Урок 20. Неповні квадратні рівняння

понедельник, 29 августа 2016 г.

Урок 20. Неповні квадратні рівняння

Якщо хоча б один з коефіцієнтів b або с дорівнює 0, то квадратне рівняння називається неповним. Неповні рівняння виділяють тому, що для відшукання їхнього коріння можна не користуватися формулою коренів квадратного рівняння – простіше вирішити рівняння методом розкладання його лівої частини на множники.

Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:

– якщо b = 0, c ≠ 0, то

ax² + c = 0;

– якщо b ≠ 0, c = 0, то

ax² + bx = 0;

– якщо b = 0, c = 0, то

ax² = 0.

Розв'язання неповних квадратних рівнянь.

РІВНЯННЯ ВИГЛЯДУ

ax² + c = 0

Щоб розв’язати рівняння вигляду

ax² + c = 0,

переносимо вільний член у праву частину і знаходимо значення х², звідки:

Якщо коефіцієнті а і с одного знаку, то рівняння

ax² + c = 0

в області дійсних чисел не має розв’язків, оскільки квадрат дійсного числа не може дорівнювати від’ємному числу

Якщо ж а і с мають протилежні знаки, то рівняння

ax² + c = 0

завжди має два корені, які є протилежними числами.

ПРИКЛАД:

9х² – 64 = 0;

х² = ⁶⁴/₉

х₁ = ⁸/₃, х₂ = –⁸/₃.

ВІДПОВІДЬ: ±⁸/₃.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

2х² – 32 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

2х² = 32, х² = 16,

х = ±√͞͞͞͞͞16 = ±4.

ВІДПОВІДЬ:

х₁ = 4; х₂ = –4

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

2х² + 8 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х² = –4.

В області дійсних чисел рівняння не має розв’язку.

Якщо коефіцієнті а і с мають протилежні знаки, то рівняння

ax² + c = 0

можна розв'язати і способом розкладання на множники.

ПРИКЛАД:

4х² – 9 = 0,

(2х – 3)(2х + 3) = 0;

2х – 3 = 0, х₁ = ³/₂;

2х + 3 = 0, х₂ = –³/₂.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

2х² = 18.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х² = 9, х = ±3.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

2х² + 5 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Так як 2х² + 5 > 0 при будь-яких х, то рівняння

2х² + 5 = 0 не має коріння.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

3х² – 10 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розділимо обидві частини рівняння на 3, отримаємо:

х² – ¹⁰/₃ = 0, тобто
Значить, або
Рівняння має два корені:

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

25х² + 45 – 24х² + 54 = 90;

х² + 99 = 90;

х² + 9 = 0.

ВІДПОВІДЬ:

Рівняння немає рішень (в області дійсних чисел)

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
х ≠ –3, х ≠ 0, х ≠ 3.
х = 6.

РІВНЯННЯ ВИГЛЯДУ

ax² = 0

Рівняння виду

ax² = 0

рівносильне рівнянню

x² = 0

і тому завжди має тільки один корінь

x = 0.

ПРИКЛАД:

25х² = 0;

х² = 0;

х = 0.

ВІДПОВІДЬ:

х = 0.

РІВНЯННЯ ВИГЛЯДУ

ax² + bx = 0.

Щоб розв'язати рівняння

ax² + bx = 0,

то треба його ліву частину розкласти на множники:

х(ax + b) = 0.

Тоді або х = 0, або

ax + b = 0,

звідки х = –^b/_a.

Отже, рівняння

ax² + bx = 0

має два корені:

х₁ = 0, х₂ = –^b/_a.

ПРИКЛАД:

3х² – 7х = 0;

х(3х – 7) = 0;

х = 0;

3х – 7 = 0;

x₁= 0, х₂ = ⁷/₃.

ВІДПОВІДЬ: 0, ⁷/₃.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

х² – 12х = 0.

х(x – 12) = 0, х₁ = 0.

x – 12 = 0, х₂ = 12.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

2х² – 5х = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

х(2х – 5) = 0.

Значить, або х = 0,

або 2х – 5 = 0, тобто

х = 2,5.

Рівняння має два корені: 0 и 2,5.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

10(х – 2) + 19 =

(5х – 1)(1 + 5х).

10х – 20 + 19 =

25х² – 1;

10х – 25х² = 0;

5х(2 – 5х) = 0; х₁ = 0;

2 – 5х = 0; х₂ = ²/₅.

ВІДПОВІДЬ:

х₁ = 0; х₂ = ²/₅.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
4х² – 6х = 0,

2х(2х – 3) = 0,

х₁ = 0, х₂ = 1,5.

х ≠ 0, х ≠ –1.

ВІДПОВІДЬ: х = 1,5

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

(х² – 1)² + ((х – 1)(х – 2))² = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Очевидно, що

(х² – 1)² ≥ 0 і

((х – 1)(х – 2))² ≥ 0,

а сума двох невід'ємних чисел дорівнює нулю і тоді, коли кожне доданок дорівнює нулю.

Тому спочатку треба вирішити рівняння

(х² – 1)² = 0 и

((х – 1)(х – 2))² = 0,

а потім знайти їх загальне коріння.

Корінням рівняння (х² – 1)² = 0 є числа 1 і –1, а корінням рівняння ((х – 1)(х – 2))² = 0 – числа 1 і 2. Загальним є число 1 – це корінь вихідного рівняння .

У тому випадку, коли потрібно знайти значення змінної, що задовольняють обидва задані рівняння, кажуть, що задана система рівнянь. Для позначення системи використовують фігурну дужку:

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

(х² – 1)(х² – 4) = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Добуток двох чисел дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли хоча б одне з чисел дорівнює нулю. Тому спочатку треба вирішити рівняння

х² – 1 = 0 и х² – 4 = 0,

а потім об'єднати їх коріння.

Корінням першого рівняння є числа 1 та –1, а другого – числа 2 та –2. Отже, 1, –1, 2, –2 – коріння вихідного рівняння.

Декілька рівнянь з однією змінною утворюють сукупність рівнянь, якщо ставиться завдання знайти всі такі значення змінної, кожне з яких є коренем хоча б одного з даних рівнянь. Для позначення сукупності іноді використовують квадратну дужку.

Завдання до уроку 20

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 29 августа 2016 г.