Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

понедельник, 19 сентября 2016 г.

Урок 23. Квадратний тричлен

Квадратним тричленом називають багаточлен виду

ax2 + bx + c, 

де  х – змінна, a,b, і  c  – деякі числа, причому,  а ≠ 0. Коренем квадратного тричлена називається значення змінної, при якому значення квадратного тричлена дорівнює нулю. Щоб знайти корінь квадратного тричлена 

ax2 + bx + c,

потрібно вирішити відповідне квадратне рівняння 

ax2 + bx + c = 0.

Число 

D = b2 – 4ac 

називають дискримінантом квадратного тричлена 

ax2 + bx + c.

Якщо  D < 0, то квадратний тричлен коренів немає.

Якщо  D = 0, то квадратний тричлен має один корінь.

Якщо  D > 0, то два корені.

Розкладання квадратного тричлена на множники.

Зв'язок між корінням квадратного тричлена та лінійними множниками, на який він розкладається, встановлює таку теорему.

Якщо дискримінант квадратного тричлена

ax2 + bx + c 

позитивний, то цей тричлен можна розкласти на лінійні множники.

ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2),

де  х1  і  х2 – коріння квадратного тричлена.

Ця формула застосовується для розкладання квадратного тричлену на множники.

Якщо дискримінант квадратного тричлена дорівнює нулю, то вважають, що квадратний тричлен має два рівні корені, тобто  х1 = х2.  У цьому випадку розкладання квадратного тричлена на множники має такий вигляд: 

ax2 + bx + c = а(х – х1)2.

Якщо дискримінант квадратного тричлена негативний, такий тричлен не можна розкласти на лінійні множники.

Розглянемо задачу розкладання на лінійні множники квадратного тричлена – многочлена другого степеня з однією змінною. Нехай відомо, що квадратний тричлен 

ах2 + bх + с,

де  х – змінна, а, b  і  с – числа, причому  а ≠ 0, має корені  х1  та  х2. Покажемо, що в цьому разі його можна подати у вигляді добутку:

 ах2 + bх + с = а(х – х1)(х – х2).

 Щоб довести тотожність, перетворимо її праву частину:

 а(х – х1)(х – х2) =
а(х2 – х1х – х2х + х1х2) =
а[х2 – (х1 +  х2)х + х1х2].

 Корені  х1  та  х2  тричлена 

ах2 + bх + с 

є коренями рівняння 

ах2 + bх + с = 0.

За теоремою Вієта
Виконавши підстановку, дістанемо:
Тотожність доведено.

ПРИКЛАД:

Щоб розкласти на множники тричлен 

х2 + 5х + 6,

запишемо одночлен  5х  у вигляді  2х + 3х:

х2 + 5х + 6 =

х2 + 3х + 2х + 6 =

(х2 + 3х) + (2х + 6) =

х(х + 3) + 2(х + 3) =

(х + 3)(х + 2).

Щоб розкласти квадратний тричлен на множники, іноді доводиться користуватися кількома способами. Спочатку застосувати спосіб групування, потім винесення загального множника за дужки і потім застосування будь-якої формули скороченого множення.

ПРИКЛАД:

 Тричлен:

 2х2 – 5х – 3

 має корени, оскільки дискримінант квадратного рівняння

 2х2 – 5х – 3 = 0

 додатний. Корені цього тричлена – числа  –1/2  і  3. Користуючись тотожністю, подамо тричлен у вигляді добутку:
Коли множник  2  внести в дужки, то здобута тотожність запишеться так:

 2х2 – 5х – 3 =
(2х + 1)(х – 3).

 Тотожність може поширюватись і на квадратний тричлен, що має єдиний корінь. У цьому разі  х1 = х2, и тотожність набере вигляду:

ах2 + bх + с =
а(х – х1)(х – х2), тобто
ах2 + bх + с = а(х – х1)2.

 ПРИКЛАД:

 Тричлен:

 –25х2 + 10х – 1

 Має єдиний корінь, що дорівнює  1/5  (у цьому легко переконатися, розв’язавши рівняння 

–25х2 + 10х – 1 = 0).

Застосую чи тотожність, дістанемо:
Коли квадратний тричлен не має коренів, то його не можна подати у вигляді добутку двох многочленів першого степеня. Справді, нехай при  D < 0 

 ах2 + bх + с =
(kх + m)(pх +q).

Очевидно, що в цьому разі
– корені тричлена. Але це суперечить умові.  

 ПРИКЛАД:

 Скоротити дріб:
Спробуємо розкласти на множники знаменник дробу – квадратний тричлен:

 3х2 – 13х – 10.
D = 132 + 4 × 3 × 10
= 289;  D > 0.

Отже, квадратний тричлен має два корені. Застосовуючи формулу коренів квадратного рівняння, знайдемо їх:
Користуючись тотожністю, маємо:
Ми розклали на множники знаменник дробу, і тепер його можна скоротити:

ПРИКЛАД:

Розкладіть на множники:

6х2 – х – 2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Застосуємо формулу коренів квадратного рівняння до рівняння

6х2 – х – 2 = 0,

знаходимо

х1 = –1/2, х2 = 2/3.

Значить,

6х2 – х – 2 = 6(х + 1/2)(х – 2/3) =

= 2(х + 1/2)∙3(х – 2/3) = (2х + 1)(3х – 2).

Розкладання на множники двочлену  хn – аn.

Відомо що

х2 – а2 = (х – а)(х + а),

х3 – а3 = (х – а)(х2 + ха + а2).

Якщо перемножити багаточлени

(х – а)  и  (x3 +х2a + ха2 + а3), то отримаємо

х4 – а4 = (х – а)(x3 +х2a + ха2 + а3).

Узагальненням отриманих формул є формула розкладання на множники двочлена  хn – аn

хn – аn = (х – а)(xn-1 +хn-2a + хn-3а2 + … + xаn-2 + an-1).

Якщо, зокрема, а = 1, то одержуємо:

хn – 1 = (х – 1)(xn-1 +хn-2 + хn-3 + … + x + 1).

ПРИКЛАД:

х7 – 1 = (х – 1)(x6 +х5 + х4 + х3 + х2 + x + 1).

Завдання до уроку 23
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий