Уроки математики и физики (RU + UA)

суббота, 12 августа 2017 г.

Урок 23. Графік функції обернено пропорціональної залежності

Графік функції, заданої формулою

де  k ≠ 0

(на безлічі всіх чисел, відмінних від нуля), є крива лінія, що складається з двох гілок.

Криву такого виду називають гіперболою чи рівносторонньою гіперболою. Вона симетрична щодо початку координат, оскільки функція 

у = k/х 

непарна.

Якщо область визначення функції складається з усіх відмінних від нуля чисел, то її графіком служить підмножина точок цієї гіперболи (одна її гілка, окремі точки і т. д.).

ПРИКЛАД:

Побудуємо графік функції
Спочатку збудуємо гілку графіка на проміжку  (0; +∞). Складемо таблицю значень функції:
Нанесемо отримані точки на координатну площину та з'єднаємо їх плавною кривою.
Це і буде гілка графіка функції  у = 1/х  на проміжку  (0; +∞).
Скориставшись непарністю функції  у = 1/х, додамо до побудованої гілки гілка, симетричну їй щодо початку координат. Отримаємо графік функції  у = 1/х:
ПРИКЛАД:

Нехай функція задана формулою
причому безліч значень змінної  х – безліч всіх чисел, крім нуля. Для всіх пар відповідних значень змінних  х  і  у  добутку  ху  дорівнює  12, тобто змінна у зворотному пропорційна змінної  х.

Побудуємо графік розглянутої функції.

При  х = 0  функція
не визначено (графік її не проходить через початок координат).
Знайдемо значення  у, що відповідають деяким позитивним значенням  х  та деяким негативним значенням  х:
Позитивним значенням  х  відповідають позитивні значення  у, причому досить великим значенням  х  відповідають малі значення  у.

Наприклад,

якщо  х = 120,

то  у = 0,1,

якщо  х = 2400,

то  у = 0,005.

Достатньо малим значенням  х  відповідають великі значення  у.

Наприклад,

якщо  х = 0,03,

то  у = 400.

Негативним значенням  х  відповідають негативні значення  у. Точки графіка з негативними координатами симетричні щодо початку координат точках графіка з позитивними координатами. У координатній площині відзначимо всі точки, координати яких розміщені в таблиці.
Вони розташовуються по деякій кривій лінії, що складається із двох гілок. Проведемо її.
Графік функції, заданої формулою
на багатьох всіх чисел, крім нуля, складається з двох гілок, розташованих у першому і третьому координатних кутах. Його називають графіком зворотної пропорційності, що розглядається на множині всіх відмінних від нуля чисел, з коефіцієнтом зворотної пропорційності, рівним  12.

ПРИКЛАД:

На малюнку побудовано графік функції
Він є кривою, що складається з двох гілок, розташованих у другому і четвертому координатних кутах.
Графіком обернено пропорціональної залежності є крива лінія, яка складається з двох окремих віток, розташованих в першому і третьому координатних кутах при  k ˃ 0

ПРИКЛАД:

у = 1/х
або в другому і четвертому – при  k < 0.

ПРИКЛАД:

у = – 1/х

ПРИКЛАД:

При яких значеннях  k  графік функції

у = k/x

проходить через точку

А(2/7; –14) ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Підставимо у формулу графіка значення  х = 2/7  і  у = –14. Отримаємо:
ВІДПОВІДЬ:  k = –4

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:
Користуючись графіком, знайдіть проміжки зростання і проміжки спадання функції.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графік функції складається з частини гіперболи  у = – 2/х  для  х ≤ –1  і частини прямої  у = 1 – х  для  х ˃ –1.

Функція зростає на проміжку  (–; –1]  і спадає на проміжку  [–1; +).
ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Областю визначення функції є всі дійсні числа, крім чисел  0  і  1.
Графіком даної функції є гіпербола  у = –2/х  без точки  (1; –2).
ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Областю визначення функції є всі дійсні числа, крім числа 
–1
.
Графіком даної функції є гіпербола, отримана паралельним перенесенням гіперболи  у = 6/х  на  1  одиницю ліворуч і на  4  одиниці вгору.
ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Областю визначення функції є всі дійсні числа, крім чисел  0  і  3.
Графіком даної функції є гіпербола  у = 6/х  без точки  (3; 2).
ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:
Областю визначення функції є всі дійсні числа, крім чисел  0  і  1.
Графіком даної функції є гіпербола  у = – 8/х  без точки  (1; –8).
ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:
Користуючись графіком, знайдіть проміжки зростання і проміжки спадання функції.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графік функції складається з частини гіперболи  у = 6/х  для  х < –1  і  х ˃ 1  та частини прямої  у = 6х  для  –1 ≤  х ≤ 1.

Функція зростає на проміжку  [–1; 1]  і спадає на проміжках  (–; –1]  і  [–1; +).
ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Областю визначення функції є всі дійсні числа, крім чисел  0  і  3.
Графіком даної функції є гіпербола  у = –5/х  без точки  (3; –12/3).
ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Областю визначення функції є всі дійсні числа, крім числа  3.
Графіком даної функції є гіпербола, отримана паралельним перенесенням гіперболи  у = –6/х  на  3  одиницю праворуч і на  2  одиниці вгору.
ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:
Користуючись графіком, знайдіть проміжки зростання і проміжки спадання функції.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графік функції складається з частини гіперболи  у = –4/х  для  х < –2  і  х ˃ 2  та частини прямої  у = –2х  для  –2 ≤  х ≤ 2.

Функція зростає на проміжках  (–; –2)  і  (2; +)  і спадає на проміжку  [–2; 2].
Завдання до уроку 23
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий