Урок 18. Правильные многогранники

Многогранник называют правильным, если у него все грани являются правильными  многоугольниками и в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер.

Правильные многогранники имеют правильную сетку, то есть все их грани имеют одинаковое число сторон, а из каждой вершины выходит одинаковое число рёбер. Доведено, что существует только пять правильных сеток, то есть, и пять правильных выпуклых многогранников.

Сумма чисел граней и вершин выпуклого многогранника на два больше чем число его рёбер:

В + Г = Р + 2,

где  В – число вершин, Г – число граней, Р – число ребер многогранника. 

Тетраэдр (правильный четырёхгранник), гранями которого является правильные треугольники. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников, поэтому сумма плоских углов при каждой вершине равна  180°. Тетраэдр имеет  4  грани, 6  рёбер и  4  вершины, в каждой из которых сходятся по  3  ребра.

Развёртка тетраэдра.

Свойства тетраэєдра и соотношения между его злементами.

Условные обозначения:

а – ребро многогранника;

N₁ = Г – число граней:

N₂ – число рёбер (сторон) у каждой грани;

N₃ – число ребер у каждой вершины;

N₄ = В – число вершин;

N₅ = Р – общее количество рёбер;

S – площадь поверхности;

V – объём;

R – радиус описанной окружности;

r – радиус вписанной окружности.

Гексаэдр (правильный шестигранник – куб), гранями которого являются правильные четырёхугольники. Гексаэдр имеет  6  граней, 12  рёбер и  8  вершин, в каждой из которых сходятся по  3  ребра.

Сумма плоских углов при каждой вершине равна  270°.

Развёртка гексаэдра.

Свойства гексаэдра и соотношения между его злементами.

Условные обозначения:

а – ребро многогранника;

N₁ = Г – число граней:

N₂ – число рёбер (сторон) у каждой грани;

N₃ – число ребер у каждой вершины;

N₄ = В – число вершин;

N₅ = Р – общее количество рёбер;

S – площадь поверхности;

V – объём;

R – радиус описанной окружности;

r – радиус вписанной окружности.

Октаэдр (правильный восьмигранник), гранями которого являются правильные треугольники. Октаэдр имеет  8  граней, 12  ребер и  6  вершин, в каждой из которых сходится по  4  ребра.

Сумма плоских углов при каждой вершине равна  240°.

Развёртка октаэдра.

Свойства октаэєдра и соотношения между его злементами.

Условные обозначения:

а – ребро многогранника;

N₁ = Г – число граней:

N₂ – число рёбер (сторон) у каждой грани;

N₃ – число ребер у каждой вершины;

N₄ = В – число вершин;

N₅ = Р – общее количество рёбер;

S – площадь поверхности;

V – объём;

R – радиус описанной окружности;

r – радиус вписанной окружности.

Додекаэдр (правильный двенадцатигранник), гранями которого являются правильные пятиугольники. Додекаэдр имеет  12  граней, 30  рёбер и  20  вершин, в каждой из которых сходится по  3  ребра.

Сумма плоских углов при каждой вершине равна  324°.

Развёртка додекаэдра.

Свойства додекаэєдра и соотношения между его злементами.

Условные обозначения:

а – ребро многогранника;

N₁ = Г – число граней:

N₂ – число рёбер (сторон) у каждой грани;

N₃ – число ребер у каждой вершины;

N₄ = В – число вершин;

N₅ = Р – общее количество рёбер;

S – площадь поверхности;

V – объём;

R – радиус описанной окружности;

r – радиус вписанной окружности.

Икосаэдр (правильный двадцатигранник), гранями которого являются правильные треугольники. Икосаэдр имеет  20  граней, 30  рёбер и  12  вершин, в каждой из которых сходится по  5  рёбер.

Сумма плоских углов при каждой вершине равна  300°.

Развёртка икосаэдра.

Свойства икосаэєдра и соотношения между его злементами.

Условные обозначения:

а – ребро многогранника;

N₁ = Г – число граней:

N₂ – число рёбер (сторон) у каждой грани;

N₃ – число ребер у каждой вершины;

N₄ = В – число вершин;

N₅ = Р – общее количество рёбер;

S – площадь поверхности;

V – объём;

R – радиус описанной окружности;

r – радиус вписанной окружности.

ЗАДАЧА:

Ребро правильного тетраэдра равно  а. Определите объём тетраэдра.

РЕШЕНИЕ:

Объём тетраэдра (как и любой пирамиды) вычисляют по формуле:

где – S_OC = S_ABC – площадь основания (треугольник  АВС),

H = DO – высота тетраэдра.

Тетраэдр  АВСD – треугольная пирамида, все рёбра которой равны и равны  а.

Поэтому в основании лежит правильный (равносторонний) треугольник со стороною  а. Поэтому площадь основания находим по формуле для равностороннего треугольника:

Поскольку тетраэдр – правильная треугольная пирамида, то высота  DO  проектируется в центр описанной вокруг треугольника  АВС  окружности, радиус которой равен:

Высота тетраэдра  DO  перпендикулярна к плоскости основания (треугольник  АВС), поэтому она перпендикулярна до каждой прямой, которая лежит в плоскости основания. откуда  DO ⊥ AO, поэтому треугольник  АOD (∠ AOD = 90°) – прямоугольный.
В нём известно, что  AD = a – гипотенуза (длина ребра тетраэдра) и

По теореме Пифагора найдём катет  DO – высоту тетраэдра:

DO² = AD² – AO²,

откуда

Объём тетраэдра:

ОТВЕТ:

Задания к уроку 18

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Единицы измерения объёмов
• Урок 2. Объём прямой призмы
• Урок 3. Объём наклонной призмы
• Урок 4. Объём правильной призмы
• Урок 5. Объём прямого параллелепипеда
• Урок 6. Объём наклонного параллелепипеда
• Урок 7. Объём прямоугольногопараллелепипеда 
• Урок 8. Объём куба
• Урок 9. Объём пирамиды
• Урок 10. Объём правильной пирамиды
• Урок 11. Объём усечённой пирамиды
• Урок 12. Объём цилиндра
• Урок 13. Объём конуса
• Урок 14. Объём усечённого конуса
• Урок 15. Объём шара и его частей
• Урок 16. Тела вращения
• Урок 17. Комбинации тел (2)
• Урок 19. Объёмы подобных тел