Уроки математики и физики (RU + UA)

воскресенье, 26 августа 2018 г.

Урок 14. Объём усечённого конуса

Объём усечённого конуса равен сумме объёмов трёх конусов, имеющих одинаковую высоту с усечённым конусом, а основания: один – нижнее основание этого конуса, другой – верхнее и третий – круг, площадь которого есть среднее геометрическое между площадями верхнего и нижнего оснований:
где  Н – высота усечённого конуса, а  R  и  r – радиусы его оснований.

Выразим объём усечённого конуса через площади оснований.

Vус. кон. = 1/3 πH (R2 + r2 + Rr) =

= 1/3 H (πR2 + πr2 + πRr) =

= 1/3 H (S1 + S2 + √͞͞͞͞͞S1S2),

где  S1 и S2 – площади оснований.

ЗАДАЧА:

Радиусы оснований усечённого конуса равны  8 см  и  6 см, а его высота – 3 см. Найдите объём усечённого конуса.

РЕШЕНИЕ:

V = 1/3 H (S1 + S2 + √͞͞͞͞͞S1S2) =

= 1/3 πH (R2 + r2 + Rr).

V = 1/3 π 3(64 + 36 + 68) =

= π(100 + 86) = 148π (cм3).

ЗАДАЧА:

Ведро в форме усечённого конуса имеет радиусы оснований – 12 см  и  18 см, образующую  20 см. Найдите объём ведра.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Проведём  ВС = ОО1 = h. Как видно из рисунка  ∆ АВС – прямоугольный, АВ = l = 20 см. Найдём  АС. Так как  ВОО1С – прямоугольник (а у прямоугольника противоположные стороны равны, то  ВO = 1). Откуда можно утверждать, что

AC = AO1 – BO = R – r =

=18 – 12 = 6 (см).

Поскольку  ∆ АВС – прямоугольный, то по теореме Пифагора

h = OO1 = BC =
V = 1/3 H (S1 + S2 + √͞͞͞͞͞S1S2).

V = 1/3 π 19(144 + 324 + √͞͞͞͞͞144324) =

6,3π(468 + 1218) 4309,2π (cм3)

ОТВЕТ:  4309,2π см3

ЗАДАЧА:

Объём усечённого конуса равен  248π см3, его высота  8 см, а радиус одного из оснований – 4 см. Найдите боковую поверхность усечённого конуса.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Боковую поверхность усечённого конуса найдём по формуле:

Sб = π(R1 + R2) l,

где  R1, R2 – радиусы оснований, l = АВ – секущая. Объём вычисляется по следующей формуле:

Vус. кон. = 1/3 πH (R2 + r2 + Rr).

Зная объём и высоту найдём радиус другого основания из уравнения:

248π = 8/3 π (42 + 4R2 + R22),

R22 + 4R2 + 16 = 93,

R22 + 4R277 = 0, R2 = 7 см.

Так как,  АО = 4 см, ВО1 = 7 см, то опустив высоту  АК  прямоугольной трапеции  АВО1О, получим

ВК = ВО1 – КО1 =

= ВО1 – АО =

= 7 – 4 = 3 (см).

По теореме Пифагора из треугольника  АКВ (К = 90°)
Таким образом, боковая поверхность усечённого конуса равна:

Sб = (4 + 7)π√͞͞͞͞͞73 = 11π√͞͞͞͞͞73 (см2).

ОТВЕТ:  11π√͞͞͞͞͞73 см2

ЗАДАЧА:

В усечённом конусе радиусы оснований и образующая относятся как  

3 : 11 : 17

а объём равен  815π см3. Найдите полную поверхность 
усечённого конуса.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим  

О1А = r = 3х, 
ОВ = R = 11х  и  
АВ = L = 17х.
Тогда из прямоугольного треугольника  АМВ
По условию задачи объём усечённого конуса  815π, поэтому,
Откуда  х = 1 см, тогда 

R = 11 см, 
r = 3 см, 
L = 17 см.

Полная поверхность усечённого конуса:

Sполн = π[(R + r)L + R2 + r2] =
π[(11 + 3)17 + 112 + 32] = 368π см2.

ОТВЕТ:

Sполн = 368π см2.   

Задания к уроку 14
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий