Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

вторник, 30 мая 2017 г.

Урок 16. Функція, зворотна даною

Відношення, зворотне даному.

 ПРИКЛАД:

На малюнку відношення  р  між елементами множини  Х  і елементами множини  Y  задане за допомогою стрілок.
Поміняємо напрям стрілок.
Отримаємо інше відношення – відношення  q  між елементами множини  Y  і елементами множини  Х.
Говорять, що  q  є відношення, зворотне відношенню  р. У свою чергу відношення  р  є зворотним відношенню  q.
Областю визначення відношення  p  є множина 

{–3; –2; –1},

а областю значень – множина

 {2; 3; 4; 5}

Для відношення  q, зворотного відношенню  р, областю визначення служить множина

{2; 3; 4; 5},

 а областю значень – множина

 {–3; –2; –1}.

Таким чином, область визначення і область значень взаємно-зворотних стосунків міняються ролями.
Відношення  p  між елементами безлічі  Х  і  Y  визначається безліччю пар:

 {(–3; 2); (–2; 3); (–1; 4); (–1; 5)}

Помінявши в кожній парі місцями її елементи, отримаємо безліч пар, яким задається відношення  q, зворотне  р:

 {(2; –3); (3; –2); (4; –1); (5; –1)}

Якщо відношення визначається деякою безліччю пар, то зворотне йому відношення визначається безліччю пар, яке отримане з першого перестановкою елементів в кожній парі.

 ПРИКЛАД:

 Повернемося до розглянутих вище взаємно-зворотних відношень  р  і  q.
На малюнку побудований графік відношення  р.
На малюнку побудований графік відношення  q.
Побудуємо тепер графіки відношень  р  і  q  в одній і тій же системі координат.
Неважко помітити, що точки з координатами

 (–3; 2)  и  (2; –3),
(–1; 4)  и  (4; –1)  и т. д.,

т. е. точки, у яких абсциса першої є ординатою другий і ордината першої є абсцисою другою, симетричні відносно прямої

у = х.

 Кожній точці графіку відношення  р  відповідає симетрична відносно прямої  у = х  точка графіку відношення  q, і навпаки, кожній точці графіку відношення  q  відповідає симетрична відносно прямої  у = х  точка графіку відношення  р. Тому графіки відношень  р  і  q  симетричні відносно прямої  у = х.
Взагалі справедлива наступна теорема:

 Графіки взаємно-зворотних стосунків між числами симетричні відносно прямої  у = х.

 Наведемо приклади взаємно-зворотних відношень

 ПРИКЛАД:

 На малюнку за допомогою стрілок показано відношення <<менше>> між елементами великої кількості

 А = {5; 7; 10}
В = {2; 3; 8; 12}
Зворотне йому відношення є відношенням <<більше>> між елементами великої кількості  В  і елементами безлічі  А.
ПРИКЛАД:

 Відношення <<бути дільником>> і <<бути кратним>> між натуральними числами – взаємно-зворотні відношення.
Дійсно, якщо  а  і  b – деякі натуральні числа і  а  дільник  b, то  b  кратно  а, і навпаки, якщо  b  кратно  а, те  а  дільник  b. Наприклад, з того, що  <<2 дільник 6>>, витікає, що  <<6 кратно 2>>; з того, що  <<24 кратно 8>>, витікає, що  <<8 дільник 24>>.

 Поняття функції, зворотної даної.

Якщо функція  у = f(х)  така, що для будь-якого значення у0  рівняння  f(х) = у0  має відносно  х  єдиний корінь, то кажуть, що функція  у = f(х)  оборотна.

Якщо функція  у = f(х)  оборотна, то, висловивши  х  їх формули  у = f(х)  і змінивши потім  х  і  у  місцями, отримаємо зворотну функцію, її позначають

у = f -1 (х).

Приклад оборотної функції.
Приклад незворотної функції.
ПРИКЛАД:

 На малюнку за допомогою стрілок задано відношення  р  між елементами великих кількостей  А  і  В. Це відношення – функція, оскільки кожному елементу великої кількості  А  відповідає не більше за одну безліч  В.

Відношення  q  між елементами великої кількості  В  і  А, зворотне  р, не є функцією: в множині  В  існує елемент (число 2), якому відповідає більше за один елемент з множини  А  (елементи 5 і 6).

 ПРИКЛАД:

 На малюнках за допомогою стрілок задано відношення  f  між елементами безлічі  X  і  Y  і зворотне йому відношення  g  між елементами безлічі  Y  і  X.

Відношення  f  – функція, відношення  g, зворотне  f, теж функція.
Наведені приклади показують, що відношення, зворотне функції, може бути функцією, а може і не бути функцією.

 Функція  f  називається оберненої, якщо зворотне їй відношення – функція.

 В цьому випадку відношення, зворотне функції  f, називають функцією, зворотною  f.
Ми розглянули приклади функцій  p  і  f, заданих за допомогою стрілок. Оборотною виявилася функція у тому випадку, коли до будь-якого елементу області її значень було проведено не більше за одну стрілку, т. е. коли кожного свого значення функції набувала тільки при одному значенні аргументу.

 Функція обернена тоді і тільки тоді, коли кожного свого значення вона набуває лише при одному значенні аргументу.

Якщо функція  у = f(х)  визначена і зростає (зменшується) на проміжку  Х  і областю її значень є проміжок  Y, то вона існує зворотна функція, причому зворотна функція визначена і зростає (зменшується) на  Y.

Для знаходження функції, зворотної даної  у = f(х), треба виразити  х через  у: х = g(у), а потім записати отриману функцію у загальноприйнятій формі  у = g(х).

Якщо функції  у = f(х)  і  у = g(х)  є взаємно зворотними, то область визначення функції  f  збігається з безліччю значень функції  g  і, навпаки, область визначення функції  g  збігається з безліччю значень функції  f, тобто

D(f) = E(g)  і  D(g) = E(f).

Всяка зростаюча функція обернена.

 Функція, зворотна такою, що зростає, є такою, що зростає.

 Всяка спадаюча функція обернена.

 Функція, зворотна такою, що убуває, є такою, що убуває.

 Якщо деяке відношення  f  задане рівнянням з двома змінними  х  і  у, то для завдання рівнянням відношення, зворотного  f, досить в цьому рівнянні поміняти позначення  х  на  у  і   у  на  х.

 ПРИКЛАД:

 Функція  f, задана формулою 

у = –2х + 3,

 що спадає. Тому вона обернена. Зворотна їй функція також спадає.
Щоб задати формулою функцію, зворотну  f, поміняємо в рівнянні

 у = –2х + 3,

 позначення  х  на  у  і  у  на  х. Отримаємо рівняння

 х = –2у + 3

 Зазвичай при завданні функції рівнянням зі змінними  х  і  у  змінну  у  виражають через змінну  х.
В даному випадку маємо:

 2у = –х + 3,
у = –0,5х + 1,5.

 Ми отримали формулу, якій задається функція, зворотна  f.

 ПРИКЛАД:

 Нехай дано функцію:

 у = 3х – 2.

 Якщо виразити  х  через  у  і в одержаній рівності заміст  х  написати  у, а замість  у  написати  х, будемо мати:
Це є функція, обернена до даної. Дану функцію також можна назвати оберненою по відношенню до одержаної. Ці функції взаємно обернені.

Не для кожної функції існує обернена.

ПРИКЛАД:

Для функції, заданої рівністю:

у = х2

На 

(–∞; +∞ ),

оберненої не існує. А для функції:

у = х2

заданої на проміжку 

[0; +∞ ),

обернена функція існує.

ПРИКЛАД:

Знайдіть функцію, обернену до функції

у = 1/6 х – 7.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

у = 1/6 х – 7,

6у = х – 42,

х = 6у + 42.

Оберненою буде функція

у = 6х + 42.

ПРИКЛАД:

Знайдіть функцію, обернену до функції

у = 1/3 х + 2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

у = 1/3 х + 2,

3у = х + 6,

х = 3у – 6.

Оберненою буде функція

у = 3х – 6.

ПРИКЛАД:

Знайдіть функцію, обернену до функції
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Оберненою буде функція
ПРИКЛАД:
Знайдіть функцію, обернену до функції
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Оберненою буде функція
Графік зворотної функції.

ПРИКЛАД:

На малюнках зображені графіки функцій  g  і  h.

Функція  g  обернена, оскільки немає такого значення функції, яке відповідало б різним значенням аргументу (будь-яка пряма, паралельна осі  х, перетинає графік не більше ніж в одній точці).
Функція  h  не обернена, оскільки існує таке значення функції, наприклад  у = 3, яке відповідає трьом різним значенням змінної  х   (пряма  у = 3  перетинає графік в трьох точках).
Не для кожної функції існує обернена.
Графіки двох взаємно обернених функцій симетричні один до одного відносно бісектриси першого і третього координатних кутів, тобто відносно прямої 

у = х.
Якщо точка  (х; у)  належить графіку функції  у = f(х), то точка  (у; х)  належить графіку зворотної функції. Тому графік зворотної функції виходить із графіка функції  у = f(х)  за допомогою перетворення площини  ху, що переводить точки  (у; х)  у точки  (х; у). Цим перетворенням є перетворення осьової симетрії щодо прямої  у = х (вісь симетрії).
Таким чином, щоб побудувати графік функції, зворотної до функції  у = f(х), треба графік функції  у = f(х)  піддати перетворенню симетрії щодо прямої  х = у.

ПРИКЛАД:

Якщо  у = хn, де  х ≥ 0, n – натуральне, n ˃ 1, то
Помінявши  х  і  у  місцях, отримаємо
Графіки двох взаємно обернених функцій  у = хn  і
симетричні щодо прямої  у = х.
Завдання до уроку 16
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий