Уроки математики и физики (RU + UA)

четверг, 23 августа 2018 г.

Урок 13. Объём конуса

Построим два многоугольника в плоскости основания конуса: многоугольник   Р, который содержит основание конуса, и многоугольник  Р', который находится в основании конуса. Построим две пирамиды с основаниями  Р  и  Р'  и вершиной в вершине конуса. Первая пирамида содержит конус, а вторая пирамида находится в конусе.
Как мы знаем, существуют такие многоугольники  Р  и  Р', площади которых при неограниченном увеличении числа их сторон  n  неограниченно приближаются к площади круга в основании конуса.
За величину объёма конуса принимают границу, к которой приближается объём правильной вписанной в конус (или описанной вокруг него) пирамиды при неограниченном увеличении числа её боковых граней.
Для таких многоугольников объёмы построенных пирамид неограниченно приближаются до
где  S – площадь основания конуса, а  H – его высота. Отсюда следует, что:
Объём конуса равен произведению площади основания на третью часть высоты.
ЗАДАЧА:

Высота и образующая конуса относятся, как  35 : 37. Полная поверхность конуса равна  588π см2. Найдите объём конуса.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим высоту конуса  Н = 45х, а образующую  L = 37х. Тогда радиус основания конуса
Полная поверхность конуса

Sполн = πR(R + L) =
12πx(12x + 37x) = 588πx2

и по условию

588πx2 = 588π.

Откуда  х = 1, тогда  

R = 12 см, Н = 35 см.

Объём конуса
ОТВЕТ:

V = 1680π см3  5277,88 см3.

ЗАДАЧА:

Найдите объём конуса, если его осевым сечением является правильный треугольник со стороною  12 см.
РЕШЕНИЕ:

Пусть  QAB – осевое сечение конуса,

QА = QВ = АВ = 12 см.

Поэтому радиус основания:
В  QOA  высота:
Объём конуса:
Применение тригонометрических функций для решения стереометрических задач.

ЗАДАЧА:

Разность между образующей и высотой конуса равна  m, а угол между ними равен  α. Найти объём конуса и вычислить его значение при

m = 5,8 см  и  α = 42°.

РЕШЕНИЕ:

Дан конус  SAB, у которого  SA – SO = m, OSА = α.
Обозначим  AO = R  и  OS = H, тогда объём конуса

V = 1/3 πR2H.
Из  ∆ SAO  найдём  H = R ctg α, тогда
V = 1/3 πR3ctg α.

Для определения  R  рассмотрим AOC. В этом треугольнике 

AC = m,
AOC = 90° – α,
OCA = 180° – SCO =
180° – 1/2 (180° – α) = 90° +1/2 α, а
AOC = 180° – 1/2 (180° – α) = α/2, бо

OSC  по условию задачи равнобедренный  (SO = SC). По теореме синусов из  AOC  находим
R = m ctg α/2.

Для вычисления объёма конуса получим окончательную формулу

V = 1/3 m3ctg3 α/2 ctg α (куб. од.).

При  m = 5,8 см  и  α = 42°  имеем с четырьмя значащими цифрами

ctg α/2 = 2,605, ctg 42° = 1,111.
(m ctg α/2)3 = 3449,1.
V = 1277 3 = 1,277 дм3.

ОТВЕТ:  V = 1,277 дм3 

ЗАДАЧА:

Через две образующих конуса, угол между которыми равен  α, проведена плоскость, которая образует с плоскостью основания угол  β. Найдите объём конуса, если его образующая равна  а.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
– его высота. Плоскость сечения  SАВ  проходит через образующие    и  , тогда  АSВ = α.

SА = SВ = а.

Проведем  АВ. М – середина  АВ, ASМ = α/2. По теореме про три перпендикуляра  ОМ АВ.

Тогда  SМO – угол, который образует плоскость сечения с плоскостью основания.

SМO = β.

Из  SMA (М = 90°):

AM = SA sin ASМ = a sin α/2.

SM = SA cos ASМ = a cos α/2.

Из  SOM (O = 90°):

SO = SM sin SМO = a cos α/2 sin β.

Из  SOA (O = 90°):

OA2 = SA2 – SO2 =

= a2 – a2cos2α/2 sin2 β =

= a2(1cos2α/2 sin2 β).

Vк = 1/3 SоH = 1/3 πOA2 SO =

= 1/3 πa2(1cosα/2 sin2 β) a cos α/2 sin β =

= 1/3 πa3(1cos2 α/2 sin2 β) cos α/2 sin β

ОТВЕТ:

1/3 πa3(1cos2 α/2 sin2 β) cos α/2 sin β

ЗАДАЧА:

Найдите объём конуса, образующая которого  l  видна из середины высоты конуса под углом  α.

РЕШЕНИЕ:

Дан конус с образующей  l.
РО – высота конуса, М – середина высоты.

РА  видна из точки  М  под углом  α.

Объём конуса находим по следующей формуле:

Vконуса = 1/3 Sосн OP

Введём обозначения: вместо  ОР – Н, радиус основания конуса  ОА – R.

Решение задачи сводится к нахождению площади основания конуса и его высоты.

Sосн = π ОА2.

Треугольник  АМО – прямоугольный, угол  ОМА = π – α.

МО = R ctg (π – α) = –R ctg α.

Н = 2МО = –2R ctg α.

Из треугольника  РАО  по теореме Пифагора имеем

R2 + (2R ctg α)2 = l2.
Мы нашли радиус основания конуса, теперь найдём его высоту  Н:
Объём конуса будет равен:
Задания к уроку 13
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий