Урок 10. Лінійне рівняння з параметром

суббота, 20 августа 2016 г.

Урок 10. Лінійне рівняння з параметром

Що таке параметр ?

З поняттям параметра ми стикалися і раніше, не вживаючи цього терміна. Наприклад, лінійну функцію означали як функцію, яку можна задати формулою виду у = kх + b, де букви k і b позначають параметри. Розглядаючи лінійне рівняння з двома змінними як рівняння виду ах + bу = с, буквами а, b і с позначали параметри – коефіцієнти лінійного рівняння.

Нехай дано рівність зі змінними х, а:

f(х; а) = 0.

Якщо ставиться завдання для кожного дійсного значення а розв'язати це рівняння щодо х, то рівняння f(х; а) = 0 називають рівнянням зі змінною х та параметром а.

Параметр – умовна літера, замість якої можна підставити число. Тобто параметр – це ще одна змінна, яка може набути кількох значень.

Як вирішувати рівняння з параметром, якщо у нас цілих дві (а то й більше) невідомих змінних?

Потрібен інший підхід, ніж під час вирішення нормального рівняння.

Розв'язати рівняння з параметром а – отже, для кожного значення а, знайти значення х, які відповідають цьому рівнянню.

Ми шукаємо не єдине значення параметра, а всі можливі значення для заданої умови.

ЗАДАЧА:

Вранці на термометрі була кілька градусів, яку ми позначимо за х. В обід температура повітря змінилася кілька разів. У скільки разів мала змінитися температура повітря, щоб на термометрі було 20 градусів ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Такі завдання досить легко вирішуються. Якби спочатку було п'ять градусів, то шукане число дорівнювало б 20 : 5 = 4. А якщо було 10 градусів, то шукане число дорівнювало б 20 : 10 = 2.

Але ми не знаємо, якою була температура. Так само не знаємо, скільки разів вона змінилася. Тобто отримали рівняння із двома невідомими змінними.

Позначимо другу змінну а, у нас вийшло рівняння виду ах = 20.

Щойно введена змінна а є параметр.

Оскільки параметр – змінна у рівнянні, що є коефіцієнтом, його значення задає коріння рівняння. Тобто змінні а і х залежать один від одного так само, як і залежить коріння звичайного рівняння від його коефіцієнтів.

Як знайти, скільки градусів було спочатку ? Розділити все рівняння на число а:

х = 20 : а.

При а = 2, х = 10.

При а = 40, х = 0,5.

Що, якщо а = 0 ? Ми отримуємо рівняння х = 20 : 0, який не має рішення, оскільки на 0 ділити не можна.

Якщо ми не будемо перетворювати початкове рівняння, то вийде 0 ∙ х = 20, тобто рівняння не буде виконуватися: хоч би яке число ми не помножили на 0, вийде 0.

Виходить, рішення є за будь-яких значень а, крім 0. Таким чином, ми і знайшли відповідь:

при а = 0 рішень немає,

при а ≠ 0, х = 20 : а.

ПРИКЛАД:

Дано рівняння відносно х:

mx – 8 = х.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Зведемо дане рівняння до вигляду

ax = b:

mx – x = 8;

(m – 1)x = 8.

Якщо m – 1 = 0, то рівняння набирає вигляду

0x = 8.

Очевидно, воно не має коренів.

Якщо m – 1 ≠ 0, то можемо змінну х виразити через m:

ВІДПОВІДЬ:

Рівняння має єдиний корінь

Рівняння не має коренів, якщо m = 1.

ПРИКЛАД:

Дано рівняння відносно х:

nx = 5n.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Якщо n ≠ 0, то,

Якщо n = 0, то рівняння має вигляд 0x = 0. В цьому випадку будь-яке значення х задовольняє рівняння.

ВІДПОВІДЬ:

Рівняння має єдиний корінь 5, якщо n ≠ 0.

Рівняння має нескінченну множину коренів (будь-яке число – корінь рівняння), якщо n = 0.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння з параметром а:

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Зведемо дане рівняння до вигляду

3y + a – 6 = 0,

2 – y ≠ 0,

3y = 6 – a,

Ми виразили змінну у через а. Тепер нам треба переверти, при яких значеннях а вираз:

перетворюється в істинне висловлення, інакше кажучи, треба дознатися, при яких значеннях а вираз

перетворюється в хибне висловлення.

Розв’яжемо рівняння:

а = 0.

Отже, вираз

перетворюється в істинне висловлення при всіх значеннях параметра а, які не дорівнюють нулю.

ВІДПОВІДЬ:

Рівняння має єдиний корінь

Рівняння не має коренів, якщо а = 0.

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

2а(а – 2)х = а – 2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розглянемо перш за все ті значення параметра, які перетворюють на нуль коефіцієнт при х (при цих значеннях параметра неможливе розподіл обох частин рівняння на коефіцієнт при х, а при інших значеннях параметра такий поділ можливий). Такими значеннями є а = 0, а = 2.

При а = 0 рівняння набуває вигляду

0 ∙ х = –2.

Це рівняння не має коріння.

При а = 2 дане рівняння набуває вигляду

0 ∙ х = 0,

коренем його є будь-яке дійсне число.

При а ≠ 0 і а ≠ 2 рівняння можна перетворити на вигляд
звідки знаходимо

Таким чином:

якщо а = 0, то рівняння немає коріння;

якщо а = 2, то коренем є будь-яке дійсне число;

якщо а ≠ 0 и а ≠ 2 то
Завдання до уроку 10

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

суббота, 20 августа 2016 г.