Уроки математики и физики (RU + UA)

суббота, 27 августа 2016 г.

Урок 19. Теорема Вієта

Залежність між коефіцієнтами і коренями квадратного рівняння.

Між коефіцієнтами і коренями зведеного квадратного рівняння

х2 + px + q = 0

існують такі залежності:

Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнту рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток – вільному члену.
Ці залежності відомі під назвою формул Вієта.
Якщо 

p2 4q = 0, то рівняння 

x2  + px + q = 0  

має один корінь.
Тому часто вважають, що дане рівняння має два рівних корені. Теорема Вієта правильна і для цього випадку, оскільки
Кожне квадратне рівняння виду 

2 + bx + c = 0  

(а 0) рівносильне зведеному квадратному рівнянню
Тому якщо таке рівняння має корені  х1  і  х2, то
ПРИКЛАД:

Рівняння:

х2 + 2х – 80 = 0

має корені 

х1 = 8, х2 = –10,

оскільки  

х1 + х2 = 8 – 10 = –2;
х1× х2 = 8×(– 10) = –80.

ПРИКЛАД:

Рівняння:

х2 + 9х + 14 = 0

має корені 

х1 = –2, х2 = –7,

оскільки  

х1 + х2 = 2 + (–7) = –9;
х1× х2 = (– 2)×(–7) = 14.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

x2 + 12x + 11 = 0.

Якщо рівняння має цілі корені, то їх добуток дорівнює  11. Це можуть бути числа  1  і  11  або  –1  і  –11. Другий коефіцієнт рівняння додатний, тому корені від’ємні.

ВІДПОВІДЬ:

х1 = –1,    х2 = –11.  

Теорема, обернена до теореми Вієта.

Якщо сума і добуток чисел  m  і  n   дорівнюють відповідно  p  і  q
то  m  і  n –  корені рівняння

x2  + px + q = 0.

З теореми Вієта випливає, що цілі розв’язки рівняння 

x2 + px + q = 0 

є дільниками числа  q. Користуючись оберненою теоремою, можна перевіряти, чи є та чи інша пара чисел коренями зведеного квадратного рівняння, чи ні. Це дає можливість усно розв’язувати багато таких рівнянь.

ПРИКЛАД:

Скласти квадратне рівняння, що має корені  5  і  –6. Тут

х1 + х2 = 5 + (–6) = –1;
х1× х2 = 5×(–6) = –30.

Отже, p = 1, q = 30.
Одержуємо рівняння:

x2 + x 30 = 0.

Для квадратного рівняння 

ax2 + bx + c = 0 

існують залежності

ПРИКЛАД:

Рівняння:

4x2 + 25x 21 = 0

має корені
ПРИКЛАД:

Скласти квадратне рівняння, корені якого були б оберненими до коренів рівняння:

ax2 + bx + c = 0.

Перепишемо дане рівняння так:
Нехай його коренями будуть   х1  і  х2. Тоді
За умовою, коренями шуканого рівняння будуть:
Щоб одержати його коефіцієнти, обчислимо:
Рівняння буде мати вигляд:

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

x2 9x + 14 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спробуємо знайти два числа  х1  та  х2  такі, що

х1 + х2 = 9,

х1 х2 = 14.

Такими числами є  2  і  7, вони і є корінням заданого рівняння.

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

x2 + 3x 28 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спробуємо знайти два числа  х1  та  х2  такі, що

х1 + х2 = 9,

х1 х2 = 14.

Такими числами є  4  і  –7, вони і є корінням заданого рівняння.

ПРИКЛАД:

Знайдіть суму коренів рівняння:

2х2 + 18x – 5 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

2х2 + 18x – 5 = 0,

х2 + 9x – 2,5 = 0,

D = 92 + 10 > 0,

Відповідно до теореми Вієта

х1 + х2 = –9.

ПРИКЛАД:

Знайдіть суму коренів рівняння:

х4 – 3x24 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  t = х2, тоді

t23t – 4 = 0.

За теоремою, зворотною до теореми Вієта, маємо:

 t1 = 4, t2 = –1 – не підходить.

Тому, х2 = 4, звідки

х1 = –2, х2 = 2.

Сума коренів

х1 + х2 = –2 + 2 = 0.

ВІДПОВІДЬ:  0

ПРИКЛАД:

Складіть квадратне рівняння, коріння якого більше за коріння рівняння

х2 + 3x – 7 = 0

на одиницю.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Відповідно до теореми Вієта

х1 + х2 = –3,

х1х2 = –7.

Нехай  t1  і  t2 – коріння рівняння, яке треба скласти.

х2 + bx + c = 0,

тоді 

t1 = х1 + 1, t2 = х2 + 1, а

t1 + t2 = –b,

b = –(х1 + 1 + х2 + 1) =

= –(х1 + х2 + 2) = (–3 + 2) = 1,

t1 t2 = с, с = (х1 + 1)(х2 + 1) =

= х1х2 + (х1 + х2) + 1 =

= –7 – 3 + 1 = –9.

Рівняння, яке треба скласти, буде наступним:

х2 + x – 9 = 0.

ВІДПОВІДЬ:  х2 + x – 9 = 0

ПРИКЛАД:

Складіть квадратне рівняння, коріння якого на  4  більше, ніж коріння рівняння

х2 – 2x – 4 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Відповідно до теореми Вієта

х1 + х2 = 2,

х1х2 = –4.

Нехай  t1  і  t2 – коріння рівняння, яке треба скласти

х2 + bx + c = 0,

тоді

t1 = х1 + 4,

t2 = х2 + 4, а

t1 + t2 = –b,

b = –(х1 + 4 + х2 + 4) =

= –(х1 + х2 + 8) = (2 + 8) = –10,

t1 t2 = с, с = (х1 + 4)(х2 + 4) =

= х1х2 + 4(х1 + х2) + 16 =

= –4 + 4 2 + 16 = 20.

Шукане рівняння:

х2 – 10x + 20 = 0.

ВІДПОВІДЬ:  х2 – 10x + 20 = 0

ПРИКЛАД:

Відомо, що  х1  і  х2коріння рівняння

х2 – 10x + 12 = 0.

Не вирішуючи це рівняння, знайдіть значення виразу:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Відповідно до теореми Вієта

х1 + х2 = 10,

х1х2 = 12.

Так як

х12 + х22 = х12 + х22 + 2х1х2 – 2х1х2 =

= (х1 + х2)2 – 2х1х2 = 100 – 24 = 76,
ПРИКЛАД:

Відомо, що  х1  і  х2коріння рівняння

х2 + 5x – 13 = 0.

Не вирішуючи це рівняння, знайдіть значення виразу:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Відповідно до теореми Вієта

х1 + х2 = –5,

х1х2 = –13.

(х1 + х2)2 = (–5)2,

х12 + х22 + 2х1х2 = 25,

х12 + х22 = 25 – 2х1х2,

= 25 – 2 (–13) = 51,

ПРИКЛАД:

Відомо, що  х1  і  х2коріння рівняння

х2 + 6x – 14 = 0.

Знайдіть значення виразу

5х1 + 5х2 – 3х1х2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Відповідно до теореми Вієта

х1 + х2 = –6,

х1х2 = –14.

5х1 + 5х2 – 3х1х2 =

= 5(х1 + х2) – 3х1х2 =

= 5(–6) – 3(–14) =

= –30 + 42 = 12.

ПРИКЛАД:

Знайдіть коріння квадратного рівняння:

х2 – 8x + 7 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спробуємо знайти два числа  х1  і  х2  такі, що
Вирішимо цю систему рівнянь:

х1 = 8 – х2,

(8 – х2) х2 = 7,

х22 + 8х2 – 7 = 0,

х22 – 8х2 + 7 = 0,
х1 = 7,  х2 = 1, 
Такими числами є  1  і  7, вони і є корінням заданого рівняння.

Завдання до уроку 19
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий