Урок 21. Розв'язання квадратного рівняння способом виділення квадрата двочлена

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

х² – 6х – 7 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо до різниці х² – 6х додати число 9, то отриманий вираз можна записати як (х – 3)², тобто як квадрата двочлена. Додамо до обох частин рівняння х² – 6х – 7 = 0 число 9, а вільний член перенесемо до правої частини. Отримаємо:

х² – 6х + 9 = 9 + 7.

Перетворимо це рівняння:

(х – 3)² = 16.

Звідси

х – 3 = –4, х = –1,

х – 3 = 4, х = 7,

ВІДПОВІДЬ: х₁ = –1, х₂ = 7

Спосіб, за допомогою якого було вирішено рівняння

х² – 6х – 7 = 0,

називається виділенням квадрата двочлена.

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

х² + 8х – 1 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х² + 2∙4∙х – 1 = 0,

х² + 2∙4∙х + 16 = 16 + 1,

(х + 4)² = 17,

х + 4 = –√͞͞͞͞͞17, х = –4 – √͞͞͞͞͞17,

х + 4 = √͞͞͞͞͞17, х = –4 + √͞͞͞͞͞17,

ВІДПОВІДЬ:

х₁ = –4 – √͞͞͞͞͞17, х₂ = –4 + √͞͞͞͞͞17

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

х² – 4х + 10 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х² – 2∙2∙х + 4 = 4 – 10,

х² + 2∙4∙х + 16 = 16 + 1,

(х – 2)² = –6,

ВІДПОВІДЬ: коріння немає

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

3х² – 5х – 2 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розділимо обидві частини рівняння на 3. Отримаємо наведене квадратне рівняння:

х² – ⁵/₃х – ²/₃ = 0,

Виділимо квадрат двочлена і розв'яжемо рівняння, що вийшло:

х² – 2∙ ⁵/₆х – ²/₃ = 0,

х² – 2∙ ⁵/₆х + (⁵/₆)² = (⁵/₆)² + ²/₃,

(х – ⁵/₆)² = ⁴⁹/₃₆,

ВІДПОВІДЬ: х₁ = –¹/₃, х₂ = 2

ПРИКЛАД:

Нехай треба розв’язати рівняння:

х² + 14х + 24 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розкладемо ліву частину на множники, виділивши з виразу

х² + 14х + 24

квадрат двочлена. Перший член є квадрат числа х (першого числа), другий член (14х) можна розглядати як подвоєний добуток першого числа на друге число, що дорівнює 7, оскільки

14 = 2 × х × 7.

Щоб одержати квадрат двочлена, додамо квадрат другого числа

7² = 49,

а щоб числове значення не змінилось, віднімемо це саме число (49). Одержимо:

(х² + 14х + 24) – 49 + 24 = 0, або

(х + 7)² – 25 = 0.

Розклавши ліву частину на множники, одержимо:

(х + 7 + 5)(х + 7 – 5) = 0, або

(х + 12)(х + 2) = 0.

Отже, рівняння:

х² + 14х + 24 = 0

рівносильне до рівняння:

(х + 12)(х + 2) = 0

звідки випливає:

х + 12 = 0; х₁ = –12.

х + 2 = 0; х₂ = –2.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння

х² – 11х + 30 = 0

способом виділення квадрата двочлена.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ВІДПОВІДЬ:

х₁ = 6; х₂ = 5.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

3х² – 11х – 20 = 0

способом виділення квадрата двочлена.

ВІДПОВІДЬ: х₁ = 5, х₂ = –⁴/₃.

ПРИКЛАД:

Якого найменшого значення набуває вираз ?

(х + 5)(х² – 5х + 25) – (х² – 10)(х – 1) – 61.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

(х + 5)(х² – 5х + 25) – (х² – 10)(х – 1) – 61 =

х³ + 125 – х³ + 10х + х² – 10 – 61 =

= х² + 10х + 54 = (х + 5)² + 29.

Даний вираз набуває найменшого значення, коли х + 5 = 0, тобто

х = –5.

Це значення дорівнює 29.

ВІДПОВІДЬ: 29

Завдання до уроку 21

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

воскресенье, 4 сентября 2016 г.