Урок 9. Знаходження області визначення і області значення функції аналітичним способом

Нехай дано функцію  y = f(x). Величини  х  і  у  можуть набувати мимовільні значення.

Сукупність всіх значень, які може приймати аргумент  х  функції, називається областю визначення цієї функції  D(y).

Сукупність всіх тих значень, які може набувати сама функція  у, називається областю значень цієї функції  Е(у).

ПРИКЛАД:

Результати вимірювання температури тіла хворого від часу подано в таблиці:

Час доби, х (год)	9	12	15	18	21	24
Температура тіла, y=f(x) (C°)	39	38,5	38,3	37,3	37,1	37

Залежність у =  f(х)  є функцією, де  х – незалежна змінна, у – залежна змінна.

у(9) = 39, у(12) = 38,5, у(15) = 38,3,

у(18) = 37,3, у(21) = 37,1, у(24) = 37.

D(y) = {9, 12, 15, 18, 21, 24},

E(y) = {39, 38,5, 38,3, 37,3, 37,1, 37}.

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:

у = 5х – 6.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки область зміни  х  не вказано, природно областю визначення функції вважати множину всіх значень змінної  х, при яких ця відповідність має сенс. Отже у даному випадку:

D(y) = (–∞; +∞).

ПРИКЛАД:

Знайдіть область значення функції:

у = 5х – 6.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки область визначення  х

D(y) = (–∞; +∞),

то область значення буде 

Е(у) = (–∞; +∞).

Для знаходження області визначення функції спочатку необхідно визначити тип функції:

Квадратична функція має вигляд

f(х) = 2х² + 3х + 4.

Функція, що містить дріб

Функція, що містить корінь

Потім потрібно вибрати відповідний запис для області визначення :

Область визначення записується в квадратних і/або круглих дужках.

Зазвичай область визначення і область зміни функції утворюють деякі числові проміжки. Проміжки бувають замкнуті і відкриті.

Замкнутим проміжком, або сегментом, називають безліч дійсних чисел, найбільшу, що містить, і найменшу з цих чисел, тобто безліч дійсних значень  х, що задовольняють умові

a ≤ x ≤ b.

Такий сегмент означають:

 [a, b]

Відкритим проміжком, або інтервалом, називають безліч дійсних значень  х, що задовольняють умові

a < x < b.

Такий інтервал означають:

 (a, b).

Кінці інтервалу  a  і  b  не належать йому; інтервал не має ні найменшого, ні найбільшого числа.

Іноді розглядають проміжки, замкнуті з одного боку, але відкриті з іншого.

Напівінтервал  a < x ≤ b  означають   

(a, b];

Напівсегмент  a ≤ x < b  означають   

[a, b).

Квадратна дужка застосовується у тому випадку, коли значення входить в область визначення функції, якщо значення не входить в область визначення, використовується кругла дужка. Якщо у функції декілька несуміжних областей визначення, між ними ставиться символ  ∪.

ПРИКЛАД:

Область визначення

[–2, 10) ∪ (10, 2]

Включає значення  –2  і  2, але не включає значення  10.

З символом нескінченності  ∞  завжди використовуються круглі дужки..

Область визначення функції  D(y).

Якщо функція містить дріб, прирівняйте її знаменник до нуля.

Пам'ятайте, що ділити на нуль не можна. Тому, прирівнявши знаменник до нуля ви знайдете значення  х, яке не входить в область визначення функції..

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Вираз

визначено при всіх  х, крім того значення, яке навертає знаменник в 0, – це значення  х = –2. Значить область визначення функції складається з усіх чисел, крім  х = –2.

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо  D(y), тобто які значення може набувати  х. Для цього знайдемо  ОДЗ (область допустимих значень дробу).

3 + х ≠ 0, х ≠ –3.

Значить  D(y)  цієї функції все безліч дійсних чисел крім  3.

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо  D(y), тобто які значення може набувати  х. Для цього знайдемо  ОДЗ (область допустимих значень дробу).

х² – 1 ≠ 0, х ≠ ±1.

Значить  D(y)  цієї функції все безліч дійсних чисел крім  ±1.

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо  D(y), тобто які значення може набувати  х. Для цього знайдемо  ОДЗ (область допустимих значень дробу).

х² – 3 ≠ 0, х² ≠ 3, х ≠ ±√͞͞͞͞͞3.

Значить  D(y)  цієї функції все безліч дійсних чисел крім  ±√͞͞͞͞͞3.

Якщо функція містить квадратний корінь, то підкорінне вираження має бути більше або дорівнює нулю.

Пам'ятайте, що квадратний корінь з негативних чисел не витягається. Тому будь-яке значення  х, при якому підкорінне вираження стає негативним, треба виключити з області визначення функції.

Якщо функція має вигляд

то слід вважати  f(x) ≥ 0  (арифметичний квадратний корінь иснує тільки з невід’ємних чисел).

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Підкорене вираз має бути невід'ємним:

3 – 2х ≥ 0.

Перенесемо  3  у праву частину зі зміною знака:

–2х ≥ –3.

Помножимо обидві частини нерівності на  –1.

2х ≤ 3.

Помножимо обидві частини нерівності на  ¹/₂.

х ≤ ³/₂.

ВІДПОВІДЬ:  D(y) = (–∞; ³/₂]

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Підкорінне вираження

х + 3.

Підкорінне вираження має бути більше або дорівнює нулю

х + 3 ≥ 0.

Знайдіть  х:

х ≥ –3.

Область визначення цієї функції включає безліч усіх дійсних чисел, які більше або рівні, –3.

Таким чином, область визначення:

[–3, ∞).

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Вираз

визначено за тих  х, яких

х – 1 ≥ 0,

тобто при  х ≥ 1. Значить область визначення функції – промінь

[1; +∞).

ПРИКЛАД:

Укажіть область визначення функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Функція

має зміст, якщо

3х + 9 ≥ 0, х ≥ –3.

ВІДПОВІДЬ:  [–3; +∞)

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Коріння квадратне визначено лише для невід'ємних чисел. Тому область визначення цієї функції можна як сукупність всіх значень  х, які задовольняють нерівності:

Насамперед, з'ясуємо, за яких значень аргументу х чисельник і знаменник цього дробу позитивні і за яких негативні. Вирішуючи нерівність

2х – 4 > 0, отримуємо  х > 2.

Таким чином, при  х > 2  чисельник позитивний, а при  х < 2  він, очевидно, негативний.

Заштрихована частина цієї числової прямої відповідає тій області, в якій він позитивний, а не заштрихована – тієї області, в якій він негативний.

Аналогічно досліджується знаменник  3 – 6х. Маємо:

3 – 6х > 0, 3 > 6х, 6х < 3, х < ¹/₂.

Заштрихована частина числової прямої

відповідає області, у якій знаменник  3 – 6х   позитивний, а чи не заштрихована – області у якій він негативний.

З малюнків видно, що обидва вирази (чисельник і знаменник) мають однакові знаки лише за

¹/₂ < х < 2.

Тому в цій галузі дріб

позитивна. При  х = 2  вона звертається до  0. Отже, областю визначення цієї функції є сукупність дійсних чисел, що задовольняють нерівності

¹/₂ < х ≤ 2.

Область значень функції.

Область значень функції записується аналогічно області визначення функції.

ПРИКЛАД:

Безліч  Х  називається областю визначення функції. Значення  Y, яке відповідає заданому значенню  Х  називають значенням функції. Область значення функції, яка задається багаточленом з однією змінною, є безліч всіх чисел.

Областю визначення функції  g  служить безліч:

{1;  2;  3;  4}.

Числа  15, 25  називаються значеннями функції  g. Безліч  {15; 25}  називається безліччю значень функції  g.

ПРИКЛАД:

Знайдіть область значень функції:

у = 5х – 6.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки область зміни  D(y) = (–∞; +∞),

Е(y) = (–∞; +∞).

ПРИКЛАД:

Знайти область визначення і множину значень функції.

Оскільки  х  входить під знак квадратного кореня, то повинно бути  х ≥ 0. При всіх таких значеннях  х  знаменник не дорівнює нулю, отже,  у  має значення. Таким чином, область визначення даної функції

 х ≥ 0.

При кожному допустимому значенні  х  знаменник

є додатне число, яке менше від  1  або дорівнює  1. Отже, у – додатне число, яке менше від  1  або дорівнює  1, тобто

0 < у ≤ 1.

Це і є множина значень даної функції.

ПРИКЛАД:

Знайдіть область значень функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Треба знайти всі значення  у, за всіх можливих  х. Для цього вирішуємо рівняння виду

(3 + х)А = 4х,

3А = 4х – хА,

3А = х(4 – А),

Значить  Е(у)  даної функції все безліч дійсних чисел, крім   4.

(–∞; 4)  і  (4; +∞).

ПРИКЛАД:

Знайдіть область значень функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Для знаходження області значень  Е(у)  виразимо  х  через  у:

Звідси видно, що

Е(у) = (–∞; 0) ∪ (0; +∞).

Іноді функція задається різних проміжках різними формулами. Таку функцію називають шматковою.

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Тут знаменник (х – 1). Прирівняйте знаменник до нуля і знайдіть  х.

х – 1 = 0, х = 1.

Запишіть область визначення функції.

Область визначення не включає  1, тобто включає усі дійсні числа за винятком  1. Таким чином, область визначення функції

(–∞, 1) ∪ (1, ∞).

Запис

(–∞, 1) ∪ (1, ∞)

читається так: безліч усіх дійсних чисел за винятком  1.

Символ  ∞  означає усі дійсні числа. У прикладі усі дійсні числа, які більше  1  і менше  1.

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Область визначення знайдемо із системи:

ВІДПОВІДЬ:

D(y) = (3; 4) ∪ (4; +∞)

ПРИКЛАД:

Укажіть область визначення функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Область визначення знайдемо із системи:

ВІДПОВІДЬ:

D(y) = (0; 81) ∪ (81; +∞)

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Область визначення знайдемо із системи:

ВІДПОВІДЬ:

D(y) = (⁵/₆; 1) ∪ (1; +∞)

Завдання до уроку 9

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Координатна площина
• Урок 2. Діаграми
• Урок 3. Графіки
• Урок 4. Множини
• Урок 5. Що таке функція ?
• Урок 6. Аналітичній спосіб задання функції
• Урок 7. Табличний спосіб задання функції
• Урок 8. Графічний спосіб задання функції
• Урок 10. Знаходження області визначення і області змині за допомогою графіка
• Урок 11. Нулі функції
• Урок 12. Зростання і спадання функції
• Урок 13. Екстремальні значення функцій
• Урок 14. Симетричні функції
• Урок 15. Парні і непарні функції
• Урок 16. Функція, зворотна даною
• Урок 17. Лінійна функція
• Урок 18. Графік лінійної функції
• Урок 19. Пряма пропорційність
• Урок 20. Графік прямої пропорціональності
• Урок 21. Взаємне розташування графіків лінійних функцій
• Урок 22. Функція обернено пропорціональної залежності
• Урок 23. Графік функції обернено пропорціональної залежності
• Урок 24. Квадратична функція
• Урок 25. Графік функції  у = aх² + b
• Урок 26. Графік функції  у = a(х - m)² + n
• Урок 27. Графік функції  у = aх² + bx + c
• Урок 28. Функція  у = √͞͞͞͞͞х   і її графік
• Урок 29. Функція  у = хⁿ   і її графік
• Урок 30. Побудова графіків функцій методом геометричних перетворень