Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 8. Графічне зображення функції

Будь-який функціональний зв'язок між двома величинами може бути зображений площинним графіком.

Нехай функція задана аналітично формулою у = f (x). Якщо на координатній площині відзначити всі точки, що володіють наступною властивістю: абсцис точки належить області визначення функції, а ордината дорівнює відповідному значенню функції - то вийде безліч точок (х; f (х)) – графік функції.

Графіком функції називається множина всіх точок, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати – відповідним значенням функції.

Найпростіший спосіб побудови графіка функції – за точками.

Насправді для побудови графіка функції становлять таблицю значень функції при деяких значеннях аргументу, наносять відповідні точки на площину і з'єднують отримані точки лінією. У цьому припускають, що знайдені точки досить точно показують хід зміни функції.

Візьмемо якусь функцію у = f (x). Щоб побудувати графік функції, насамперед треба, користуючись даною формулою, скласти таблицю, у якій записати значення Х і значення Y. Позначимо значення аргументу на осі абсцис, і відповідні значення функції – довжиною перпендикуляра, проведеного до осі абсцис з цієї точки. Потім на координатну площину нанести отримані точки та їх плавно з'єднати.

Тоді при можливих змінах аргументу кінці перпендикулярів утворюють кілька точок, яке називається графіком даної функції. Часто графіком функції буде певна лінія. Однак він може складатися з окремих точок, відрізків, дуг і таке інше.

Якщо функція задана графіком, то можна легко визначити для кожного (допустимого) значення аргументу відповідне значення функції. Для цього досить поставити у відповідній точці осі абсцис перпендикуляр до неї і продовжити його до перетину з графіком. Ордината точки перетину і дає відповідне значення функції.

Маючи графік функції, можна для будь-якого значення аргументу (з області визначення) вказати відповідне значення функції. Або навпаки, користуючись графіком, можна скласти таблицю значень функції. На графіці проміжки існування функції позначаються потовщенням осі абсцис, причому замкнутий кінець проміжку позначається точкою, а відкритий кінець (не включений до сфери існування) – кружком, стрілкою або зовсім не позначаються. Графічний спосіб завдання функції зручний своєю наочністю. Дивлячись на графік, відразу можна визначити властивості функції, що він задає.

Сукупність усіх точок числової осі, ув'язнених між двома якими-небудь точками цієї осі, називається проміжком.

Крайні точки проміжку називаються кінцями проміжку.

Проміжок із включенням його кінців називається замкнутим чи закритим проміжком, і навіть відрізком чи сегментом. Позначається: від

–1 до +1 або [–1; 1].

Проміжок без увімкнення його кінців називається відкритим проміжком або інтервалом.

Позначається:

(–1; 1).

Якщо один кінець приєднується до проміжку, а інший ні, такий проміжок, відкритий з одного боку і закритий з іншого, називається напіввідкритим проміжком або напівінтервалом.

Позначається.

(–1; 1] або [–1; 1).

ПРИКЛАД:

Графіком функції у = х є безліч точок виду (х; х), тобто точок, що мають однакові координати. Це безліч точок є бісектриса координатних кутів I и III.
ПРИКЛАД:

Нехай функція f задана таблицею:

Випишемо пари відповідних значень змінних х і у:

(–2; 2), (–1; 1), (0; 0), (1; –1), (2; 0), (3; 1), (4; 2).

Накреслимо осі координат: вісь х, зазвичай звану віссю абсцис, і вісь у, звану віссю ординат. Побудуємо на координатній площині точки, координатами яких є виписані пари чисел (перша координата точки – абсциса, друга координата точки – ордината). Багато побудованих точок називають графіком функції f.
Розглянемо безліч точок, зображених малюнку. Вважатимемо, що абсцисі кожної точки відповідає її ординату:

Тоді можна сказати, що між безліччю

X = {–2; –1; 0; 1; 2; 3; 4}

і безліччю

Y = {2; 1; 0; –1; 0; 1; 2}

за допомогою графіка задано відповідність.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції у = х².

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Складемо таблицю деяких значень функції:

Нанесемо знайдені точки

(0: 0), (0,5: 0,25), (–0,5: 0,25), (1: 1),

(–1: 1), (2: 4), (–2: 04), (3: 9), (–3: 9).

на координатну площину.

Поєднавши ці точки плавною лінією, отримаємо графік (а точніше ескіз графіка) функції у = х².

Цю лінію називають параболою. Взагалі параболою є графік будь-якої функції виду у = ах², де а ≠ 0.

ПРИКЛАД:

Нехай треба побудувати графік функції:

у = х² – 2.

Для цього обчислюємо значення функції для кількох значень аргументу, наприклад для

–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3.

Результати зручно записувати у вигляді таблиці.

Кожну пару одержаних значень х і у приймаємо за координати і будуємо по них на координатній площині точки. Потім через ці точки (від руки або за допомогою лекала). Проводимо плавну лінію. Це й буде графік даної функції.

у = х² – 2.