Уроки математики и физики (RU + UA)

воскресенье, 23 сентября 2018 г.

Урок 18. Правильные многогранники

Многогранник называют правильным, если у него все грани являются правильными  многоугольниками и в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер.

Правильные многогранники имеют правильную сетку, то есть все их грани имеют одинаковое число сторон, а из каждой вершины выходит одинаковое число рёбер. Доведено, что существует только пять правильных сеток, то есть, и пять правильных выпуклых многогранников.
Сумма чисел граней и вершин выпуклого многогранника на два больше чем число его рёбер:

В + Г = Р + 2,

где  В – число вершин, Г – число граней, Р – число ребер многогранника. 

Тетраэдр (правильный четырёхгранник), гранями которого является правильные треугольники. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников, поэтому сумма плоских углов при каждой вершине равна  180°. Тетраэдр имеет  4  грани, 6  рёбер и  4  вершины, в каждой из которых сходятся по  3  ребра.

Развёртка тетраэдра.
Свойства тетраэєдра и соотношения между его злементами.


Условные обозначения:

а – ребро многогранника;
N1 = Г – число граней:
N2 – число рёбер (сторон) у каждой грани;
N3 – число ребер у каждой вершины;
N4 = В – число вершин;
N5 = Р – общее количество рёбер;
S – площадь поверхности;
V – объём;
R – радиус описанной окружности;
r – радиус вписанной окружности.

Гексаэдр (правильный шестигранник – куб), гранями которого являются правильные четырёхугольники. Гексаэдр имеет  6  граней, 12  рёбер и  8  вершин, в каждой из которых сходятся по  3  ребра.
Сумма плоских углов при каждой вершине равна  270°.
Развёртка гексаэдра.
Свойства гексаэдра и соотношения между его злементами.
Условные обозначения:

а – ребро многогранника;
N1 = Г – число граней:
N2 – число рёбер (сторон) у каждой грани;
N3 – число ребер у каждой вершины;
N4 = В – число вершин;
N5 = Р – общее количество рёбер;
S – площадь поверхности;
V – объём;
R – радиус описанной окружности;
r – радиус вписанной окружности.

Октаэдр (правильный восьмигранник), гранями которого являются правильные треугольники. Октаэдр имеет  8  граней, 12  ребер и  6  вершин, в каждой из которых сходится по  4  ребра.
Сумма плоских углов при каждой вершине равна  240°.
Развёртка октаэдра.
Свойства октаэєдра и соотношения между его злементами.
Условные обозначения:

а – ребро многогранника;
N1 = Г – число граней:
N2 – число рёбер (сторон) у каждой грани;
N3 – число ребер у каждой вершины;
N4 = В – число вершин;
N5 = Р – общее количество рёбер;
S – площадь поверхности;
V – объём;
R – радиус описанной окружности;
r – радиус вписанной окружности.

Додекаэдр (правильный двенадцатигранник), гранями которого являются правильные пятиугольники. Додекаэдр имеет  12  граней, 30  рёбер и  20  вершин, в каждой из которых сходится по  3  ребра.
Сумма плоских углов при каждой вершине равна  324°.
Развёртка додекаэдра.
Свойства додекаэєдра и соотношения между его злементами.
Условные обозначения:

а – ребро многогранника;
N1 = Г – число граней:
N2 – число рёбер (сторон) у каждой грани;
N3 – число ребер у каждой вершины;
N4 = В – число вершин;
N5 = Р – общее количество рёбер;
S – площадь поверхности;
V – объём;
R – радиус описанной окружности;
r – радиус вписанной окружности.

Икосаэдр (правильный двадцатигранник), гранями которого являются правильные треугольники. Икосаэдр имеет  20  граней, 30  рёбер и  12  вершин, в каждой из которых сходится по  5  рёбер.
Сумма плоских углов при каждой вершине равна  300°.
Развёртка икосаэдра.
Свойства икосаэєдра и соотношения между его злементами.
Условные обозначения:

а – ребро многогранника;
N1 = Г – число граней:
N2 – число рёбер (сторон) у каждой грани;
N3 – число ребер у каждой вершины;
N4 = В – число вершин;
N5 = Р – общее количество рёбер;
S – площадь поверхности;
V – объём;
R – радиус описанной окружности;
r – радиус вписанной окружности.

ЗАДАЧА:

Ребро правильного тетраэдра равно  а. Определите объём тетраэдра.
РЕШЕНИЕ:

Объём тетраэдра (как и любой пирамиды) вычисляют по формуле:
где – SOC = SABC – площадь основания (треугольник  АВС),
H = DO – высота тетраэдра.
Тетраэдр  АВСD – треугольная пирамида, все рёбра которой равны и равны  а.
Поэтому в основании лежит правильный (равносторонний) треугольник со стороною  а. Поэтому площадь основания находим по формуле для равностороннего треугольника:
Поскольку тетраэдр – правильная треугольная пирамида, то высота  DO  проектируется в центр описанной вокруг треугольника  АВС  окружности, радиус которой равен:
Высота тетраэдра  DO  перпендикулярна к плоскости основания (треугольник  АВС), поэтому она перпендикулярна до каждой прямой, которая лежит в плоскости основания. откуда  DO AO, поэтому треугольник  АOD ( AOD = 90°) – прямоугольный.
В нём известно, что  AD = a – гипотенуза (длина ребра тетраэдра) и
По теореме Пифагора найдём катет  DO – высоту тетраэдра:

DO2 = AD2 – AO2,

откуда
Объём тетраэдра:
ОТВЕТ:
Задания к уроку 18
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий