Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

суббота, 20 августа 2016 г.

Урок 10. Лінійне рівняння з параметром

Що таке параметр ?

З поняттям параметра ми стикалися і раніше, не вживаючи цього терміна. Наприклад, лінійну функцію означали як функцію, яку можна задати формулою виду  у = kх + b, де букви  k  і  b  позначають параметри. Розглядаючи лінійне рівняння з двома змінними як рівняння виду  ах + bу = с, буквами  а, b  і  с  позначали параметри – коефіцієнти лінійного рівняння. 
Нехай дано рівність зі змінними  х, а:

f(х; а) = 0.

Якщо ставиться завдання для кожного дійсного значення а розв'язати це рівняння щодо  х, то рівняння  f(х; а) = 0  називають рівнянням зі змінною  х  та параметром  а.

Параметр – умовна літера, замість якої можна підставити число. Тобто параметр – це ще одна змінна, яка може набути кількох значень.

Як вирішувати рівняння з параметром, якщо у нас цілих дві (а то й більше) невідомих змінних?

Потрібен інший підхід, ніж під час вирішення нормального рівняння.

Розв'язати рівняння з параметром а – отже, для кожного значення  а, знайти значення  х, які відповідають цьому рівнянню.

Ми шукаємо не єдине значення параметра, а всі можливі значення для заданої умови.

ЗАДАЧА:

Вранці на термометрі була кілька градусів, яку ми позначимо за  х. В обід температура повітря змінилася кілька разів. У скільки разів мала змінитися температура повітря, щоб на термометрі було  20 градусів ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Такі завдання досить легко вирішуються. Якби спочатку було п'ять градусів, то шукане число дорівнювало б  20 : 5 = 4. А якщо було  10 градусів, то шукане число дорівнювало б  20 : 10 = 2.

Але ми не знаємо, якою була температура. Так само не знаємо, скільки разів вона змінилася. Тобто отримали рівняння із двома невідомими змінними.

Позначимо другу змінну  а, у нас вийшло рівняння виду  ах = 20.

Щойно введена змінна  а  є параметр.

Оскільки параметр – змінна у рівнянні, що є коефіцієнтом, його значення задає коріння рівняння. Тобто змінні  а  і  х  залежать один від одного так само, як і залежить коріння звичайного рівняння від його коефіцієнтів.

Як знайти, скільки градусів було спочатку ? Розділити все рівняння на число  а:

х = 20 : а.

При  а = 2,  х = 10.

При  а = 40,  х = 0,5.

Що, якщо  а = 0 ? Ми отримуємо рівняння  х = 20 : 0, який не має рішення, оскільки на  0  ділити не можна.

Якщо ми не будемо перетворювати початкове рівняння, то вийде  0 ∙ х = 20, тобто рівняння не буде виконуватися: хоч би яке число ми не помножили на  0, вийде  0.

Виходить, рішення є за будь-яких значень  а, крім  0. Таким чином, ми і знайшли відповідь:

при а = 0 рішень немає,

при  а ≠ 0, х = 20 : а.

ПРИКЛАД:

Дано рівняння відносно  х:

 mx – 8 = х.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Зведемо дане рівняння до вигляду 

ax = b:
mx – x = 8;
(m – 1)x = 8.

Якщо  m – 1 = 0, то рівняння набирає вигляду

0x = 8.

Очевидно, воно не має коренів.

Якщо  m – 1 ≠ 0, то можемо змінну  х  виразити через  m:
ВІДПОВІДЬ:

Рівняння має єдиний корінь
Рівняння не має коренів, якщо  m = 1.

ПРИКЛАД:

Дано рівняння відносно  х:

nx = 5n.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Якщо  n ≠ 0, то,
Якщо  n = 0, то рівняння має вигляд  0x = 0. В цьому випадку будь-яке значення  х  задовольняє рівняння.

ВІДПОВІДЬ:

Рівняння має єдиний корінь  5, якщо  n ≠ 0.
Рівняння має нескінченну множину коренів (будь-яке число – корінь рівняння), якщо  n = 0.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння з параметром  а:
РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Зведемо дане рівняння до вигляду
3y + a – 6 = 0,
2 – y ≠ 0,
3y = 6 – a,
Ми виразили змінну  у  через  а. Тепер нам треба переверти, при яких значеннях  а  вираз:
перетворюється в істинне висловлення, інакше кажучи, треба дознатися, при яких значеннях  а  вираз
перетворюється в хибне висловлення.
Розв’яжемо рівняння:
а = 0.

Отже, вираз
перетворюється в істинне висловлення при всіх значеннях параметра  а, які не дорівнюють нулю.

ВІДПОВІДЬ:

Рівняння має єдиний корінь
Рівняння не має коренів, якщо  а = 0.

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

2а(а – 2)х = а – 2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розглянемо перш за все ті значення параметра, які перетворюють на нуль коефіцієнт при  х (при цих значеннях параметра неможливе розподіл обох частин рівняння на коефіцієнт при  х, а при інших значеннях параметра такий поділ можливий). Такими значеннями є а = 0, а = 2.

При  а = 0  рівняння набуває вигляду

0 ∙ х = –2.

Це рівняння не має коріння.

При  а = 2  дане рівняння набуває вигляду

0 ∙ х = 0,

коренем його є будь-яке дійсне число.

При  а ≠ 0  і  а ≠ 2  рівняння можна перетворити на вигляд
звідки знаходимо

 Таким чином:

якщо  а = 0, то рівняння немає коріння;

якщо  а = 2, то коренем є будь-яке дійсне число;

якщо  а ≠ 0  и  а ≠ 2  то
Завдання до уроку 10
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий