення тут наближені. Побудуємо в координатній площині точки, координати яких вказані в таблиці. Провівши від початку координат через ці точки плавну лінію, отримаємо графік функції

у = √͞͞͞͞͞х
Властивості функції  у = √͞͞͞͞͞х .

– якщо  х = 0, то  у = 0, тому початок координат належить графіку функції;
– якщо  х > 0, то  у > 0; графік розташований в першій координатній чверті;
– більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції; графік функції йде вгору.

Графік функції  у = √͞͞͞͞͞х , як і графік функції  у = х2, де  х ≥ 0, є гілка параболи. Це витікає з того, що ці графіки симетричні відносно прямої  у = х. Доказ симетрії графіків ґрунтований на тому, що точки з координатами  (a; b)  і  (b; a)  симетричні відносно прямої  у = х.

ПРИКЛАД:

Якім координати точки перетину графіків функцій
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Для знаходження абсциси точки перетину розв’яжемо рівняння:
х ≥ 0,   х1 = –2,  х2 = 1.

Звідси  х = 1, тоді  у = 1, тому точка перетину  (1; 1).

ВІДПОВІДЬ:  графіки перетинаються в точці  (1; 1)

ПРИКЛАД:

Якім координати точки перетину графіків функцій ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Для знаходження абсциси точки перетину розв’яжемо рівняння:
х ≥ 0,   х1 = –3,  х2 = 1.

Звідси  х = 1, тоді  у = 1, тому точка перетину  (1; 1).

ВІДПОВІДЬ:  графіки перетинаються в точці  (1; 1)

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графік функції складається з

частини прямої  у = х + 2  для  х ≤  –1,

частини параболи  у = х2  для  –1< х < 1  і

частини графіка функції  у = √͞͞͞͞͞х   для  х ≥ 1.

Функція зростає на проміжках  (–∞; –1]  і  [0; +∞)  і спадає на проміжку  [–1; 0].

ВІДПОВІДЬ:

проміжки зростання – (–∞; –1]  і  [0; +∞),

проміжок спадання – [–1; 0].
ПРИКЛАД:

Побудуйте в одній системі координат графіки функцій

у = √͞͞͞͞͞x   і  у = 6 – х.

За допомогою графіків укажіть значення  х, при яких значення функції  у = 6 – х  більші за значення функції  у = √͞͞͞͞͞x .

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Будуємо графік функції  у = √͞͞͞͞͞x, х ∈ [0; +∞)  і пряму, яка є графіком функції  у = 6 – х. Координати точок перетину графіків знайдемо із системи
Звідси  6 – х = √͞͞͞͞͞x.

Нехай  √͞͞͞͞͞x = t > 0. Одержимо:

6 – t2 = t,

t2 + t – 6 = 0,  

t1 = –3  не задовольняє умову  t > 0,

t2 = 2, √͞͞͞͞͞x = 2,

х = 4, у = 2,

А(4; 2).

Значення функції  у = 6 – х  більша від значень функції  у = √͞͞͞͞͞x, якщо  х ∈ [0; 4).

ВІДПОВІДЬ: [0; 4)
ПРИКЛАД:

Побудуйте в одній системі координат графіки функцій

у = √͞͞͞͞͞x   і  у = 2 – х.

За допомогою графіків укажіть значення  х, при яких значення функції  у = √͞͞͞͞͞x   більші за значення функції  у = 2 – х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графіки зображено на рисунку.
√͞͞͞͞͞x   > 2 – х  на проміжку  (1; +∞).

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть графічно рівняння

√͞͞͞͞͞x  = 8/х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графіки функцій  √͞͞͞͞͞x   та  8/х  зображено на рисунку.
Точкою перетину даних графіків є точка  А(4; 2). Тому розв’язком рівняння є  х = 4.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть графічно рівняння

√͞͞͞͞͞x  = 1/х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графіки функцій  √͞͞͞͞͞x   та  1/х  зображено на рисунку.
Точкою перетину даних графіків є точка  А(1; 1). Тому розв’язком рівняння є  х = 1.
Перерахувати властивості функції.

– область визначення функції – вся числова пряма;

– функція непарна, оскільки
– функція зростає на всій числовій прямій.
Для побудови графіка функції складемо таблицю кубічних коренів (наближені значення):
Нанесемо отримані точки на координатну площину та з'єднаємо їх плавною кривою. Потім до побудованої гілки додамо гілка, симетричну їй щодо початку координат. Отримаємо графік функції
Графік функції зображено на кресленні.
При парному  n  функція
володіє тими самими властивостями, що і функція  у = √͞͞͞͞͞x, і графік її нагадує графік функції  у = √͞͞͞͞͞x.
 При непарному  n  функція
має ті ж властивості, що і функція

та графік її нагадує графік функції
ПРИКЛАД:

При якому значенні  а  графік функції

у = ах-3

проходить через точку

А (3; 1/54) ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

у = ах-3.

Якщо графік проходить через точку  А(3; 1/54), то:

1/54 = а ∙ 3-3,

1/54 = а ∙ 1/27,  а = 0,5.

ПРИКЛАД:

При якому значенні  а  графік функції

у = ах-5

проходить через точку

В (1/2; 192) ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

у = ах-3.

Якщо графік проходить через точку  В(1/2; 192), то:

192 = а ∙ (1/2)-5,

192 = 32а, а = 6.

Завдання до уроку 28
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий