Урок 23. Квадратний тричлен

понедельник, 19 сентября 2016 г.

Урок 23. Квадратний тричлен

Квадратним тричленом називають багаточлен виду

ax² + bx + c,

де х – змінна, a,b, і c – деякі числа, причому, а ≠ 0. Коренем квадратного тричлена називається значення змінної, при якому значення квадратного тричлена дорівнює нулю. Щоб знайти корінь квадратного тричлена

ax² + bx + c,

потрібно вирішити відповідне квадратне рівняння

ax² + bx + c = 0.

Число

D = b² – 4ac

називають дискримінантом квадратного тричлена

ax² + bx + c.

Якщо D < 0, то квадратний тричлен коренів немає.

Якщо D = 0, то квадратний тричлен має один корінь.

Якщо D > 0, то два корені.

Розкладання квадратного тричлена на множники.

Зв'язок між корінням квадратного тричлена та лінійними множниками, на який він розкладається, встановлює таку теорему.

Якщо дискримінант квадратного тричлена

ax² + bx + c

позитивний, то цей тричлен можна розкласти на лінійні множники.

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂),

де х₁ і х₂ – коріння квадратного тричлена.

Ця формула застосовується для розкладання квадратного тричлену на множники.

Якщо дискримінант квадратного тричлена дорівнює нулю, то вважають, що квадратний тричлен має два рівні корені, тобто х₁ = х₂. У цьому випадку розкладання квадратного тричлена на множники має такий вигляд:

ax² + bx + c = а(х – х₁)².

Якщо дискримінант квадратного тричлена негативний, такий тричлен не можна розкласти на лінійні множники.

Розглянемо задачу розкладання на лінійні множники квадратного тричлена – многочлена другого степеня з однією змінною. Нехай відомо, що квадратний тричлен

ах² + bх + с,

де х – змінна, а, b і с – числа, причому а ≠ 0, має корені х₁ та х₂. Покажемо, що в цьому разі його можна подати у вигляді добутку:

ах² + bх + с = а(х – х₁)(х – х₂).

Щоб довести тотожність, перетворимо її праву частину:

а(х – х₁)(х – х₂) =

а(х² – х₁х – х₂х + х₁х₂) =

а[х² – (х₁ + х₂)х + х₁х₂].

Корені х₁ та х₂тричлена

ах² + bх + с

є коренями рівняння

ах² + bх + с = 0.

За теоремою Вієта

Виконавши підстановку, дістанемо:

Тотожність доведено.

ПРИКЛАД:

Щоб розкласти на множники тричлен

х² + 5х + 6,

запишемо одночлен 5х у вигляді 2х + 3х:

х² + 5х + 6 =

х² + 3х + 2х + 6 =

(х² + 3х) + (2х + 6) =

х(х + 3) + 2(х + 3) =

(х + 3)(х + 2).

Щоб розкласти квадратний тричлен на множники, іноді доводиться користуватися кількома способами. Спочатку застосувати спосіб групування, потім винесення загального множника за дужки і потім застосування будь-якої формули скороченого множення.

ПРИКЛАД:

Тричлен:

2х² – 5х – 3

має корени, оскільки дискримінант квадратного рівняння

2х² – 5х – 3 = 0

додатний. Корені цього тричлена – числа –¹/₂ і 3. Користуючись тотожністю, подамо тричлен у вигляді добутку:

Коли множник 2 внести в дужки, то здобута тотожність запишеться так:

2х² – 5х – 3 =

(2х + 1)(х – 3).

Тотожність може поширюватись і на квадратний тричлен, що має єдиний корінь. У цьому разі х₁= х₂, и тотожність набере вигляду:

ах² + bх + с =

а(х – х₁)(х – х₂), тобто

ах² + bх + с = а(х – х₁)².

ПРИКЛАД:

Тричлен:

–25х² + 10х – 1

Має єдиний корінь, що дорівнює ¹/₅ (у цьому легко переконатися, розв’язавши рівняння

–25х² + 10х – 1 = 0).

Застосую чи тотожність, дістанемо:

Коли квадратний тричлен не має коренів, то його не можна подати у вигляді добутку двох многочленів першого степеня. Справді, нехай при D < 0

ах² + bх + с =

(kх + m)(pх +q).

Очевидно, що в цьому разі

– корені тричлена. Але це суперечить умові.

ПРИКЛАД:

Скоротити дріб:

Спробуємо розкласти на множники знаменник дробу – квадратний тричлен:

3х² – 13х – 10.

D = 13²+ 4 × 3 × 10

= 289; D > 0.

Отже, квадратний тричлен має два корені. Застосовуючи формулу коренів квадратного рівняння, знайдемо їх:

Користуючись тотожністю, маємо:

Ми розклали на множники знаменник дробу, і тепер його можна скоротити:

ПРИКЛАД:

Розкладіть на множники:

6х² – х – 2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Застосуємо формулу коренів квадратного рівняння до рівняння

6х² – х – 2 = 0,

знаходимо

х₁ = –¹/₂, х₂ = ²/₃.

Значить,

6х² – х – 2 = 6(х + ¹/₂)(х – ²/₃) =

= 2(х + ¹/₂)∙3(х – ²/₃) = (2х + 1)(3х – 2).

Розкладання на множники двочлену хⁿ – аⁿ.

Відомо що

х² – а² = (х – а)(х + а),

х³ – а³ = (х – а)(х² + ха + а²).

Якщо перемножити багаточлени

(х – а) и (x³ +х²a + ха²+ а³), то отримаємо

х⁴ – а⁴ = (х – а)(x³ +х²a + ха²+ а³).

Узагальненням отриманих формул є формула розкладання на множники двочлена хⁿ – аⁿ

хⁿ – аⁿ = (х – а)(xⁿ^-1 +хⁿ^-2a + хⁿ^-3а²+ … + xаⁿ^-2 + aⁿ^-1).

Якщо, зокрема, а = 1, то одержуємо:

хⁿ – 1 = (х – 1)(xⁿ^-1 +хⁿ^-2 + хⁿ^-3+ … + x + 1).

ПРИКЛАД:

х⁷ – 1 = (х – 1)(x⁶ +х⁵ + х⁴ + х³+ х² + x + 1).

Завдання до уроку 23

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 19 сентября 2016 г.