Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

понедельник, 29 августа 2016 г.

Урок 20. Неповні квадратні рівняння

Якщо хоча б один з коефіцієнтів  b  або  с  дорівнює  0, то квадратне рівняння називається неповним. Неповні рівняння виділяють тому, що для відшукання їхнього коріння можна не користуватися формулою коренів квадратного рівняння – простіше вирішити рівняння методом розкладання його лівої частини на множники.
Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:

 – якщо  b = 0, c ≠ 0, то 

ax2 + c = 0;

– якщо  b ≠ 0, c = 0, то 

ax2 + bx = 0;

– якщо  b = 0, c = 0, то 

ax2 = 0.

Розв'язання неповних квадратних рівнянь.

РІВНЯННЯ ВИГЛЯДУ

ax2 + c = 0

Щоб розв’язати рівняння вигляду 

ax2 + c = 0,

 переносимо вільний член у праву частину і знаходимо значення  х2, звідки:
Якщо коефіцієнті  а  і  с  одного знаку, то рівняння 

ax2 + c = 0 

в області дійсних чисел не має розв’язків, оскільки квадрат дійсного числа не може дорівнювати від’ємному числу
Якщо ж  а  і  с  мають протилежні знаки, то рівняння 

ax2 + c = 0  

завжди має два корені, які є протилежними числами.

ПРИКЛАД:

9х2 – 64 = 0;
х2 = 64/9      
х1 = 8/3,   х2 = –8/3.        

ВІДПОВІДЬ:  ±8/3.    

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

2х2 – 32 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

2х2 = 32,  х2 = 16, 
х = ±√͞͞͞͞͞16 = ±4.

ВІДПОВІДЬ:

х1 = 4;  х2 = –4

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

2х2 + 8 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х2 = –4.

В області дійсних чисел рівняння не має розв’язку.

Якщо коефіцієнті  а  і  с  мають протилежні знаки, то рівняння  

ax2 + c = 0  

можна розв'язати і способом розкладання на множники.

ПРИКЛАД:

4х2 – 9 = 0,   
(2х – 3)(2х + 3) = 0;
2х – 3 = 0,    х1 = 3/2;
2х + 3 = 0,    х2 = –3/2.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

2х2 = 18.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х2 = 9,  х = ±3.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

2х2 + 5 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Так як  2х2 + 5 > 0  при будь-яких  х, то рівняння

2х2 + 5 = 0  не має коріння.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

3х2 – 10 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розділимо обидві частини рівняння на  3, отримаємо:

х2 – 10/3 = 0, тобто
Значить, або
Рівняння має два корені:
ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

25х2 + 45 – 24х2 + 54 = 90;

х2 + 99 = 90;

х2 + 9 = 0.

ВІДПОВІДЬ:

Рівняння немає рішень (в області дійсних чисел)

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
х ≠ –3,  х ≠ 0,  х ≠ 3.
 х = 6.

РІВНЯННЯ ВИГЛЯДУ

ax2 = 0

Рівняння виду 

ax2  = 0 

рівносильне рівнянню   

x2  = 0 

і тому завжди має тільки один корінь  

x  = 0.

ПРИКЛАД:

25х2 = 0;      
х2 = 0;        
х = 0.

ВІДПОВІДЬ:    

х = 0.

РІВНЯННЯ ВИГЛЯДУ

ax2 + bx = 0.

Щоб розв'язати рівняння  

ax2 + bx = 0,

то треба його ліву частину розкласти на множники:

х(ax + b) = 0.

 Тоді або  х = 0, або 

ax + b = 0,

звідки  х = –b/a.
Отже, рівняння 

ax2 + bx = 0 

має два корені:

х1 = 0,   х2 = –b/a.

ПРИКЛАД:

3х2 – 7х = 0;  
х(3х – 7) = 0;    
х = 0;   
3х – 7 = 0;   
x1 = 0,  х2 = 7/3.

ВІДПОВІДЬ:  0,  7/3.  

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

х2 – 12х = 0.

х(x – 12) = 0,    х1 = 0.
x – 12 = 0,         х2 = 12.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

2х2 – 5х = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

х(2х – 5) = 0.

Значить, або  х = 0,

або  2х – 5 = 0, тобто

х = 2,5.

Рівняння має два корені:  0  и  2,5.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

10(х – 2) + 19 =
(5х – 1)(1 + 5х).
10х – 20 + 19 =
25х2 – 1;
10х – 25х2 = 0;
5х(2 – 5х) = 0;    х1 = 0;
2 – 5х = 0;          х2 = 2/5.

ВІДПОВІДЬ:

х1 = 0;   х2 = 2/5.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
4х2 – 6х = 0,

2х(2х – 3) = 0,

х1 = 0,  х2 = 1,5.

х ≠ 0,  х ≠ –1.

ВІДПОВІДЬ:  х = 1,5

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

(х2 – 1)2 + ((х – 1)(х – 2))2 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Очевидно, що

(х2 – 1)2 ≥ 0  і

((х – 1)(х – 2))2 ≥ 0,

а сума двох невід'ємних чисел дорівнює нулю і тоді, коли кожне доданок дорівнює нулю.

Тому спочатку треба вирішити рівняння

(х2 – 1)2 = 0  и

((х – 1)(х – 2))2 = 0,

а потім знайти їх загальне коріння.

Корінням рівняння  (х2 – 1)2 = 0  є числа  1  і  –1, а корінням рівняння  ((х – 1)(х – 2))2 = 0 – числа  1  і  2. Загальним є число 1 – це корінь вихідного рівняння .

У тому випадку, коли потрібно знайти значення змінної, що задовольняють обидва задані рівняння, кажуть, що задана система рівнянь. Для позначення системи використовують фігурну дужку:
ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

(х2 – 1)(х2 – 4) = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Добуток двох чисел дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли хоча б одне з чисел дорівнює нулю. Тому спочатку треба вирішити рівняння

х2 – 1 = 0  и  х2 – 4 = 0,

а потім об'єднати їх коріння.

Корінням першого рівняння є числа  1  та  –1, а другого – числа  2  та –2. Отже, 1, –1, 2, –2 – коріння вихідного рівняння.

Декілька рівнянь з однією змінною утворюють сукупність рівнянь, якщо ставиться завдання знайти всі такі значення змінної, кожне з яких є коренем хоча б одного з даних рівнянь. Для позначення сукупності іноді використовують квадратну дужку.
Завдання до уроку 20
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий