Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 23. Графік функції обернено пропорціональної залежності

Графік функції, заданої формулою

де k ≠ 0

(на безлічі всіх чисел, відмінних від нуля), є крива лінія, що складається з двох гілок.

Криву такого виду називають гіперболою чи рівносторонньою гіперболою. Вона симетрична щодо початку координат, оскільки функція

у = ^k/_х

непарна.

Якщо область визначення функції складається з усіх відмінних від нуля чисел, то її графіком служить підмножина точок цієї гіперболи (одна її гілка, окремі точки і т. д.).

ПРИКЛАД:

Побудуємо графік функції
Спочатку збудуємо гілку графіка на проміжку (0; +∞). Складемо таблицю значень функції:

Нанесемо отримані точки на координатну площину та з'єднаємо їх плавною кривою.

Це і буде гілка графіка функції у = ¹/_х на проміжку (0; +∞).

Скориставшись непарністю функції у = ¹/_х, додамо до побудованої гілки гілка, симетричну їй щодо початку координат. Отримаємо графік функції у = ¹/_х:

ПРИКЛАД:

Нехай функція задана формулою
причому безліч значень змінної х – безліч всіх чисел, крім нуля. Для всіх пар відповідних значень змінних х і у добутку ху дорівнює 12, тобто змінна у зворотному пропорційна змінної х.

Побудуємо графік розглянутої функції.

При х = 0 функція
не визначено (графік її не проходить через початок координат).
Знайдемо значення у, що відповідають деяким позитивним значенням х та деяким негативним значенням х:

Позитивним значенням х відповідають позитивні значення у, причому досить великим значенням х відповідають малі значення у.

Наприклад,

якщо х = 120,

то у = 0,1,

якщо х = 2400,

то у = 0,005.

Достатньо малим значенням х відповідають великі значення у.

Наприклад,

якщо х = 0,03,

то у = 400.

Негативним значенням х відповідають негативні значення у. Точки графіка з негативними координатами симетричні щодо початку координат точках графіка з позитивними координатами. У координатній площині відзначимо всі точки, координати яких розміщені в таблиці.
Вони розташовуються по деякій кривій лінії, що складається із двох гілок. Проведемо її.
Графік функції, заданої формулою
на багатьох всіх чисел, крім нуля, складається з двох гілок, розташованих у першому і третьому координатних кутах. Його називають графіком зворотної пропорційності, що розглядається на множині всіх відмінних від нуля чисел, з коефіцієнтом зворотної пропорційності, рівним 12.

ПРИКЛАД:

На малюнку побудовано графік функції
Він є кривою, що складається з двох гілок, розташованих у другому і четвертому координатних кутах.
Графіком обернено пропорціональної залежності є крива лінія, яка складається з двох окремих віток, розташованих в першому і третьому координатних кутах при k ˃ 0

ПРИКЛАД:

у = ¹/_х

або в другому і четвертому – при k < 0.

ПРИКЛАД:

у = – ¹/_х

ПРИКЛАД:

При яких значеннях k графік функції

у = ^k/_x

проходить через точку

А(²/₇; –14) ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Підставимо у формулу графіка значення х = ²/₇ і у = –14. Отримаємо:

ВІДПОВІДЬ: k = –4

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:

Користуючись графіком, знайдіть проміжки зростання і проміжки спадання функції.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графік функції складається з частини гіперболи у = – ²/_х для х ≤ –1 і частини прямої у = 1 – х для х ˃ –1.

Функція зростає на проміжку (–∞; –1] і спадає на проміжку [–1; +∞).

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Областю визначення функції є всі дійсні числа, крім чисел 0 і 1.

Графіком даної функції є гіпербола у = –²/_х без точки (1; –2).

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Областю визначення функції є всі дійсні числа, крім числа –1.

Графіком даної функції є гіпербола, отримана паралельним перенесенням гіперболи у = ⁶/_х на 1 одиницю ліворуч і на 4 одиниці вгору.
ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції: