Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

воскресенье, 4 сентября 2016 г.

Урок 21. Розв'язання квадратного рівняння способом виділення квадрата двочлена

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

х2 – 6х – 7 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо до різниці  х2 – 6х  додати число  9, то отриманий вираз можна записати як  (х – 3)2, тобто як квадрата двочлена. Додамо до обох частин рівняння  х2 – 6х – 7 = 0  число 9, а вільний член перенесемо до правої частини. Отримаємо:

х2 – 6х + 9 = 9 + 7.

Перетворимо це рівняння:

(х – 3)2 = 16.

Звідси

х – 3 = –4,  х = –1,

х – 3 = 4,  х = 7,

ВІДПОВІДЬ:  х1 = –1,  х2 = 7

Спосіб, за допомогою якого було вирішено рівняння

х2 – 6х – 7 = 0,

називається виділенням квадрата двочлена.

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

х2 + 8х – 1 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х2 + 2∙4∙х – 1 = 0,

х2 + 2∙4∙х + 16 = 16 + 1,

(х + 4)2 = 17,

х + 4 = –√͞͞͞͞͞17,  х = –4 – √͞͞͞͞͞17,

х + 4 = √͞͞͞͞͞17,  х = –4 + √͞͞͞͞͞17,

ВІДПОВІДЬ:

х1 = –4 – √͞͞͞͞͞17,  х2 = –4 + √͞͞͞͞͞17

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

х2 – 4х + 10 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х2 – 2∙2∙х + 4 = 4 – 10,

х2 + 2∙4∙х + 16 = 16 + 1,

(х – 2)2 = –6,

ВІДПОВІДЬ:  коріння немає

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

3х2 – 5х – 2 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розділимо обидві частини рівняння на  3. Отримаємо наведене квадратне рівняння:

х2 – 5/3 х – 2/3 = 0,

Виділимо квадрат двочлена і розв'яжемо рівняння, що вийшло:

х2 – 2∙ 5/6 х – 2/3 = 0,

х2 – 2∙ 5/6 х + (5/6)2 = (5/6)2 + 2/3,

(х – 5/6)2 = 49/36,
ВІДПОВІДЬ:  х1 = –1/3,  х2 = 2

ПРИКЛАД:

Нехай треба розв’язати рівняння:

х2 + 14х + 24 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розкладемо ліву частину на множники, виділивши з виразу

х2 + 14х + 24

квадрат двочлена. Перший член є квадрат числа  х  (першого числа), другий член  (14х)  можна розглядати як подвоєний добуток першого числа на друге число, що дорівнює  7, оскільки

14 = 2 × х × 7.

Щоб одержати квадрат двочлена, додамо квадрат другого числа

72 = 49,

а щоб числове значення не змінилось, віднімемо це саме число  (49). Одержимо:

(х2 + 14х + 24) – 49 + 24 = 0, або
(х + 7)2 – 25 = 0.

Розклавши ліву частину на множники, одержимо:

(х + 7 + 5)(х + 7 – 5) = 0, або
(х + 12)(х + 2) = 0.

Отже, рівняння:

х2 + 14х + 24 = 0

рівносильне до рівняння:

(х + 12)(х + 2) = 0

звідки випливає:

х + 12 = 0;    х1 = –12.
х + 2 = 0;      х2 = –2.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння

х2 – 11х + 30 = 0

способом виділення квадрата двочлена.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ВІДПОВІДЬ:

х1 = 6;    х2 = 5.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

3х2 – 11х – 20 = 0

способом виділення квадрата двочлена.

ВІДПОВІДЬ:  х1 = 5,  х2 = –4/3.

ПРИКЛАД:

Якого найменшого значення набуває вираз ?

(х + 5)(х2 – 5х + 25) – (х2 – 10)(х – 1) – 61.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

(х + 5)(х2 – 5х + 25) – (х2 – 10)(х – 1) – 61 =

х3 + 125 – х3 + 10х + х2 – 10 – 61 =

= х2 + 10х + 54 = (х + 5)2 + 29.

Даний вираз набуває найменшого значення, коли  х + 5 = 0, тобто

 х = –5.

Це значення дорівнює  29.

ВІДПОВІДЬ:  29

Завдання до уроку 21
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий